Факториал нуля

[Sicker]

Функция факториала изначально имеет область определения на множестве натуральных чисел (без нуля)
В нуле ее можно определить по свойству факториала, из $0!\cdot1=1!$ следует $0!=1$
Но некоторые люди обосновывают это таким образом - факториал $n$ это множество перестановок из $n$ элементов, если $n=0$, то количество перестановок равно одному, т.к. переставлять нечего.
Мне кажется, это является не доказательством, а просто игрой слов.
Кто что думает по этому вопросу?

[Yodine]

Это вопрос соглашений и удобства. В частности удобно т.к. $\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n!$, гамма-функция.

[nya]

Из пустого множества в пустое ровно одна - тождественная - функция есть и она биективна, поэтому доказательство весьма строгое.

[Sicker]

Yodine в сообщении #1361699 писал(а):

Это вопрос соглашений и удобства. В частности удобно т.к. $\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n!$, гамма-функция.

Прежде чем оффтопить, могли бы внимательнее прочитать стартовый топик, я с этого соотношения и начинал.

-- 16.12.2018, 22:13 --

nya в сообщении #1361762 писал(а):

Из пустого множества в пустое ровно одна - тождественная - функция есть и она биективна, поэтому доказательство весьма строгое.

Да ладно, и количество этих функций описывается факториалом нуля?

[mihaild]

Sicker в сообщении #1361778 писал(а):

Да ладно, и количество этих функций описывается факториалом нуля?

$n!$ - это в том числе количество биекций из $n$-элементного множества в себя.

[iifat]

К чему таких сложностей? $\prod\limits_{i=1}^0=1$ независимо от того, что там стоит в произведении. Подобно тому как $\sum\limits_{i=1}^0=0$

[Yodine]

Sicker в сообщении #1361778 писал(а):

Прежде чем оффтопить, могли бы внимательнее прочитать стартовый топик, я с этого соотношения и начинал.

"Прежде чем оффтопить, могли бы могли бы внимательнее прочитать" определение гамма-функции.

[Sicker]

mihaild в сообщении #1361802 писал(а):

$n!$ - это в том числе количество биекций из $n$-элементного множества в себя.

Может это просто совпадение с факториалом?

iifat в сообщении #1361818 писал(а):

К чему таких сложностей? $\prod\limits_{i=1}^0=1$ независимо от того, что там стоит в произведении. Подобно тому как $\sum\limits_{i=1}^0=0$

Может это условность?

Yodine в сообщении #1361828 писал(а):

"Прежде чем оффтопить, могли бы могли бы внимательнее прочитать" определение гамма-функции.

Какое отношение гамма-функция имеет к перестановкам?

[Dragon27]

Sicker в сообщении #1361690 писал(а):

Но некоторые люди обосновывают это таким образом - факториал $n$ это множество перестановок из $n$ элементов

nya в сообщении #1361762 писал(а):

Из пустого множества в пустое ровно одна - тождественная - функция есть и она биективна, поэтому доказательство весьма строгое.

Sicker в сообщении #1361778 писал(а):

Да ладно, и количество этих функций описывается факториалом нуля?

Вы же сами сказали: факториал $n$ - это количество перестановок на множестве из $n$ элементов. Термин "перестановка" (на множестве) в абстрактной алгебре обычно именно так и определяется - биективная функция на множестве из самого в себя (множество таких функций с операцией композиции образуют группу).

-- Пн дек 17, 2018 10:05:03 --

Sicker в сообщении #1361690 писал(а):

Мне кажется, это является не доказательством, а просто игрой слов.

Что значит "доказательство", кстати? Никаких доказательств в определении быть не может. Мы просто уславливаемся, и всё. И уславливаемся так, чтобы нам было удобно. Удобно, когда определение факториала в нуле такое, что оно становится совместимым с количеством биекций на множестве (которое, в свою очередь, тоже определяется своими соображениями удобства).

edit: гамма-функция ни при чём, она ж не определена в нуле

[Sicker]

Dragon27
А почему так нельзя определить факториал из минус единицы? Тоже одна биекция.

[Dragon27]

Sicker в сообщении #1361846 писал(а):

А почему так нельзя определить факториал из минус единицы? Тоже одна биекция.

С чего вы решили, что там одна биекция? Не встречалось понятие множества с отрицательным количеством элементов.
Или дробным.

-- Пн дек 17, 2018 10:24:14 --

Пустое множество - это начальный объект в категории множеств. Из него есть только одна уникальная (для каждого кодомена) функция в любое другое множество - так называемая "пустая функция" (то есть, функция, которая ничего не ставит ничему в соответствие). При этом в само пустое множество из непустого множества функций нет - ибо функция на непустом множестве должна поставить элементу из непустого множества какой-то элемент из области определения, а область определения пуста.
А как же тогда функция из пустого множества в пустое множество? Так как для пустой функции нам не важно наличие элементов в области определения, то эта функция по-прежнему есть - пустая функция из пустого множества в пустое множество, ничего ничему не сопоставляющая. И она единственна. Удобно для определения "начального объекта", так что нет никаких исключений.
Есть ещё такие (опять же, удобные) условные понятия как: Empty sum и Empty product (ссылки на вики). Пустое произведение как раз в нашем случае подходит (результат неумножения ничего). А если мы захотим вычислить непустую сумму или непустое произведение, то мы можем изначально прибавить первый элемент из суммы к пустой сумме или элемент из произведения умножить на пустое произведение. То есть, 1 - это изначальное произведение, с которого можно начинать сам процесс умножения.

[Sicker]

Dragon27 в сообщении #1361847 писал(а):

Пустое множество - это начальный объект в категории множеств. Из него есть только одна уникальная (для каждого кодомена) функция в любое другое множество - так называемая "пустая функция" (то есть, функция, которая ничего не ставит ничему в соответствие). При этом в само пустое множество из непустого множества функций нет - ибо функция на непустом множестве должна поставить элементу из непустого множества какой-то элемент из области определения, а область определения пуста.
А как же тогда функция из пустого множества в пустое множество? Так как для пустой функции нам не важно наличие элементов в области определения, то эта функция по-прежнему есть - пустая функция из пустого множества в пустое множество, ничего ничему не сопоставляющая. И она единственна. Удобно для определения "начального объекта", так что нет никаких исключений.

Мне всегда это казалось какой-то игрой слов и юристикой, т.к. это нельзя проверить "экспериментально". Но это мое ИМХО

Dragon27 в сообщении #1361847 писал(а):

Есть ещё такие (опять же, удобные) условные понятия как: Empty sum
и Empty product
(ссылки на вики). Пустое произведение как раз в нашем случае подходит (результат неумножения ничего). А если мы захотим вычислить непустую сумму или непустое произведение, то мы можем изначально прибавить первый элемент из суммы к пустой сумме или элемент из произведения умножить на пустое произведение. То есть, 1 - это изначальное произведение, с которого можно начинать сам процесс умножения.

А так же вроде можно определить и -1, -2 - суммы и произведения точно так же, которые будут равны нулю и единице соответственно. Разве нет?

-- 17.12.2018, 10:23 --

(Оффтоп)

P.S. Решил найти давнюю тему "Страх перед нулем и единицей" 2014 года topic80260-15.html, и я там на второй странице уже высказал свое мнение

[Dragon27]

Sicker в сообщении #1361853 писал(а):

Мне всегда это казалось какой-то игрой слов и юристикой, т.к. это нельзя проверить "экспериментально". Но это мое ИМХО

А как вы хотите вычислить факториал нуля "экспериментально"?
Определения данные удобные и устоявшиеся, а что вы там хотите "доказать" - ума не приложу.

Sicker в сообщении #1361853 писал(а):

А так же вроде можно определить и -1, -2 - суммы и произведения точно так же, которые будут равны нулю и единице соответственно. Разве нет?

Так вы продемонстрируйте. Не понимаю, что это за "-2-сумма". Как можно взять отрицательное количество элементов?
Не, можно, конечно, в каких-то задачах определить подобные вещи, чтобы при выходе за... "допустимые значения переменной" использовать.

(Оффтоп)

Кстати, количество функций из множества с количеством элементов $n$ во множество с количеством элементов $m$ равно $m^n$. Если $0^0$ определить равным единице, то формула будет работать и для множеств с нулевыми количествами элементов :)

[warlock66613]

Sicker в сообщении #1361853 писал(а):

т.к. это нельзя проверить "экспериментально"

Можно. Берёте Haskell, там есть тип Void, имеющим множеством значений пустое множество, и одна-единственная функция absurd из Void в любой другой тип, в том числе и в Void. Всё очень осязаемо.

[eugensk]

Sicker

Предположу, что Вам $C_n^0$ тоже не совсем нравится, а $C_n^n$ - нормально.