Параллельный перенос можно считать вектором?

[upgrade]

arseniiv в сообщении #1385928 писал(а):

Причём каждый «традиционный геометрический вектор» (если вдруг опираться предполагается на них) (класс эквивалентности пар точек) в сущности и есть график некоторого параллельного переноса — более прямое соответствие найти было бы трудно.

Возьмем к примеру сложение векторов, куда и что переносит результирующий вектор? Указывает направление и величину (например, переноса) да, но переносит - по-моему нет, так как даже при малом переносе будет уже другой вектор.

[Munin]

Если понимать (геометрический) вектор как параллельный перенос (2-мерного или 3-мерного евклидова пространства), то сумма векторов есть композиция параллельных переносов: сначала выполняется один перенос, а потом другой.

Отдельно надо доказывать все алгебраические свойства такой суммы: существование нейтрального элемента, существование обратного элемента, коммутативность, ассоциативность.

[arseniiv]

Ещё можно кинуть книжкой Э. Артина «Геометрическая алгебра». Там в начале как раз определяются параллельные переносы, гомотетии и всякие операции.

[upgrade]

Так что вектор переносит? Например в двумерном случае в декартовых координатах точку что ли? А радиус-вектор что переносит - точку из начала координат к концу вектора?

[arseniiv]

upgrade в сообщении #1386805 писал(а):

ак что вектор переносит? Например в двумерном случае в декартовых координатах точку что ли?

Обычный школьный вектор достаточно просто отложить от точки; процедура откладывания, можно сказать, входит в его определение. Тогда конец вектора, отложенного от произвольной точки, и задаёт параллельный перенос плоскости, причём для любого п. п. можно подобрать задающий его вектор, и два не равных вектора задают разные п. п..

Вектор же линейного пространства изначально умеет действовать на любую точку аффинного, по построению.

upgrade в сообщении #1386805 писал(а):

А радиус-вектор что переносит - точку из начала координат к концу вектора?

Радиус-вектор — это вектор из какой-то заданной точки в интересующую. Быть началом координат ей в принципе не обязательно (аффинная система координат предполагает наличие ещё и базиса, а не только выделенной точки; базис нам тут совершенно ни к чему).

[upgrade]

Т.е. ставим точку на плоскости - это до переноса, рисуем стрелку к ней (вектор) - это после переноса, так? То есть существует некоторый объект, который рисуя вектор мы переносим из одного места в другое?
Из кинематики вектор - это точка к которой приложена например сила или точка с указанием направления куда она смещается, но это неподвижная точка, направление сообщает допинформацию, но точку не сдвигает. Или смещение - это не перенос?

[Munin]

upgrade в сообщении #1386805 писал(а):

Так что вектор переносит?

Здесь в смысле русского языка неоднозначность: "что-то переносит вектор" или "вектор переносит что-то".

upgrade в сообщении #1386805 писал(а):

Например в двумерном случае в декартовых координатах точку что ли?

Всю плоскость.

В школьной геометрии есть такая тема, хотя не все её запоминают: движения плоскости. Это параллельные переносы, повороты (вокруг неподвижной точки), зеркальные симметрии (вокруг неподвижной прямой), плюс мало известные школьникам сдвиговые симметрии. Посмотрите в вашем учебнике или в Викимусорке, что это такое.

Эта тема, на самом деле, очень важна для обоснований геометрии, поскольку именно движения плоскости и определяют, а что такое равные фигуры, что ими считать.

-- 09.04.2019 22:01:31 --

upgrade в сообщении #1386817 писал(а):

Из кинематики вектор - это точка к которой приложена например сила или точка с указанием направления куда она смещается,

Вот это очень плохо, потому что на самом деле вектор отдельно, а точка приложения силы - отдельно. Точка, к которой приложена сила, в вектор не входит. Вектор - это ровно длина и направление (для силы длина измеряется в ньютонах).

[upgrade]

Munin
А, немного прояснилось.

[arseniiv]

upgrade в сообщении #1386817 писал(а):

рисуем стрелку к ней (вектор) - это после переноса, так?

От неё, конечно. (Ну, мы в принципе можем все векторы рисовать в обратную сторону и ничего не испортится, но это глупо.)

upgrade в сообщении #1386817 писал(а):

То есть существует некоторый объект, который рисуя вектор мы переносим из одного места в другое?

Это как-то слишком антропоморфно, что ли. Есть точка. Если отложить от неё вектор, получим ещё вторую точку (там, где получился его конец). Мы сопоставили точке и вектору другую точку. Пусть множество точек (аффинное пространство) обозначено $A$, соответствующее векторное $V$, тогда у нас есть функция $({}+{})\colon A\times V\to A$. Теперь фиксируем второй аргумент и получаем функцию $({}+\vec v)\colon A\to A$, которая будет параллельным переносом.

(Вероятно, я добавил не про то, в чём было затруднение.)

upgrade в сообщении #1386817 писал(а):

Из кинематики вектор - это точка к которой приложена например сила или точка с указанием направления куда она смещается, но это неподвижная точка, направление сообщает допинформацию, но точку не сдвигает.

Вообще физике с головой достаточно обычных («свободных» в той терминологии, где бывают и такие недвижимые) векторов. Запрет на рисование их в каком-то месте — не физический и не математический. Но Munin уже написал, а я хотел сказать о другом: в физике бывают величины разных размерностей, и перенести точку обычного пространства на вектор скорости будет бессмысленно, можно будет только на вектор перемещения (как удачно называется эта величина), имеющий размерность длины.

[Fedorov]

Ktina в сообщении #1385899 писал(а):

Таким образом, сегодня я уже во второй раз сталкиваюсь с ситуацией, когда параллельный перенос считают вектором.

Не считают, а определяют.
И это вполне разумно и корректно.

[ewert]

Fedorov в сообщении #1386832 писал(а):

Ktina в сообщении #1385899 писал(а):

Таким образом, сегодня я уже во второй раз сталкиваюсь с ситуацией, когда параллельный перенос считают вектором.

Не считают, а определяют.
И это вполне разумно и корректно.

И не менее бессмысленно.

Определить можно всё что угодно. Например, можно определить тапочки как функцию от передвижения. Значение каждой тапочки есть множество ножек (не исключая и ложноножек), которые с её помощью передвигаются.

Корректно? -- безусловно. Разумно? -- ну это пусть каждый для себя решает. Осмысленно? -- тут без вариантов.

[Fedorov]

ewert в сообщении #1386971 писал(а):

И не менее бессмысленно.

Определить можно всё что угодно.

Да, конечно! Колмогоров много бессмысленного написал ...
Не то, что Вы. Вот, что-то вразумительное и глубокомысленное написали ...
Настолько глубоко, утонуть опасаюсь ...

[Aritaborian]

Ktina в сообщении #1386134 писал(а):

Источник: https://studbooks.net/2196188/matematika_himiya_fizika/
Цитата оттуда:

Всё, что вы привели, это

Ktina в сообщении #1386134 писал(а):

В учебном пособии [10] под редакцией А.Н. Колмогорова

А что это за пособие, на какой странице в нём даётся это определение, вы не сказали. Не надо, пожалуйста, так бездарно отмахиваться от простых конкретных вопросов.

[ewert]

Короче. Есть объекты -- и есть преобразования.

Конечно, каждое преобразование тоже есть объект. Но тут важны приоритеты.

Да, понятие вектора -- нетривиально. Но всем привычно именно как объекта.

А потом на него навешиваются многочисленные преобразования (притом практически значимые).

После чего называть вектор преобразованием становится не более чем издевательством. И не важно, насколько формально обоснованным.

Так что извините, ребяты. Все, кто соглашаются обзывать векторы преобразованиями -- не более чем игроки в бисер. Я же лично предпочитаю смотреть футбол.

[Dragon27]

ewert в сообщении #1387266 писал(а):

Конечно, каждое преобразование тоже есть объект. Но тут важны приоритеты.
...
После чего называть вектор преобразованием становится не более чем издевательством.

Но с другой стороны, вопрос ведь был задан (может и неосмысленно) по-другому: "Можно ли параллельный перенос считать вектором?". То есть не можно ли считать вектор преобразованием, а можно ли считать преобразование вектором. И если на группе параллельных переносов определить (очевидным образом) ещё и умножение на скаляр, то получится вполне себе векторное пространство.