Противоречие Рассела

[george66]

Я Эрдёш!
Меня не проведёшь!

[warlock66613]

alex55555, не знаю как вы сами этого не заметили, но $\bigwedge$ и $\forall$ - это разные символы с разным смыслом.

[alex55555]

warlock66613 в сообщении #1380979 писал(а):

alex55555, не знаю как вы сами этого не заметили, но $\bigwedge$ и $\forall$ - это разные символы с разным смыслом.

Да, символы разные, но смысл их, как минимум, очень близок. И близок на столько, что в википедии противоречие Рассела формулируется с заменой "логического И для всех" на квантор всеобщности.

Плюс участник mihaild так же меня обнадёжил сказав:

mihaild в сообщении #1380489 писал(а):

Аналог этого правила в терминах Куратовского - теорема "если $a \in A$, то $\bigwedge\limits_{x \in A} \Phi(x) \rightarrow \Phi(a)$". 55 страница в издании 1970 года.

Он явно более широко знаком с математикой, и в частности с исчислениями высказываний и предикатов. К тому же ему никто не возразил.

Коме того, Куратовский показывает схему образования предложенного символа (или группы символов?). Схема такая - если истинно $x_1 \wedge x_2 \wedge ... \wedge x_n$, то такую конструкцию можно сократить при помощи вынесения символа логического "И" за скобки, а для сохранения полноты информации о формуле под символом "И" пишут переменную и множество, к которому она принадлежит. Множество для краткости можно опустить (что, кстати, и привело к неочевидности в данном случае, как мне кажется). Здесь я не цитирую, но передаю суть своими словами. Но суть вполне соответствует смыслу определения в википедии. А вот смысл в учебниках по логике даётся весьма кратко и не строго (как минимум в двух просмотренных). Хотя далее идут длинные главы об исчислении предикатов, где даётся определение формулам, участниками которых могут быть и кванторы, но я подробно пока эти вопросы не изучал, поэтому строго показать смысл кванторов могу лишь по данным из Куратовского (ну и википедии, если это устроит).

[warlock66613]

alex55555 в сообщении #1381142 писал(а):

как минимум, очень близок

Но не настолько близок, чтобы можно было заменить одно на другое в аксиоме Фреге, и не потерять при этом ничего существенного.

-- 11.03.2019, 16:51 --

Даже квантор всеобщности, фигурирующий в определении равенства множеств в ZF, нельзя заменить на $\bigwedge$ по какому-либо множеству.

[alex55555]

warlock66613 в сообщении #1381153 писал(а):

Но не настолько близок, чтобы можно было заменить одно на другое в аксиоме Фреге, и не потерять при этом ничего существенного.

Пока строго сказать не могу. Буду ещё смотреть изложения теории множеств у Френкеля и других, но пока не дошёл.

Хотя такой момент, как изменение смысла неформального высказывания при его формализации, мне кажется, очевиден, ведь для неформального высказывания можно указать примеры, когда оно истинно, а вот с формальным уже не всё так просто. Но разве так должно быть? Должен ли перевод что-то изменять?

-- 11.03.2019, 17:40 --

Да, и участникам, особенно mihaild - выражаю благодарность за помощь в обретении понимания ряда моментов, которые понимал неправильно.

[arseniiv]

alex55555 в сообщении #1381142 писал(а):

Он явно более широко знаком с математикой, и в частности с исчислениями высказываний и предикатов. К тому же ему никто не возразил.

Просто таковы обозначения у Куратовского, вот он их и привёл, с явным комментарием, что в той книге записывалось (бы?) так.

А если говорить о некоторых связях, можно связать $\forall$ и с импликацией. Однако чтобы понять, чем эти связи являются и чем нет, сначала нужно разобраться с собственно исчислением предикатов, чтобы была ну хоть какая-то база. Или можно полезть в категорную логику, но обычно люди не хотят, и кроме того всё-таки представление о классической (аж в нескольких смыслах) логике всё-таки лучше перед; а то получится как рассматривать произвольные параллелотопы, не разобравшись с отрезком, параллелограммом и параллелепипедом.

alex55555 в сообщении #1381142 писал(а):

Коме того, Куратовский показывает схему образования предложенного символа (или группы символов?). Схема такая - если истинно $x_1 \wedge x_2 \wedge ... \wedge x_n$, то такую конструкцию можно сократить при помощи вынесения символа логического "И" за скобки, а для сохранения полноты информации о формуле под символом "И" пишут переменную и множество, к которому она принадлежит. Множество для краткости можно опустить (что, кстати, и привело к неочевидности в данном случае, как мне кажется).

Там ещё пишется, что $\bigwedge\limits_x \Phi(x)$ используется для случая, когда высказывательная функция $\Phi$ определена всюду. Собственно такой вид квантора «первичен», такие используются в частности в теориях, ничего не говорящих о множествах, и даже для формализации теории множеств такой вид кванторов, как warlock66613 уже сказал, необходим, ну и сами авторы книги в этом от строгости не отходят, см. гл. II §2.

Нет, мы могли бы удовлетвориться ограниченными кванторами, если бы у нас в частности было бы множество всех множеств. Но его в ZF нет; если его насильно добавить (аксиомой его существования), получится противоречие. Потому надо понять неограниченные, хоть в приложениях теории множеств они и возникают сильно реже, чем в ней как отдельном предмете.

alex55555 в сообщении #1381142 писал(а):

А вот смысл в учебниках по логике даётся весьма кратко и не строго (как минимум в двух просмотренных).

Можно считать, что смысл кванторов и связок задаётся только интерпретацией, а интерпретация языка первого порядка в некоторых книгах может откладываться, пока не рассмотрен будет вывод. (Это выглядит странно, но вроде бывают причины.) Правда, такая интерпретация использует (обычно неформальную) теорию множеств, и некоторых это смущает. (Ну а чего они ждали, интересно.) Можно взглянуть на смысл со стороны теории категорий, но сначала наверно лучше так, а уж потом остальное, потому что разбираться в топосах вряд ли проще.

[alex55555]

arseniiv в сообщении #1381180 писал(а):

А если говорить о некоторых связях, можно связать $\forall$ и с импликацией. Однако чтобы понять, чем эти связи являются и чем нет, сначала нужно разобраться с собственно исчислением предикатов, чтобы была ну хоть какая-то база.

Почему я и использовал именно Куратовского, так это именно потому, что он подробно и в аксиоматическом виде, то есть не пропуская этапов вывода, даёт теорию множеств. Поэтому он сначала говорит про алгебру высказываний, потом про высказывательные функции и кванторы, то есть даёт хоть и краткое, но изложение исчисления высказываний и предикатов. Значит "хоть какая-то" база им точно даётся.

arseniiv в сообщении #1381180 писал(а):

Там ещё пишется, что $\bigwedge\limits_x \Phi(x)$ используется для случая, когда высказывательная функция $\Phi$ определена всюду.

Да. Но я встретил возражения двух более опытных участников с однозначным отрицанием правильности моего заявления про "для всех $x$", поэтому я и взял другую часть определения, которая так же приводит к некорректному переводу и доказательству.

arseniiv в сообщении #1381180 писал(а):

Собственно такой вид квантора «первичен», такие используются в частности в теориях, ничего не говорящих о множествах, и даже для формализации теории множеств такой вид кванторов, как warlock66613 уже сказал, необходим, ну и сами авторы книги в этом от строгости не отходят, см. гл. II §2.

Более того, там в сноске на стр.54 даже указывается, что "вместо символов $\wedge, \vee$ используются и другие, например $\forall, \exists$".

arseniiv в сообщении #1381180 писал(а):

Нет, мы могли бы удовлетвориться ограниченными кванторами, если бы у нас в частности было бы множество всех множеств.

Так в обоих случаях получается некорректность. Если "для всех", то теряется ограничение из нестрогого определения, а если "для всех принадлежащих", то не доказывается принадлежность и вводится произвольное множество $Z$.

arseniiv в сообщении #1381180 писал(а):

Можно считать, что смысл кванторов и связок задаётся только интерпретацией, а интерпретация языка первого порядка в некоторых книгах может откладываться, пока не рассмотрен будет вывод. (Это выглядит странно, но вроде бывают причины.)

До туда я пока не дошёл, поэтому не могу что-то уверенно говорить.

В целом же, рассуждая в терминах Куратовского, который все свои термины хорошо поясняет, у меня получилось то, что получилось. А дополнительно понять ситуацию с использованием исчисления предикатов у других авторов я пока не успел. Книга Френкеля у меня есть, так что постепенно и мнение автора ZF узнаю.

[arseniiv]

alex55555 в сообщении #1381229 писал(а):

Значит "хоть какая-то" база им точно даётся.

Да, хоть какая-то — разумеется. Но не обязательно всем достаточная.

alex55555 в сообщении #1381229 писал(а):

Более того, там в сноске на стр.54 даже указывается, что "вместо символов $\wedge, \vee$ используются и другие, например $\forall, \exists$".

Ну это-то как раз вопрос обозначений — $\bigwedge\limits_x$ ли, $\forall x$ ли. Да, сейчас почти всюду распространены $\forall x,\exists x$ — $(x)$ и $(Ex)$ тоже не прижились.

alex55555 в сообщении #1381229 писал(а):

До туда я пока не дошёл, поэтому не могу что-то уверенно говорить.

Если вы о Куратовском, то там и нет про интерпретацию, это же не книга по матлогике. Там всё на неформальном уровне и в принципе можно даже спутать синтаксис с семантикой; замена ограниченного квантора $\forall x\in A.\Phi(x)$ на конъюнкцию $\Phi(a_1)\wedge\ldots\wedge\Phi(a_n)$ — как раз на грани, потому что она подразумевает, что мы можем выразить каждый элемент $A$ (и что оно конечно, но об этом-то вроде сразу предупреждают, и это как раз ещё ничего).

[warlock66613]

alex55555 в сообщении #1381229 писал(а):

ограничение из нестрогого определения

Нет там никакого ограничения и быть не может.

[alex55555]

arseniiv в сообщении #1381238 писал(а):

Да, хоть какая-то — разумеется. Но не обязательно всем достаточная.

К счастью, я не пытаюсь доказать это всем :)

Для себя я понял процесс доказывания, прошёл его и далее смогу повторить, если что.

arseniiv в сообщении #1381238 писал(а):

Если вы о Куратовском, то там и нет про интерпретацию, это же не книга по матлогике.

Нет, логику, понятное дело, нужно изучать по учебнику логики. И именно там я пока лишь поверхностно знакомился.

arseniiv в сообщении #1381238 писал(а):

Там всё на неформальном уровне и в принципе можно даже спутать синтаксис с семантикой; замена ограниченного квантора $\forall x\in A.\Phi(x)$ на конъюнкцию $\Phi(a_1)\wedge\ldots\wedge\Phi(a_n)$ — как раз на грани, потому что она подразумевает, что мы можем выразить каждый элемент $A$ (и что оно конечно, но об этом-то вроде сразу предупреждают, и это как раз ещё ничего).

Да, на эту тему у него есть упоминание "эффективного" доказательства существования. А если доказательство такое, что не позволяет найти элементы, как например указанием на два варианта и отсечение одного из них в следствии возникновения противоречия, тогда да - не можем эффективно выразить элементы.

В целом Куратовский, на мой взгляд, весьма тщателен.

-- 12.03.2019, 16:13 --

warlock66613 в сообщении #1381243 писал(а):

alex55555 в сообщении #1381229 писал(а):

ограничение из нестрогого определения

Нет там никакого ограничения и быть не может.

Куратовский:

Цитата:

состоящее из тех и только тех элементов, которые удовлетворяют этой функции.

[warlock66613]

alex55555 в сообщении #1381366 писал(а):

Куратовский

Вот уточнение "только тех" у Куратовского как раз и означает, что проверять надо не только элементы, удовлетворяющие функции, но и не удовлетворяющие, иначе можно получить множество, которое наряду со всеми элементами, удовлетворяющими функции, будет включать и какие-то элементы, ей не удовлетворяющие.

[Someone]

warlock66613 в сообщении #1381367 писал(а):

которое наряду со всеми элементами, удовлевтворяющими функции, будет включать и какие-то элементы, ей не удовлетворяющие.

Дык, если проверять не все, то не только лишних элементов можно прихватить, но и пропустить нужные. Но это уже подробно объяснялось, однако было благополучно проигнорировано. И не один раз.

[alex55555]

warlock66613 в сообщении #1381367 писал(а):

Вот уточнение "только тех" у Куратовского как раз и означает, что проверять надо не только элементы, удовлетворяющие функции, но и не удовлетворяющие, иначе можно получить множество, которое наряду со всеми элементами, удовлевтворяющими функции, будет включать и какие-то элементы, ей не удовлетворяющие.

Куратовский:

Цитата:

Пример высказывательной функции, область определения которой не ограничена, даёт функция $x = x$.

Таким образом имеем два варианта квантора - "для всех вообще" и "для всех из". Какой конкретно квантор используется, видимо, необходимо пояснять дополнительно, но такие пояснения чаще всего отсутствуют, в том числе у Куратовского в теореме 7. Но само использование в доказательстве подстановки $Z$ вместо $x$ подсказывает, что предполагается именно вариант "для всех вообще", который не запрещает такую подстановку. Но "для всех вообще" не учитывает "состоящее из тех и только тех элементов, которые удовлетворяют этой функции".

-- 12.03.2019, 17:15 --

Someone в сообщении #1381371 писал(а):

Но это уже подробно объяснялось, однако было благополучно проигнорировано. И не один раз.

Вот ваше объяснение:

Someone в сообщении #1380775 писал(а):

Мы должны проверить все объекты, подставив их в высказывательную функцию и "сложив в коробку" те и только те из них, для которых высказывательная функция принимает логическое значение "истина".

И вот объяснение Куратовского:

Цитата:

Если каждый элемент множества $A$ удовлетворяет высказывательной функции $\Phi(x)$, то это записывается следующим выражением:
$\bigwedge\limits_{x \in A} \Phi(x) $
и читается: для каждого $x$, принадлежащего $A$, имеет место $\Phi(x)$.

Если под "коробкой" понимать множество $A$, то ваше определение идентично определению Куратовского, но именно в этом случае подстановка $Z$ вместо $x$ становится некорректной, поскольку не доказано, что $Z$ входит в $A$.

[warlock66613]

alex55555 в сообщении #1381377 писал(а):

Но "для всех вообще" не учитывает "состоящее из тех и только тех элементов, которые удовлетворяют этой функции".

"Для всех вообще" - это и есть "из тех и только тех". Последнее выражение как раз и означает, что указанное условие должно выполняться для всех объектов, поскольку в противном случае (если вы ослабите требование, ограничив его) не получится множество "из тех и только тех" элементов.

alex55555 в сообщении #1381377 писал(а):

И вот объяснение Куратовского

Это не объяснение, это определение значка $\bigwedge$, и это не имеет никакого отношения к парадоксу Рассела.

[alex55555]

warlock66613 в сообщении #1381396 писал(а):

"Для всех вообще" - это и есть "из тех и только тех". Последнее выражение как раз и означает, что указанное условие должно выполняться для всех объектов, поскольку в противном случае (если вы ослабите требование, ограничив его) не получится множество "из тех и только тех" элементов.

Здесь "должно выполняться для всех объектов" нужно дополнить "входящих в область определения", то есть в то множество, к которому должен принадлежать $x$.

Вот пример "для всех вообще":

$x = x$

Вот пример "для тех и только тех":

$x \in\mathbb{N}, x>2 \wedge x<4$

Мне кажется, что это заметно разные примеры. И множество в первом случае действительно можно не указывать, а во втором множество можно указать явно - $\left\lbrace3\right\rbrace$.

warlock66613 в сообщении #1381396 писал(а):

alex55555 в сообщении #1381377 писал(а):

И вот объяснение Куратовского

Это не объяснение, это определение значка $\bigwedge$, и это не имеет никакого отношения к парадоксу Рассела.

Это моё пояснение участнику Someone в ответ на его реплику. Ответ на реплику может и не относиться к противоречию.