Противоречие Рассела

[mihaild]

alex55555 в сообщении #1381377 писал(а):

Какой конкретно квантор используется, видимо, необходимо пояснять дополнительно, но такие пояснения чаще всего отсутствуют, в том числе у Куратовского в теореме 7.

У Куратовского есть два обозначения: $\bigwedge\limits_x$ и $\bigwedge\limits_{x \in A}$. Первый означает неограниченный квантор всеобщности, второй - ограниченный. В теореме 7 используется первый. Никакие дополнительные пояснения не нужны - это два разных значка $\bigwedge\limits_\cdot$ и $\bigwedge\limits_{\cdot \in \cdot}$.

[warlock66613]

alex55555 в сообщении #1381416 писал(а):

Здесь "должно выполняться для всех объектов" нужно дополнить "входящих в область определения"

Нет, не нужно, поскольку аксиома Фреге предполагает использование только таких предикатов, которые в учебнике Куратовского называются "неограниченными высказывательными функциями".

alex55555 в сообщении #1381416 писал(а):

Мне кажется, что это заметно разные примеры.

Вам кажется неправильно. Оба приведённых вами примера - неограниченные высказывательные функции.

-- 12.03.2019, 21:57 --

mihaild в сообщении #1381431 писал(а):

У Куратовского есть два обозначения: $\bigwedge\limits_x$ и $\bigwedge\limits_{x \in A}$.

Вообще-то нет, первое просто сокращение второго.

[mihaild]

Ой, он оказывается разрешает опускать область определения. ИМХО зря.

warlock66613 в сообщении #1381433 писал(а):

Вообще-то нет, первое просто сокращение второго.

Стр. 54 - есть $\bigwedge\limits_{x \in A} \Phi(x)$, который для $\Phi$ с областью определения, ограниченной $A$, можно писать просто как $\bigwedge\limits_x \Phi(x)$.
И есть $\bigwedge\limits_x \Phi(x)$ для $\Phi$ с неограниченной областью определения. Его понятно нельзя записать в виде $\bigwedge\limits_{x \in A} \Phi(x)$ ни для какого $A$.

[arseniiv]

Подтверждаю, там есть и как сокращение, и «само по себе»; я там выше то же писал, но невнятно, видимо.

[alex55555]

Немного подумал. Вывод:

Теорема 7 действительно доказана корректно. В ней ведь нет упоминания про противоречие, а потому формально она никак не связана с дополнительными неформальными ограничениями из наивной аксиомы (элементарный факт, но никто не заметил). При этом квантор всеобщности в теореме явно читается как "для всех без исключения", что даёт возможность подставить вместо него $Z$. Если бы он читался по другому, то мы бы пришли к формулировке аксиомы выделения для высказывательной функции, помеченной знаками VI' на стр.62.

Но поскольку именно перед теоремой 7 приводится противоречие Рассела, у меня возникла стойкая ассоциация противоречия с теоремой. Но теорема от противоречия, формально, независима. А в аксиоме выделения для высказывательной функции (VI') в формальном выражении введена защита от подстановки, предложенной Расселом, в виде дополнительного множества, которое как раз и требует доказательства вхождения в него переменной $x$, чем исключает предложения типа расселовского.

Но тем не менее, хоть противоречие Рассела и исключено из ZF таким приёмом, оно возникло именно на основе неформального определения аксиомы, приводимого Куратовским. То есть зачем бы тогда Куратовский приводил неформальное определение, если бы противоречие возникло не на его основе? Если есть другая основа, логично было бы показать и её, но такого шага Куратовский не сделал. А раз так, то против чего возражал Рассел? У Куратовского есть ссылка на немецкое издание книги Фреге, где впервые появилось противоречие, но более ничего нет, а потому судить о противоречии можно пока (конкретно мне) лишь по данным Куратовского, который привёл лишь неформальное определение, из которого никакого противоречия не вытекает, поскольку есть очевидные примеры его выполнимости для подстановки Рассела.

В целом - зауважал Куратовского ещё больше :) Но про противоречие всё равно не понял - откуда оно взялось? Книгу Фреге на немецком если бы и имел, прочитать бы не смог.

[mihaild]

alex55555, из вашего последнего сообщения невозможно понять вообще ничего.
Противоречие в том, что наивная теория множеств (включающая неограниченную аксиому выделения) противоречива. Потому что в ней (как и в ZF) доказуема теорема 7, но, в отличии от ZF, в ней доказуемо еще и существование множества $Z$, описанного в теореме 7.

Если вы хотите разобраться в формализме - возьмите "Языки и исчисления" Верещагина и Шеня, и потом их же "Основы теории множеств".
Фреге я не читал, но почти наверняка в более современных книгах изложение будет понятнее.

[george66]

На мехмате МГУ был известный фрик Александр Сергеевич Кузичев. Он опровергал теорему Гёделя и называл это "колмогоровские основания математики". В конце концов на кафедре матлогики постановили: Кузичева больше никогда не слушать. Кузичев пошёл в партком (это был конец 80-х). В парткоме суть дела понять не могут и спускают на кафедру "разобраться с Кузичевым", слушаем его опять. Потом ушёл на кафедру истории математики, где работала его жена. А человек был добрейший и незлобивый. "Нет человека более терпимого и доброжелательного, чем человек с хорошо оформленной манией величия." (Владимир Леви, по памяти).

[alex55555]

mihaild в сообщении #1381483 писал(а):

Противоречие в том, что наивная теория множеств (включающая неограниченную аксиому выделения) противоречива. Потому что в ней (как и в ZF) доказуема теорема 7, но, в отличии от ZF, в ней доказуемо еще и существование множества $Z$, описанного в теореме 7.

Наивная теория множеств позволяет множественные интерпретации базовых понятий, таких как элемент и множество, а уже из этого следует всё остальное. Перевод наивной теории в аксиоматическую формализует, либо выносит за рамки теории ряд понятий. После формализации становится возможным само определение теоремы 7, а до формализации - теорема будет выглядеть иначе и её толкование будет неоднозначным.

Но суть вопроса всё же именно в противоречии Рассела, а не в противоречивости (точнее - неоднозначности) наивной теории множеств.

Как я понял (по Куратовскому и википедии) противоречие возникло после публикации аксиоматизации теории множеств Цермелло, в которой Рассел обнаружил формулу, куда можно подставить расселовскую подстановку, после чего получается противоречие. То есть Рассел просто взял формулу Цермелло (видимо похожую на теорему 7 Куратовского) и формально (в соответствии с законами математической логики) заменил в ней переменную на свою подстановку, после чего указал на возникающее противоречие. Но вместо исправления видимо некорректно переведённой с неформального на формальный язык формулы Цермелло, последовала дискуссия о противоречиях. Только, как мне кажется, противоречий-то и не было, потому что за противоречие приняли обычную ошибку при переводе с неформального на формальное описание. Собственно поэтому и интересует меня это противоречие, которого, как мне кажется, быть не должно.

[mihaild]

alex55555 в сообщении #1381537 писал(а):

Наивная теория множеств позволяет множественные интерпретации базовых понятий, таких как элемент и множество, а уже из этого следует всё остальное

Под наивной теорией множеств я подразумевал (надо было сказать явно) тоже формальную теорию, включающую неограниченную аксиому выделения (вроде бы именно Фреге и дал такую формализацию).

alex55555 в сообщении #1381537 писал(а):

Собственно поэтому и интересует меня это противоречие, которого, как мне кажется, быть не должно

В ZF (в современной формулировке) этого противоречия нет. Остальное уже относится к истории математики, которую ИМХО не стоит трогать пока не разберетесь с современным состоянием соответствующего раздела.

[alex55555]

mihaild в сообщении #1381553 писал(а):

Остальное уже относится к истории математики, которую ИМХО не стоит трогать пока не разберетесь с современным состоянием соответствующего раздела.

Возможно. Постепенно дойду до взгляда на эти дела со стороны Френкеля.

[Someone]

alex55555 в сообщении #1381537 писал(а):

Как я понял (по Куратовскому и википедии) противоречие возникло после публикации аксиоматизации теории множеств Цермелло, в которой Рассел обнаружил формулу, куда можно подставить расселовскую подстановку, после чего получается противоречие.

Нужно иметь чрезвычайно изощрённый ум, чтобы понять именно так.

В русскоязычной Википедии написано:

Цитата:

Парадокс Рассела (антиномия Рассела, также парадокс Рассела — Цермело) — открытый в 1901 году[1] Бертраном Расселом теоретико-множественный парадокс (антиномия), демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Георга Кантора. Был открыт ранее, но не опубликован Эрнстом Цермело.

То есть, речь идёт не о системе Цермело, а о противоречивости системы Фреге, на которую обычно и ссылаются как на источник неограниченной аксиомы свёртывания, позволяющей по заданному свойству определять множество всех множеств, обладающих этим свойством.

В англоязычной Википедии в статье Russell's paradox сказано подробнее: парадокс открыл Цермело в 1899 году, но не опубликовал, а только рассказал нескольким математикам, работавшим вместе с ним в университете Гёттингена. Рассел опубликовал парадокс в 1901 году. Система аксиом теории множеств была опубликована Цермело в 1908 году. Вы считаете Цермело таким идиотом, чтобы, зная о парадоксе и механизме его возникновения, сформулировать систему аксиом, в которой возникает именно этот парадокс, причём, способом, хорошо знакомым самому Цермело? А Рассел, видимо, обладал даром ясновидения, поскольку он в 1901 году предвидел, что опубликует Цермело в 1908 году, и заранее опубликовал найденное им противоречие в системе Цермело.

Предпоследнее ваше сообщение выглядит как умышленное враньё (Вы ссылаетесь на Википедию, в которой написано совсем но то, что пишете Вы), а вся тема — типичный троллинг.

[alex55555]

Someone в сообщении #1381590 писал(а):

В русскоязычной Википедии написано:

Вообще я думал, что ссылаться на цитаты из википедии здесь, как минимум, не принято. Поэтому сначала привёл оттуда лишь формальное утверждение (формулы всё же достаточно строгие). Далее оперировал данными Куратовского. Про Цермелло комментировал в ответ в том числе на ваш вопрос, но вы тогда никаких противоречий не заметили. Далее - просто обычные воспоминания без повторного чтения, которые меня подвели, да.

Но если использовать цитаты из википедии, то там приводится ответ Рассела Фреге:

Цитата:

Я испытал трудности только в одном месте. Вы утверждаете (стр. 17), что функция может сама выступать в качестве неизвестного. Раньше я тоже так считал. Но теперь такой взгляд мне кажется сомнительным из-за следующего противоречия. Пусть w предикат: «быть предикатом, который не приложим к самому себе». Может ли w быть приложим к самому себе? Из любого ответа следует обратное. Следовательно, мы должны заключить, что w — не предикат. Аналогично не существует класса (как целого) тех классов, которые, взятые как целое, не принадлежат себе. Отсюда я заключаю, что иногда определённое множество не формирует целостного образования.

Из ответа следует, что Рассел выделил тот же класс логических заключений, что и традиционно используемое "множество всех множеств, не входящих в себя" (оно короче и яснее). Но в конце цитаты мы видим - "Отсюда я заключаю, что иногда определённое множество не формирует целостного образования", то есть противоречия опять нет, но есть обоснованное утверждение об отказе включать в том числе во множество всех множеств, не включающих себя, само это множество.

Собственно здесь Рассел просто уходит от безоговорочного использования слова "все". И если на примере "противоречивого" множества всех множеств, не включающих себя, начать добавлять вполне строгие правила, то мы так же увидим, что парадокса нет, а есть только лишь следование правилам, исключающее ту или иную конструкцию, либо показывающих некорректность подхода "что бы все". Так можно задать правила:

1) Множества, принадлежащие рассматриваемому множеству, не включают себя в качестве элементов.
2) Рассматриваемое множество включает все множества, соответствующие правилу 1.

Тогда имеем необходимость включить рассматриваемое множество само в себя, но после включения оно перестаёт соответствовать правилу №1, только это не приводит к противоречию, ведь нет правила, запрещающего включать помимо множеств из правила №1 ещё и другие множества.

Если добавить правило №3:

3) Рассматриваемое множество не включает множеств, не удовлетворяющих правилу №1

То в момент включения станет ясно, что правило №3 не выполнено и такое включение некорректно, а значит производить его нельзя. Далее мы должны вспомнить правило №2 и попытаться соответствовать ему, но мы уже получили отрицательный ответ при такой попытке. Из этого можно сделать разные выводы, но на мой взгляд вывод здесь простой - мы сами насочиняли правила, которые противоречат друг другу. То есть опять нет никакого парадокса кроме нашей собственной невнимательности, позволившей нам требовать одновременно "быть горячим и холодным".

Со всех точек зрения, которые я имел возможность здесь представить, противоречия Рассела нет, но есть (по википедии не принимаемая даже самим Расселом) наша собственная невнимательность к рассуждениям.

[Jnrty]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: лженаучность, троллинг и прямая ложь.

-- 13.мар.2019,Ср,17:50:59 --

Jnrty:

alex55555, предупреждение за троллинг и агрессивное невежество у Вас уже было, поэтому теперь блокируетесь на две недели за лженауку и троллинг.
Возобновление обсуждения математической логики и парадокса Рассела в других темах запрещено.