Задача на предикаты (привести к предваренной нормальн форме)

[Виктория123]

ну да, не понимаю откуда оно берется,почему его можно записать

[Профессор Снэйп]

Вы не понимаете, почему это утверждение верно, или Вы согласны с тем, что оно верно, но не понимаете, почему я решил рассмотреть именно его?

[Виктория123]

то,что оно верно точно. но я не понимаю откуда вы это получили. просто у нас были похожие примеры и когда были даны в задании гипотезы $A$и $B$ то они и были написаны. а в моем задании их же нет

[Профессор Снэйп]

Виктория123 писал(а):

то,что оно верно точно. но я не понимаю откуда вы это получили.

Здесь сработала моя гениальная интуиция

Если Вы признаёте, что утверждение в первой строчке верно, то Вы, наверное, признаете также, что утверждение во второй строчке тоже верно, ибо оно следует из утверждения в первой строчке по теореме о дедукции. Так?

[Виктория123]

да,если 1ое верно,то откуда получается остальные ,я поняла. но откуда же первое? что,его никак не надо объяснять?

[RIP]

Виктория123
Я, конечно, в матлогике абсолютный ноль, но мне кажется, что Вы "путаете кислое с длинным". Вы согласны, что это злополучное первое утверждение верно. Но ведь больше от него ничего и не требуется. Это утверждение не подразумевает, что нам дана гипотеза $(A\to(B\to C))$, или $A$, или $B$. Оно просто верно и всё тут. Следовательно, верна третья строчка. А в третьей строчке как раз и написано то, что требуется доказать в задаче. Кажется, как-то так.
P.S. Я бы не стал встревать, но мне показалось, что Вы с Профессором Снэйпом "говорите на разных языках" и поэтому не понимаете друг друга.

[Профессор Снэйп]

Виктория123 писал(а):

да,если 1ое верно,то откуда получается остальные ,я поняла. но откуда же первое? что,его никак не надо объяснять?

Ну в каком смысле не надо?

Почему оно верно, объяснять, безусловно, надо. Но это очень легко и я надеюсь, что Вы справитесь с этим самостоятельно. А откуда оно взялось --- нет, не надо? Зачем?

Это как в алгебре. Вот вам дали кубическое уравнение, Вы нашли у него корень (скажем, подбором). Пусть, к примеру, корнем будет число 5. Поделили многочлен на $x-5$, получили квадратное уравнение, для него уже нашли дискриминат и остальные корни. И вот теперь представьте, что препод у Вас принимает это задание. Он может докопаться: "А верно ли, что 5 действительно является корнем исходного уравнения"? И тут Вы обязаны продемонстрировать ему, что да, является. А если он скажет: "Ну да, корень-то оно корень, но ведь мы на семинарах никогда не рассматривали корень 5, а только корни 2 и 3. Почему вы вдруг пятёрку рассматривать стали?" Что на это можно ответить? Догадалась, что надо рассматривать именно 5. И больше от Вас никто ничего не вправе требовать.

Так же и тут примерно. Первое утверждение верно. Я не знаю, как рассеять Ваше недоумение по поводу того, что я начал вдруг его рассматривать. Почему я начал это делать? Да просто догадался, что начиная с него, мы придём к решению исходной задачи. Какие могут тут быть претензии?

[RIP]

Профессор Снэйп
Тут, по-моему, проблема в другом. Я, к сожалению, с терминологией не знакОм, поэтому буду говорить так, как сумею. Я думаю, что Виктория123 рассуждает примерно так (извините, если что перевру - я не со зла). Нам известно, что гипотеза $(A\to(B\to C))$ верна, и мы хотим доказать, что верна $(B\to(A\to C))$ (хотя в задании наоборот, но какая разница - просто переобозначим буквы). Первое утверждение "говорит", что если верны гипотезы $(A\to(B\to C))$, $A$ и $B$, то верна гипотеза $C$. Но нам, к сожалению, про гипотезы $A$ и $B$ ничего не известно ... А нам и не надо ничего про них знать. Это утверждение - это просто утверждение "$C$ выводима из $(A\to(B\to C)),A,B$", а $A,B,C$, которые в ней фигурируют, не имеют никакого отношения к $A,B,C$ из задачи. Это просто имена переменных.

[Виктория123]

RIP, Вы правы,я думала так,как Вы пишите в последнем сообщении )

Профессор Снэйп писал(а):

[Какие могут тут быть претензии?

Да конечно никаких,просто пыталась разобраться )

Более менее стало ясно. Только теперь вопрос,а как объясныть почему оно верно? [/b]

[Профессор Снэйп]

Виктория123 писал(а):

Только теперь вопрос,а как объясныть почему оно верно?

Ну... Это задача для детского сада

1) $A \rightarrow (B \rightarrow C)$ --- гипотеза;
2) $A$ --- гипотеза;
3) $B \rightarrow C$ --- получается из 1 и 2 по modus ponens;
4) $B$ --- гипотеза;
5) $C$ --- получается из 3 и 4 по modus ponens.

Проверьте и устыдитесь!!!

RIP писал(а):

Первое утверждение "говорит", что если верны гипотезы $(A \rightarrow (B \rightarrow C))$, $A$ и $B$, то верно утверждение $C$.

Чуть-чуть не так. Первое утверждение говорит, что $C$ доказуемо из $A$, $B$ и $(A \rightarrow (B \rightarrow C))$, то есть что существует некое формальное логическое рассуждение (типа доказательства теоремы), которая обосновывает справедливость $C$ в случае, когда справедливы три указанных гипотезы.

Выше я привёл для Виктории само это "формальное логическое рассуждение".

В курсе логике доказывается также утверждение, известное как теорема о дедукции. Формулируется она так:

Если для произвольных формул $\Phi$, $\Psi$ и произвольного множества формул $G$ справедливо $G \cup \{ \Phi \} \rhd \Psi$, то справедливо также $G \rhd (\Phi \rightarrow \Psi)$.

Думаю, дальнейших пояснений не требуется.

Вообще матлогика --- местами очень забавная наука. Это единственная область математики, в которой иногда вместо доказательства некоей теоремы A люди доказывают совсем другую теорему B, которая формулируется следующим образом:

Теорема B: Теорема A доказуема.

[Виктория123]

Дааа,чувствую скоро совсем запутаюсь....

Если Вы написали,во втором и четвертом пунктах,что $A$ и $B$ $-$ гипотезы,то получается,мы всегда можем написать ,что $A$,$B$,$C$-гипотезы?
То есть при доказательстве вывода из гипотез мы можем вводить любые формулы,выводимые в исчислении высказываний?

Или я опять что-то не то говорю

Просто наверно меня сбил с толку пример,который был у меня на семинаре,где в условии уже было дано ,что $A$ и $B$ и еще какая-нибудь формула $-$ гипотезы...

[RIP]

Профессор Снэйп писал(а):

RIP писал(а):

Первое утверждение "говорит", что если верны гипотезы $(A \rightarrow (B \rightarrow C))$, $A$ и $B$, то верно утверждение $C$.

Чуть-чуть не так.

Именно поэтому я и поставил кавычки. И вообще, я пытался показать ход мыслей Виктории123, не стараясь выражаться формально.

Добавлено спустя 2 минуты 48 секунд:

Виктория123 писал(а):

Если Вы написали,во втором и четвертом пунктах,что $A$ и $B$ $-$ гипотезы,то получается,мы всегда можем написать ,что $A$,$B$,$C$-гипотезы?

Нет, не получается. Посмотрите внимательно на то, что мы доказываем. Нам дано, что $(A\to(B\to C))$, $A$ и $B$ гипотезы.

[Виктория123]

Ну вот мне и было не понятно,почему в задании тогда сразу не указали,что $A$ и $B$ $-$ гипотезы?
RIP ,Вы пишите,что нам дано то то,то то. Но получается это мы сами придумали. Нам же не дано,что $A$ и $B$ $-$гипотезы? Вот это мне не понятно,а так в целом...

[RIP]

Виктория123 писал(а):

Ну вот мне и было не понятно,почему в задании тогда сразу не указали,что $A$ и $B$ $-$ гипотезы?

Так мы доказываем не то, что дано в задании. Мы доказываем утверждение

$$\{(A\to(B\to C)),A,B\}\rhd C,$$

которое априори не имеет никакого отношения к Вашей задаче. С какой это радости мы решили вдруг его доказывать - про это Вам Профессор Снэйп очень подробно расписал. Но суть в том, что пока мы забыли про Вашу задачу и решаем другую задачу. И вот в этой новой задаче дано, что $A,B$ - гипотезы.

Добавлено спустя 9 минут 48 секунд:

Ведь в математике как, чтобы доказать серьёзную теорему, зачастую приходится проделать предварительную работу: доказать вспомогательные утверждения (леммы), ... Вот и здесь: Ваша задача - это "теорема", а мы сначала докажем "лемму".

[Виктория123]

Все, RIP,спасибо!Прочитав Ваше последнее сообщение,до меня наконец дошло то,чего я никак не могла понять)
Спасибо за решение Профессор Снэйп !

Добавлено спустя 1 час 39 минут 2 секунды:

Извините пожалуйста,а не поможите разобраться в еще одной задаче,последней.
Интерпретировать данную формулу исчисления предикатов. Когда она истинна?

$$((P(m, s^2) \mathbin{\&} Q(s)) \to Q(m)) \vee ((\exists t)(\forall w)(w^2 = t)) $$

здесь предметная область (область действия) предикатов – множество $N$ всех натуральных чисел; P(x, y) $=$ ?$x$ делится на $y$’; Q(z) = ?число $z$ чётно’

То есть,что, надо записать словами эту формулу:
что из того,что $m$ делится на $s^2$ и $s$ $-$ четно следует ,что $m$ $-$ четно или же существуте такое $t$,что для любого $w$ $w^2=t$ ?