Противоречие Рассела

[alex55555]

mihaild в сообщении #1380432 писал(а):

Формально, в исчислении высказываний есть схема аксиом: $\forall x: P(x) \rightarrow P(t)$, где $P$ - формула, а $t$ - терм, не содержащий переменных, по которым в $P$ есть кванторы.

Только кванторы?

Я не пока могу уверенно сказать про данное правило подстановки в исчислении высказываний. Как минимум правило с таким вариантом подстановки не рассматривается у Куратовского (или я пропустил).

Тем не менее, я знаю, что при исчислении высказываний используется процедура унификации (реализована в языке пролог), о которой вы не упомянули. В соответствии с этой процедурой имеем сначала сопоставление $x$ и $Y$ некой общей новой переменной $Y'$, если сопоставление успешно, то только тогда можно продолжать унификацию. При успешном сопоставлении происходит замена всех вхождений сопоставленных переменных на значение $Y'$ (после сопоставления это значение может содержать любой терм). А после замены получается некое утверждение, ложность или истинность которого не совпадает с начальным значением ложности или истинности используемого правила. То есть правило может быть истинным, но после подстановки значений получившееся высказывание может стать ложным. В прологе далее выполняется процедура проверки ложности или истинности получившегося высказывания, а вот в рассматриваемом случае вы такую проверку не упомянули.

Вот пример высказывания - ворона белая. Далее следуя $\forall x: P(x) \rightarrow P(t)$, мы можем заменить ворону на кита, или на чёрного слона. Просто не глядя на детали заменяем и всё. И получим - чёрный слон белый. Но ворона же не спроста участвует в выражении. Ведь именно она белая, а не что-то другое. Поэтому дальше нужна проверка истинности нового высказывания. И если в нашем списке правил есть высказывание "чёрный слон белый", то новое высказывание истинно, но если про чёрного слона ничего нет - высказывание ложное.

Точно так же и в случае с парадоксом - после замены мы выполняем проверку в уме - истинно ли получившееся высказывание. И видим, неявно проверяя логичность именно отношения принадлежности, что получившееся высказывание ложно. Как интерпретировать это значение (ложь) - вопрос к разработчикам теории множеств. На мой взгляд это означает, что при выборе такой подстановки мы ничего полезного не получили (получили ложное высказывание). Но где здесь противоречие? Есть просто новое и ложное (при неявной проверке ложности) высказывание. А где парадокс?

-- 08.03.2019, 00:29 --

arseniiv в сообщении #1380434 писал(а):

alex55555 в сообщении #1380427 писал(а):

С такой постановкой я согласен, но ведь в выражении указано обязательное условие - икс принадлежит игрек.

Не нужно думать в таких терминах: вот есть просто формула целиком, и мы из неё выводим другие, и для этого не нужно особенным образом придавать смысл её частям.

Но тогда и смысла в формуле нет никакого. Зачем бессмысленная формула в осмысленной теории?

Смысл неявно есть. Но неявность его проверки/подтверждения не означает, что смысла нет.

-- 08.03.2019, 00:45 --

Someone в сообщении #1380473 писал(а):

Речь идёт о схеме аксиом, то есть, о способе записи бесконечного множества аксиом. Здесь для каждой высказывательной функции $P(x)$ определяется своя аксиома. Схема аксиом формулируется не в языке предметной теории (здесь — теории множеств), а в метаязыке, в котором определяется язык предметной теории (чаще всего это просто естественный язык). Поэтому к предметной теории эти замены отношения не имеют.

Но эти замены потом используются для дальнейших рассуждений о предметной теории. Так как же они не имеют к ней отношения?

Someone в сообщении #1380473 писал(а):

Нет там никакого "обязательного условия". В этом месте доказательства происходит консервативное расширение языка теории множеств: вводится постоянная "$Y$", и для этой постоянной формулируется аксиома

$$\forall x(x\in Y\Leftrightarrow x\notin x),$$

которая служит определением множества $Y$

Само выражение "служит определением множества" даёт нам прямую связь с теорией множеств. А в теории множеств есть отношение принадлежности, которое может быть истинным или ложным. Но мы, заменяя переменную, тем самым меняем и значение истинности или ложности отношения принадлежности. Если бы мы заменили $x$ на $z$, тогда истинность или ложность высказывания не изменились бы. Но мы вносим изменение сути. То есть формируем новое высказывание. И далее интерпретируем его в терминах теории множеств, а не исчисления предикатов. Поэтому именно в терминах теории множеств нужно учитывать смысл отношения принадлежности и всего высказывания в целом. Но вы настаиваете на игнорировании смысла в терминах теории множеств. А зачем в теории множеств бессмысленное выражение?

Someone в сообщении #1380473 писал(а):

Вы явно перепутали два совершенно разных понятия: «буква "$x$" входит в формулу $\Phi$» (это означает, что если мы посмотрим на запись формулы, например, "$z=x+y^2-x^2$", то в этой записи найдём букву "$x$") и «число $x$ входит в число $z$» (никакое число ни в какое другое не входит; не надо придумывать какой-нибудь специальный смысл для этого "входит"; множества тоже не "входят" друг в друга).

Видимо я не точно выразился. То есть я согласен, что использовать формальные правила вывода можно и при этом отношение принадлежности игнорируется. Но оно игнорируется только до момента завершения применения правил исчисления предикатов. А после того, как правила применены, мы возвращаемся в область теории множеств с её смыслами. Эти смыслы никак не связаны с исчислением предикатов. То есть мы забываем о предикатах и вспоминаем теорию множеств. И анализируем результат в её терминах. И устанавливаем - результат ложный. Что это означает? На мой взгляд - мы просто предприняли попытку понять, а что будет если выполнить определённую замену. И поняли - выражение станет ложным. Но какой из этого делается вывод? Как я понимаю, из этого был сделан вывод о неполноте теории Цермелло. Но может проще было сделать вывод о бессмысленности такой подстановки?

[mihaild]

alex55555 в сообщении #1380483 писал(а):

Как минимум правило с таким вариантом подстановки не рассматривается у Куратовского (или я пропустил)

Аналог этого правила в терминах Куратовского - теорема "если $a \in A$, то $\bigwedge\limits_{x \in A} \Phi(x) \rightarrow \Phi(a)$". 55 страница в издании 1970 года.

Ни про пролог, ни про унификацию я ничего не знаю, и в классическом исчислении высказываний никаких таких проверок нет. Если внешний квантор в формуле является квантором всеобщности, то, убрав его и подставив везде вместо переменной стоявшей под квантором один и тот же терм, мы получим следствие исходной формулы.

alex55555 в сообщении #1380483 писал(а):

Далее следуя $\forall x: P(x) \rightarrow P(t)$, мы можем заменить ворону на кита, или на чёрного слона.

А где у вас был квантор всеобщности? Какое утверждение вы обозначили $P$?
Вот если бы у нас было утверждение "все объекты белые", то из него можно было бы подстановкой вывести "слон белый". Мы не можем заменять произвольные переменные произвольными термами. Но подставить вместо переменной, стоящей под квантором всеобщности, терм - можем.

alex55555 в сообщении #1380483 писал(а):

То есть мы забываем о предикатах и вспоминаем теорию множеств

Теория множеств - теория в исчислении предикатов. Нельзя говорить о ней, "забыв" о предикатах.

[arseniiv]

alex55555 в сообщении #1380483 писал(а):

Как минимум правило с таким вариантом подстановки не рассматривается у Куратовского (или я пропустил).

Ну так та книга-то вроде достаточно неформальная. В ней и выводы неформальные, как в большей части математики. Формальное рассмотрение есть в других, хотя они могут кстати требовать знакомства с исчислением предикатов заранее. Если такое окажется, кто-нибудь посоветует книжку по матлогике.

-- Пт мар 08, 2019 03:14:18 --

alex55555 в сообщении #1380483 писал(а):

Но тогда и смысла в формуле нет никакого.

Ну почему нет, как вы к этому перескочили в рассуждении.

[Someone]

alex55555 в сообщении #1380483 писал(а):

я знаю, что при исчислении высказываний используется процедура унификации (реализована в языке пролог)

Безнадёжно. Уже появился Пролог.
Нет в исчислении высказываний никакой "процедуры унификации". По тривиальной причине: в теории первого порядка в односортной логике все объекты однотипны, и любой переменной может быть назначен в качестве значения любой объект.
(И кванторов в исчислении высказываний тоже нет, они в исчислении предикатов появляются. В исчислении высказываний нет объектов, и кванторы не к чему применять.)

В общем, человек сюда пришёл не учиться, а учить. В первую очередь — специалистов. Не разобравшись при этом ни в математической логике, ни в теории множеств.

alex55555 в сообщении #1380483 писал(а):

Поэтому дальше нужна проверка истинности нового высказывания.

Может получиться как истинное, так и ложное высказывание. Ни то, ни другое для выполнения подстановки не требуется. Подставляем что хотим. Что получится, то и получится. Если для выполнения дальнейших рассуждений требуется определённое значение истинности полученного высказывания, это будет учтено. Если речь идёт о доказательстве теоремы, то у этой теоремы есть условие, которое ограничивает совокупность объектов, которые можно подставлять.

alex55555 в сообщении #1380483 писал(а):

А зачем в теории множеств бессмысленное выражение?

Вы явно не отличаете ложное высказывание от бессмысленного. Синтаксически правильно построенная формула со свободными переменными является осмысленной при подстановке вместо свободных переменных любых объектов теории. При этом она может быть либо истинной, либо ложной. Например, высказывание "Волга впадает в Индийский океан" является осмысленным, но ложным. Если бы оно было бессмысленным, мы не могли бы определить, истинно оно или ложно.

Формула $\Phi(x)=(x\in Y\Leftrightarrow x\notin x)$ имеет свободную переменную $x$ (а $Y$, как я говорил в предыдущем сообщении, временно введённая константа, вместо которой ничего подставлять нельзя, так как её значение было определено однозначно). А вот вместо $x$ мы имеем право подставлять любое множество, какое хотим.
Множество $Y$ у нас определено так, чтобы высказывание $\Phi(x)$ было истинным для любого множества $x$, так как по определению $Y$ высказывания $x\in Y$ и $x\notin x$ имеют одинаковые значения истинности. В частности, $\Phi(Y)$ должно быть истинным (то есть, мы доказали $\Phi(Y)$). Однако подстановка $Y$ вместо $x$ даёт $\Phi(Y)=(Y\in Y\Leftrightarrow Y\notin Y)$. Поскольку высказывания $Y\in Y$ и $Y\notin Y$ имеют противоположные значения истинности, и получается, что $\Phi(Y)$ ложно и, следовательно, истинно $\neg\Phi(Y)$ (то есть, мы доказали $\neg\Phi(Y)$).

Таким образом, в нашей теории множеств, содержащей аксиому $\exists y(x\in y\Leftrightarrow x\notin x)$, выводимы обе формулы $\Phi(Y)$ и $\neg\Phi(Y)$, где $Y=\{x:x\notin x\}$. Такая ситуация, когда в теории выводимы обе формулы $\varphi$ и $\neg\varphi$, и называется парадоксом, или противоречием, а теория, содержащая противоречие, называется противоречивой.

В ZFC, естественно, нет неограниченной аксиомы свёртывания Фреге (точнее, схемы аксиом), вместо неё есть существенно более слабые аксиомы выделения и подстановки, которые не позволяют построить множество Рассела $Y$.

alex55555 в сообщении #1380483 писал(а):

Но эти замены потом используются для дальнейших рассуждений о предметной теории.

По-моему, я достаточно внятно объяснил, для чего используются схемы аксиом.

alex55555 в сообщении #1380483 писал(а):

Так как же они не имеют к ней отношения?

К предметной теории относятся не замены (они выполняются в метаязыке), а их результат. То есть, некоторый набор аксиом. Бесконечный, как правило.

[alex55555]

Из обсуждения (и обдумывания) я вынес как минимум одну важную для меня деталь - я не уделил должного внимания получению парадокса. У Куратовского сказано, что если принять в качестве аксиомы формулировку из наивной теории множеств, то можно получить противоречие.

Куратовский приводит такую формулировку:

Цитата:

Для каждой высказывательной функции $\Phi$ существует множество $B$, состоящее из тех и только тех элементов, которые удовлетворяют этой функции.

Далее Куратовский приводит теорему с номером 7 (стр.69), звучащую так:

Цитата:

Не существует такого множества $Z$, что
$\forall x[(x\in Z)$\equiv \Phi(x)$]$

Затем идёт доказательство:

Цитата:

Если бы такое множество $Z$ существовало, то была бы справедлива эквивалентность
$(x\in Z) $\equiv (x - множество) $\wedge$ (x \notin x) $
Заменяя $x$ на $Z$ и учитывая, что $Z$ - множество, мы получили противоречие $Z\in Z \equiv Z\notin Z$.

Если формально выполнять подстановки, то вроде бы всё сходится. Но ведь и для значения высказывательной функции, равного $(x \notin x)$, тоже можно найти множество, соответствующее данному значению. Это просто множество множеств, не включающих самих себя в качестве элементов. То есть выполняется требование потенциальной аксиомы "состоящее из тех и только тех элементов, которые удовлетворяют этой функции".

Но в процессе выполнения формальных подстановок имеем потерю указанного смысла. То есть из-за указания в теореме 7 квантора всеобщности для x, мы получаем формальное право заменять его чем угодно, поэтому и заменяем на $Z$. Только в результате получается ложное высказывание, в то время как мы только что видели, что для данной высказывательной функции требование потенциальной аксиомы выполняется, и значит, формальная запись так же должна быть истинной. Но она ложная. Отсюда вывод - формальная запись не соответствует изначальной формулировке. Разве нет?

И действительно, ведь в потенциальной аксиоме говорится о множестве, состоящем из специфических элементов, то есть удовлетворяющих некоторому условию. А в формальной записи в теореме 7 сначала стоит квантор общности, который снимает все ограничения с переменной $x$. Но ограничения-то есть. В самой аксиоме ограничение формулируется так - "которые удовлетворяют этой функции".

Либо порядок чтения формулы $\forall x[(x\in Z)$\equiv \Phi(x)$]$ должен быть другим. Я понимаю его так - для всех $x$ выполняется эквивалентность - $x$ принадлежит $Z$ и результат высказывательной функции со входным значением $x$ является истинным. И здесь именно "для всех $x$" - неправильно.

-- 08.03.2019, 15:17 --

mihaild в сообщении #1380489 писал(а):

Теория множеств - теория в исчислении предикатов. Нельзя говорить о ней, "забыв" о предикатах.

В данном случае "забыв" не относится к полному отрицанию предикатов. Мы рассуждаем о неких смыслах и в процессе рассуждения используем формальные правила вывода. Но после применения правил мы ведь получаем выражение, которое нужно осмыслить, то есть здесь уже правила не играют никакой роли (если, конечно, мы не применили их с ошибками). Смысл - это новый уровень, а правила - это инструментальная база, просто функция обеспечения для наших задач. Молоток важен при забивании гвоздя, но при этом очень желательно понимать - а зачем мы забиваем гвоздь. И вот для понимания цели забивания гвоздя молоток совсем не нужен.

-- 08.03.2019, 15:21 --

arseniiv в сообщении #1380503 писал(а):

Формальное рассмотрение есть в других, хотя они могут кстати требовать знакомства с исчислением предикатов заранее. Если такое окажется, кто-нибудь посоветует книжку по матлогике.

Да, что бы быстро ориентироваться в исчислениях предикатов и формальном выводе мне бы полноценное знакомство не помешало. Но пока я его немного отложил (заменив поверхностным).

arseniiv в сообщении #1380503 писал(а):

alex55555 в сообщении #1380483 писал(а):

Но тогда и смысла в формуле нет никакого.

Ну почему нет, как вы к этому перескочили в рассуждении.

В целом смысл я потерял именно при чтении доказательства теоремы 7 у Куратовского. А почему конкретно - я написал выше.

[mihaild]

alex55555 в сообщении #1380579 писал(а):

Это просто множество множеств, не включающих самих себя в качестве элементов.

Пусть такое множество есть. Обозначим его $Y$. Вопрос (вам): $Y$ включает себя в качестве элемента, или нет?

alex55555 в сообщении #1380579 писал(а):

Отсюда вывод - формальная запись не соответствует изначальной формулировке. Разве нет?

Нет. Отсюда вывод - для данной высказывательной функции неограниченная аксиома выделения не выполняется.
(если бы мы правда смогли в дополнении к этому показать, что она еще и выполняется, то это бы означало, что наша теория противоречива)

alex55555 в сообщении #1380579 писал(а):

Но ограничения-то есть.

Нету. Экивалентность должна быть выполнена для любого $x$.

alex55555 в сообщении #1380579 писал(а):

Я понимаю его так - для всех $x$ выполняется эквивалентность - $x$ принадлежит $Z$ и результат высказывательной функции со входным значением $x$ является истинным.

Вы понимаете неправильно. Кроме того, вторая часть вашего предложения даже не является экивалентностью чисто синтаксически.
Правильно понимать ровно так, как написано: для любого $x$ утверждения $x \in Z$ и $\Phi(x)$ эквивалентны.

А вы занимаетесь чем-то очень странным: рассказываете, что исчисление предикатов устроено не так, как оно устроено на самом деле. Это абсолютно бессмысленная деятельность (еще более бессмысленная, чем попытки показать непротиворечивость наивной теории множеств).

[alex55555]

Someone в сообщении #1380506 писал(а):

Нет в исчислении высказываний никакой "процедуры унификации". По тривиальной причине: в теории первого порядка в односортной логике все объекты однотипны, и любой переменной может быть назначен в качестве значения любой объект.

Я отвечал на указание формулы, в которой фигурировал терм. Терм может включать дополнительные переменные, а такой момент имеет смысл учитывать, ведь без его учёта можно будет вводить в подстановку любую ахинею. Например - если в терме есть переменные с тем же названием, что и в высказывании, куда мы терм подставляем, то при последующей подстановке вместо этих переменных чего-то ещё, нам нужно понимать, как заменять переменные не только в терме, но и во всём высказывании. Если здесь не будет формальных правил, то можно будет произвольно в одном месте заменить, а в другом не заменить.

-- 08.03.2019, 15:57 --

mihaild в сообщении #1380584 писал(а):

alex55555 в сообщении #1380579 писал(а):

Это просто множество множеств, не включающих самих себя в качестве элементов.

Пусть такое множество есть. Обозначим его $Y$. Вопрос (вам): $Y$ включает себя в качестве элемента, или нет?

Вы пытаетесь подвести меня под очередное противоречие. Но здесь я пока смогу ответить лишь в "наивном" смысле, поскольку вывести ответ из аксиом ZFC для меня будет весьма долгим занятием (и не факт, что успешным без изменения аксиом).

Проблема противоречий в формальном использовании слова "все". Как мы знаем из гёделевской теоремы о неполноте, из формально непротиворечивой системы можно получить невыводимую и неопровержимую формулу. А для вывода или опровержения нужно выйти за рамки системы. Но слово "все" заставляет выводить или опровергать в том числе невыводимое и неопровержимое, оставаясь в рамках системы. То есть требовать "что бы все" - некорректно. А вы как раз предлагаете включить (либо не включить) все множества (в смысле если я откажусь включать - вы сошлётесь на "что бы все"). Ну и я пытаюсь показать, что все множества включать не надо. Можно это оформить в виде аксиомы, исключающей как минимум одно множество, можно ещё как-то, но пока такая формализация не проведена, я могу ответить лишь неформально - нельзя включать $Y$ в самого себя в рассматриваемом случае. И нельзя считать такое невключение нарушением логических правил, поскольку Гёдель доказал, что в рамках системы (в том числе я) могу получить невыводимую и неопровержимую формулу. И пусть этой формулой будет, например, формула, запрещающая включение $Y$ самого в себя в данном конкретном случае.

mihaild в сообщении #1380584 писал(а):

alex55555 в сообщении #1380579 писал(а):

Отсюда вывод - формальная запись не соответствует изначальной формулировке. Разве нет?

Нет. Отсюда вывод - для данной высказывательной функции неограниченная аксиома выделения не выполняется.

А если не включать множество множеств само в себя?

mihaild в сообщении #1380584 писал(а):

alex55555 в сообщении #1380579 писал(а):

Но ограничения-то есть.

Нету. Экивалентность должна быть выполнена для любого $x$.

Ну вот - опять подразумевается "что бы все". Но Гёдель же доказал - для всех невозможно.

mihaild в сообщении #1380584 писал(а):

А вы занимаетесь чем-то очень странным: рассказываете, что исчисление предикатов устроено не так, как оно устроено на самом деле. Это абсолютно бессмысленная деятельность (еще более бессмысленная, чем попытки показать непротиворечивость наивной теории множеств).

Я не могу (пока) свободно оперировать терминами исчисления предикатов, но тем не менее вижу непонятное место, уж на это я могу быть способен? Возможно я ошибаюсь, но пока я не понимаю - почему я ошибаюсь. Ну а впечатления в процессе обсуждения могут быть какие угодно, только что это меняет?

[mihaild]

Теорема Гёделя никакого отношения к происходящему не имеет.

(Оффтоп)

И почему всех кто не разбирается в математике именно она так притягивает? Ни разу не видел чтобы пытались в каждую дырку засунуть что-то еще.

Если вы хотите разобраться в исчислении предикатов - вам надо взять учебник, в котором оно излагается. Например "Языки и исчисления" Верещагина и Шеня. У Мостовского формального построения исчисления нет.

alex55555 в сообщении #1380586 писал(а):

Но здесь я пока смогу ответить лишь в "наивном" смысле, поскольку вывести ответ из аксиом ZFC для меня будет весьма долгим занятием (и не факт, что успешным без изменения аксиом).

Причем здесь ZFC, если разговор о наивной теории множеств?

alex55555 в сообщении #1380586 писал(а):

Ну и я пытаюсь показать, что все множества включать не надо

Так вы пытаетесь разобраться в том, что придумали до вас, или придумать что-то свое? Если первое - то не вам решать, что надо включать, а что не надо, это уже решили за вас. Если второе - то это вам в дискуссионный раздел.

[alex55555]

mihaild в сообщении #1380597 писал(а):

Если второе - то это вам в дискуссионный раздел.

То есть при исключении обязательности включения множества $Y$ в себя мои рассуждения не вызывают аргументированных возражений?

Кстати, без Гёделя и прочего мы можем привести примеры множеств, не включающих сами себя, что означает, что мы можем найти и множества и элементы, удовлетворяющие "наивной" аксиоме, но не можем считать это общепринятым результатом из-за возможного возражения о необходимости включения $Y$ в себя. Правильно?

Собственно мне доказывать что-то здесь совершенно нет желания (дискуссионный раздел), но я хочу понять, до какого момента я реально понял общепринятый вариант аксиоматической теории множеств. Ну и вот надеюсь на, например, вашу помощь.

[mihaild]

alex55555 в сообщении #1380628 писал(а):

То есть при исключении обязательности включения множества $Y$ в себя мои рассуждения не вызывают аргументированных возражений?

При чем? Что такое "обязательность включения", и что такое "исключение"?
Возражение по существу одно: тексты, которые вы пишете, не являются рассуждениями в / об исчислении предикатов. И вообще о какой-либо известной мне формальной системе.

alex55555 в сообщении #1380628 писал(а):

Кстати, без Гёделя и прочего мы можем привести примеры множеств, не включающих сами себя, что означает, что мы можем найти и множества и элементы, удовлетворяющие "наивной" аксиоме, но не можем считать это общепринятым результатом из-за возможного возражения о необходимости включения $Y$ в себя. Правильно?

Что именно "считать общепринятым результатом", и что вообще такое "общепринятый результат"? В формальных исчислениях нет такого понятие - там говорят только о выводимых и не выводимых формулах (и о производных от этих понятий - доказуемых, опровержимых и т.д.).

alex55555 в сообщении #1380628 писал(а):

до какого момента я реально понял общепринятый вариант аксиоматической теории множеств

Ни до какого. Вы еще не разобрались даже с исчислением, в котором эти аксиомы формулируются.
Что не слишком удивительно, потому что в учебнике Куратовского исчисление вообще не строится. Одна из книг, где строится - "Языки и исчисления" (кстати, у тех же авторов есть и "Основы теории множеств", которые имхо проще для понимания чем книга Куратовского).
А не разобравшись с тем, что вообще такое формулы, как определяются формальные выводы и т.д., пытаться понять аксиоматическую теорию - это примерно то же самое что пытаться читать книгу, написанную латиницей но на китайском.

[alex55555]

mihaild в сообщении #1380669 писал(а):

Вы еще не разобрались даже с исчислением, в котором эти аксиомы формулируются.

Свободно оперировать всеми подобными понятиями, пока, не могу. Но понятие о кванторе всеобщности имею. И вижу, что при переводе с человеческого языка на язык формул допущена некорректность.

Напомню словесное описание аксиомы:

Цитата:

Для каждой высказывательной функции $\Phi$ существует множество $B$, состоящее из тех и только тех элементов, которые удовлетворяют этой функции.

В нём нет указания на всеобщность для элементов множества. Более того - здесь есть явное ограничение - "которые удовлетворяют этой функции". А в синтаксически правильно построенной формуле (по определению Someone) имеем квантор всеобщности для $x$ на первом месте, что делает $x$ независимым ни от чего. То есть ограничение, присутствующее в начальном тексте, просто потеряно. Потому что сразу утверждается - $x$ может быть любым.

В каком месте здесь необходимы дополнительные знания исчисления предикатов или высказываний?

Здесь имеет место перевод из одной системы (неформальной) в другую (формальную), но смысл задаёт именно неформальная система. И если смысл в формальной системе искажается, значит перевод неправильный. С точки зрения математики, видимо, этот перевод можно заменить функцией отображения между двумя системами. И в данном месте функция возвращает ошибочный результат. А вот если бы мы согласились, что результат безошибочный, тогда бы мы могли признать все дальнейшие преобразования на основе формальной логики.

Или скажем по другому - вы действительно считаете, что при преобразовании не было допущено логической ошибки?
А почему?

[iifat]

(Оффтоп)

alex55555 в сообщении #1380743 писал(а):

А почему?

Не потому ли, что он-то знает аксиоматическую теорию множеств?

[mihaild]

alex55555 в сообщении #1380743 писал(а):

Но понятие о кванторе всеобщности имею

Нет, не имеете. В этом нет ничего страшного - я не слышал ни про одного человека, у которого это понятие было врожденным. Но чтобы получить это понятие, нужно либо очень много работать (чтобы придумать его самостоятельно), либо немного поработать, прочитав учебник, где оно аккуратно вводится.

alex55555 в сообщении #1380743 писал(а):

В каком месте здесь необходимы дополнительные знания исчисления предикатов или высказываний?

В том месте, где вы формализуете "множество, состоящее из тех и только тех элементов, для которых что-то". Это формализуется именно в $\forall x: x \in A \leftrightarrow \Phi(x)$".
Заметим что формализовать это принципиально другим способом нельзя: по $x$ нужно поставить какой-то квантор, а кванторов кроме $\forall$ и $\exists$ в исчислении предикатов нет. Т.е. нам в любом случае придется писать утверждение вида "для любого $x$ выполнено что-то там".

[Someone]

alex55555 в сообщении #1380743 писал(а):

Но понятие о кванторе всеобщности имею.

Неправильное.

alex55555 в сообщении #1380743 писал(а):

В нём нет указания на всеобщность для элементов множества.

Есть. Мы должны проверить все объекты, подставив их в высказывательную функцию и "сложив в коробку" те и только те из них, для которых высказывательная функция принимает логическое значение "истина".

alex55555 в сообщении #1380743 писал(а):

С точки зрения математики, видимо, этот перевод можно заменить функцией отображения между двумя системами.

Нельзя, потому что неформальная система не определена как математический объект. Например, мы не можем доказывать никаких теорем о неформальной арифметике, которой пользуемся в быту и в разных науках, включая бо́льшую часть математики. А о формальной арифметике Пеано первого порядка мы можем доказывать разные (мета)теоремы. Например, что теорема Гудстейна в арифметике Пеано недоказуема. А в неформальной арифметике эта теорема доказуема, так как средства доказательства в ней не предопределены, и мы имеем возможность использовать более сильную теорию, например, средства теории множеств.

alex55555 в сообщении #1380743 писал(а):

Или скажем по другому - вы действительно считаете, что при преобразовании не было допущено логической ошибки?

Логической ошибки нет, но объяснить это Вам с вашим "пониманием" математической логики и теории множеств невозможно. Вы, читая серьёзные книги по теории множеств, ничего толком не поняли, но навыдумывали собственных нелепостей, за которые теперь держитесь не только руками и ногами, но и зубами. Вам об этом говорил не только я, но Вы, видимо, считаете, что все математики за последние примерно полтораста лет являются полными идиотами и сами не понимают, что говорят. Вы же жаждете ниспровергнуть "официальную науку" (которой на самом деле не существует) и осчастливить несчастное человечество, стенающее под гнётом извергов-учёных.
Проблема, на самом деле, в другом: полная формализация неформальной арифметики или неформальной теории множеств невозможна, и всегда остаются утверждения, которые "должны" быть истинными, но в формализованной теории недоказуемы. Но это не имеет отношения к парадоксу Рассела.

Я вижу, что Вы почему-то настойчиво пытаетесь избавиться от противоречия в парадоксе Рассела, хотя ваши попытки выглядят бессмысленными. Собственно, от парадокса Рассела избавиться можно, приняв в качестве одного из принципов теории аксиому регулярности. Она запрещает не только принадлежность $x\in x$, но и вообще "кольца" принадлежности $x_1\in x_2\in x_3\in\ldots\in x_n\in x_1$ любой длины $n\geqslant 1$, а также бесконечную "влево" цепь принадлежностей $\ldots\in x_n\in x_{n-1}\in x_{n-2}\in\ldots\in x_2\in x_1$. При этом "убивается" множество Рассела, и парадокс Рассела осуществить не удаётся. Однако останутся другие парадоксы, связанные с множеством всех множеств, так что введение аксиомы регулярности само по себе не сделает теорию непротиворечивой. Проблема именно в принципе неограниченного свёртывания Фреге, который утверждает существование множества всех множеств, обладающих любым наперёд заданным свойством.

Вам зачем-то нужно множество всех множеств? Что Вы хотите с ним делать? Вы не подозреваете, что ломитесь в открытую дверь? Точнее, Вы пытаетесь пройти сквозь стену рядом с широко распахнутой дверью, через которую математика давно прошла.

[alex55555]

mihaild в сообщении #1380756 писал(а):

alex55555 в сообщении #1380743 писал(а):

В каком месте здесь необходимы дополнительные знания исчисления предикатов или высказываний?

В том месте, где вы формализуете "множество, состоящее из тех и только тех элементов, для которых что-то". Это формализуется именно в $\forall x: x \in A \leftrightarrow \Phi(x)$".

Да, вам удалось ввести меня в некоторое заблуждение. Началось всё с вот этого:

mihaild в сообщении #1380584 писал(а):

alex55555 в сообщении #1380579 писал(а):

Это просто множество множеств, не включающих самих себя в качестве элементов.

Пусть такое множество есть. Обозначим его $Y$. Вопрос (вам): $Y$ включает себя в качестве элемента, или нет?

Далее я, признаю, ошибочно, купился на ваше предложение про $Y$ и ушёл в сторону от определений из учебников. Но после вашего же указания на неверное прочтение учебника повторно заглянул туда и обнаружил, что, как пишет Куратовский:

Цитата:

Если каждый элемент множества $A$ удовлетворяет высказывательной функции $\Phi(x)$, то это записывается следующим выражением:
$\bigwedge\limits_{x \in A} \Phi(x) $
и читается: для каждого $x$, принадлежащего $A$, имеет место $\Phi(x)$.

То есть для теоремы 7 у Куратовского:

Цитата:

Не существует такого множества $Z$, что
$\forall x[(x\in Z)$\equiv \Phi(x)$]$

Имеем уточнённое понимание - для каждого $x$, принадлежащего множеству $A$... далее пропущено, ибо нам важна именно первая часть.

Исходя из такой уточнённой трактовки я вижу очередное несоответствие - почему $Z$ обязано входить во множество $A$? Как вытекает из уточнённой трактовки (по Куратовскому), в математике нет требования совпадения множеств под знаком квантора и участвующих в дальнейшей логической формуле, а значит я опять не понимаю - почему вообще можно подставлять $Z$ вместо $x$, не зная, входит ли $Z$ в упомянутое выше множество $A$? Если же мы выполним подстановку таким некорректным способом, то и получим ложное высказывание. То есть мы, зная изначально, что множество не должно входить само в себя, тем не менее подставляем его вместо элемента самого себя (по первой части эквивалентности).

Если же мы не станем настаивать на безусловном вхождении $Z$ в $A$, то дальнейшее доказательство теоремы 7 ведёт к нарушению правил вывода в части подстановки вместо $x$ значения, не входящего в $A$.

Поэтому само противоречие, как я понимаю, по прежнему возникает лишь из-за некорректности, но уже и при переводе "с человеческого" на формальный язык, и при доказательстве теоремы 7 с использованием подстановки $Z$ вместо $x$ без доказательства её наличия в множестве $A$. При переводе же, как я понимаю, неявно подразумевается равенство множества $Z$ множеству $A$, но нет явного указания на такое условие. Отсутствие указания ведёт к отсутствию строгости и возможности вольной интерпретации.

Ну и "по простому" всё ещё более очевидно, если мы можем привести примеры множеств, не входящих в самих себя и включающих элементы, для которых имеет место как принадлежность высказывательной функции, так и включение в некое дополнительное множество. Это даёт нам (по Куратовскому):

Цитата:

Для каждой высказывательной функции $\Phi$ существует множество $B$, состоящее из тех и только тех элементов, которые удовлетворяют этой функции.

При этом возможны какие-то дополнительные детали трактовок формальной записи наивной аксиомы, но я готов рассмотреть и (по возможности) свести и их к некоему минимуму, позволяющему нам понять, кто же из нас прав.

Так же было бы интересно понять, что вы хотели сказать своим вопросом про множество $Y$. Мой ответ на ваш вопрос - множество $Y$ не входит само в себя.

-- 10.03.2019, 17:48 --

Someone в сообщении #1380775 писал(а):

Мы должны проверить все объекты, подставив их в высказывательную функцию и "сложив в коробку" те и только те из них, для которых высказывательная функция принимает логическое значение "истина".

Куратовский считает, что должно быть некое множество, каждый элемент которого делает высказывательную функцию истинной.

Someone в сообщении #1380775 писал(а):

alex55555 в сообщении #1380743 писал(а):

С точки зрения математики, видимо, этот перевод можно заменить функцией отображения между двумя системами.

Нельзя, потому что неформальная система не определена как математический объект.

Да, конечно, нам потребуется её формализация. Но после формализации же можно?

Someone в сообщении #1380775 писал(а):

Вы, читая серьёзные книги по теории множеств, ничего толком не поняли, но навыдумывали собственных нелепостей, за которые теперь держитесь не только руками и ногами, но и зубами.

Да, я могу чего-то непонимать и видеть картину как-то по другому, но разве обучение не предполагает именно таких характеристик обучающегося?

Someone в сообщении #1380775 писал(а):

Проблема, на самом деле, в другом: полная формализация неформальной арифметики или неформальной теории множеств невозможна, и всегда остаются утверждения, которые "должны" быть истинными, но в формализованной теории недоказуемы. Но это не имеет отношения к парадоксу Рассела.

А вдруг имеет отношение? Я не настаиваю, поскольку сам пока не могу дать строгого доказательства, но всё же на всякий случай спрошу.

Someone в сообщении #1380775 писал(а):

Собственно, от парадокса Рассела избавиться можно, приняв в качестве одного из принципов теории аксиому регулярности.

Но может быть это возможно и без принятия аксиомы? Я не говорю, что это именно так, но просто вы довольно безапелляционо отсекаете вообще все альтернативы.

Someone в сообщении #1380775 писал(а):

Вам зачем-то нужно множество всех множеств? Что Вы хотите с ним делать? Вы не подозреваете, что ломитесь в открытую дверь? Точнее, Вы пытаетесь пройти сквозь стену рядом с широко распахнутой дверью, через которую математика давно прошла.

Мне как раз не нужно множество всех множеств, поскольку я считаю, что использование слова "все" допустимо лишь с оговорками. Иначе будут противоречия.