ВТФ by Виктор Сорокин

[Someone]

Сорокин Виктор писал(а):

Если числа $a-b$ и $a+b$ взаимопростые, то будут ли взаимопростыми числа $q^q-b^q$ и $q^p+b^p$? И в каких случаях?

В четырёх формулах куча опечаток.
Если числа $a^n-b^n$ и $a^n+b^n$ имеют общий делитель $d>1$, то числа $2a^n=(a^n+b^n)+(a^n-b^n)$ и $2b^n=(a^n+b^n)-(a^n-b^n)$ также делятся на $d$. Если $d$ чётно, то это означает, что числа $a$ и $b$ оба чётные или оба нечётные, а тогда числа $a+b$ и $a-b$ оба делятся на $2$ и не являются взаимно простыми. Если же $d$ нечётно, то числа $a^n$ и $b^n$ делятся на $d$. Пусть $p$ - любой простой делитель числа $d$. Тогда $a$ и $b$ делятся на $p$, откуда следует, что $a+b$ и $a-b$ оба делятся на $p$ и не являются взаимно простыми.

[Dan_Te]

Цитата:

Для Вас не буду. Но вдруг кому-то это будет интересно.

ЛОЛ!!! 5 баллов! =)))
Виктор, вам надо было идти работать коммивояжером, с подобной непрошибаемой настойчивостью вы бы достигли впечатляющих успехов. Уж очень это все мне напоминает, как отец Федор уговаривал инженера Брунса продать ему мебельный гарнитур за двадцать рублей.

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

Если числа $a-b$ и $a+b$ взаимопростые, то будут ли взаимопростыми числа $q^q-b^q$ и $q^p+b^p$? И в каких случаях?

В четырёх формулах куча опечаток.
Если числа $a^n-b^n$ и $a^n+b^n$ имеют общий делитель $d>1$, то числа $2a^n=(a^n+b^n)+(a^n-b^n)$ и $2b^n=(a^n+b^n)-(a^n-b^n)$ также делятся на $d$. Если $d$ чётно, то это означает, что числа $a$ и $b$ оба чётные или оба нечётные, а тогда числа $a+b$ и $a-b$ оба делятся на $2$ и не являются взаимно простыми. Если же $d$ нечётно, то числа $a^n$ и $b^n$ делятся на $d$. Пусть $p$ - любой простой делитель числа $d$. Тогда $a$ и $b$ делятся на $p$, откуда следует, что $a+b$ и $a-b$ оба делятся на $p$ и не являются взаимно простыми.

==============

Уважаемый Someone, сужаю вопрос:
Являются ли взаимопростыми числа $a^q-b^q$ и $a^p+b^p$ с нечетными $q$ и $p$ и взаимопростыми $a$ и $b$?
(Когда-то я нашел положительный ответ на этот вопрос. Но нуждаюсь в подтверждении. Представляется, что эта лемма должна быть классической в теории чисел.)

Второй вопрос
Когда-то Вы сказали, что не только знаете о существовании леммы, согласно которой каждый (кроме, может быть, одного $n$) сомножитель числа $(c^n-b^n)/(c-b)$ при взаимопростых $c$ и $b$ имеет вид $2nq+1$, но и готовы тут же привести доказательство этого факта. А вопрос мой таков: можно ли также показать, что число $q$ в этой формуле не делится на $n$?
(Когда-то я нашел положительный ответ и на этот вопрос. Но напрочь забыл не подтвержденное другими доказательство.)

[Руст]

Сорокин Виктор писал(а):

Уважаемый Someone, сужаю вопрос:
Являются ли взаимопростыми числа $a^q-b^q$ и $a^p+b^p$ с нечетными $q$ и $p$ и взаимопростыми $a$ и $b$?
(Когда-то я нашел положительный ответ на этот вопрос. Но нуждаюсь в подтверждении. Представляется, что эта лемма должна быть классической в теории чисел.)
Второй вопрос
Когда-то Вы сказали, что не только знаете о существовании леммы, согласно которой каждый (кроме, может быть, одного $n$) сомножитель числа $(c^n-b^n)/(c-b)$ при взаимопростых $c$ и $b$ имеет вид $2nq+1$, но и готовы тут же привести доказательство этого факта. А вопрос мой таков: можно ли также показать, что число $q$ в этой формуле не делится на $n$?
(Когда-то я нашел положительный ответ и на этот вопрос. Но напрочь забыл не подтвержденное другими доказательство.)

Когда же вы т. Сорокин прочитаете хотя бы какую нибудь элементарную книжку по теории чисел. А так продолжаете писать полный бред.
1. По отношению к первому, возмём простое число r, мультипликативную образующую с по этому модулю. Тогда очевидно, первый вопрос сводится к существованию различных х и у в интервале (0,r-1), что (x-y)q делится на r-1, а (x-y)p=(r-1)/2 (mod (p-1)), что невозможно из-за нечётности p (точнее это невозможно даже, когда ord2(q)<=ord2(p)). Как видите тривиально.
2. То, что Someone говорил верно для простых n и доказывается так же. Когда n не простое можно найти контрпример, когда r-1 делится не на само n а на некоторый его делитель. То, что вы добавили опять бред. Для любой степени n, существует простое число p, такое, что p-1 делится на соответствующую степень n. Тогда по описанной конструкции можно найти с и b (можно найти даже в виде различных простых чисел), что дасть контрпример вашему высказыванию.

[Сорокин Виктор]

Dan_Te писал(а):

Цитата:

Для Вас не буду. Но вдруг кому-то это будет интересно.

ЛОЛ!!! 5 баллов! =)))
Виктор, вам надо было идти работать коммивояжером, с подобной непрошибаемой настойчивостью вы бы достигли впечатляющих успехов. Уж очень это все мне напоминает, как отец Федор уговаривал инженера Брунса продать ему мебельный гарнитур за двадцать рублей.

Вы тоже полагаете, что взаимодобровольный обмен информацией между А и В обязательно должен контролировать некий С?

[Сорокин Виктор]

Руст писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

Уважаемый Someone, сужаю вопрос:
Являются ли взаимопростыми числа $a^q-b^q$ и $a^p+b^p$ с нечетными $q$ и $p$ и взаимопростыми $a$ и $b$?
(Когда-то я нашел положительный ответ на этот вопрос. Но нуждаюсь в подтверждении. Представляется, что эта лемма должна быть классической в теории чисел.)
Второй вопрос
Когда-то Вы сказали, что не только знаете о существовании леммы, согласно которой каждый (кроме, может быть, одного $n$) сомножитель числа $(c^n-b^n)/(c-b)$ при взаимопростых $c$ и $b$ имеет вид $2nq+1$, но и готовы тут же привести доказательство этого факта. А вопрос мой таков: можно ли также показать, что число $q$ в этой формуле не делится на $n$?
(Когда-то я нашел положительный ответ и на этот вопрос. Но напрочь забыл не подтвержденное другими доказательство.)

Когда же вы т. Сорокин прочитаете хотя бы какую нибудь элементарную книжку по теории чисел. А так продолжаете писать полный бред.
1. По отношению к первому, возмём простое число r, мультипликативную образующую с по этому модулю. Тогда очевидно, первый вопрос сводится к существованию различных х и у в интервале (0,r-1), что (x-y)q делится на r-1, а (x-y)p=(r-1)/2 (mod (p-1)), что невозможно из-за нечётности p (точнее это невозможно даже, когда ord2(q)<=ord2(p)). Как видите тривиально.
2. То, что Someone говорил верно для простых n и доказывается так же. Когда n не простое можно найти контрпример, когда r-1 делится не на само n а на некоторый его делитель. То, что вы добавили опять бред. Для любой степени n, существует простое число p, такое, что p-1 делится на соответствующую степень n. Тогда по описанной конструкции можно найти с и b (можно найти даже в виде различных простых чисел), что дасть контрпример вашему высказыванию.

Не могли бы Вы ответить проще:
первая моя гипотеза верна? не верна?
Во второй гипотезе речь идет заведомо о простом n. И она: верна? не верна?
Короче: может ли число $(c^n-b^n)/(c-b)$ иметь простой делитель $2n^2q+1$?

[Someone]

Сорокин Виктор писал(а):

Являются ли взаимопростыми числа $a^q-b^q$ и $a^p+b^p$ с нечетными $q$ и $p$ и взаимопростыми $a$ и $b$?

Если $a$ и $b$ оба нечётные, то $a^q-b^q$ и $a^p+b^p$ оба чётные.

Сорокин Виктор писал(а):

А вопрос мой таков: можно ли также показать, что число $q$ в этой формуле не делится на $n$?
(Когда-то я нашел положительный ответ и на этот вопрос. Но напрочь забыл не подтвержденное другими доказательство.)

Например, $\frac{30^5-17^5}{30-17}=11\cdot 160001$ и $160001=2^8\cdot 5^4+1$.

Но Вы, как я вижу, перешли на новую методику: Вы задаёте наводящие вопросы, а все остальные дружно под Вашим руководством доказывают теорему Ферма.

[Dan_Te]

Цитата:

Вы тоже полагаете, что взаимодобровольный обмен информацией между А и В обязательно должен контролировать некий С?

Отец Федор не вел с Брунсом взаимодобровольный обмен информацией. Отец Федор конкретно достал Брунса.

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

1) Но Вы, как я вижу, перешли на новую методику: Вы задаёте наводящие вопросы, а все остальные дружно под Вашим руководством доказывают теорему Ферма.

Такое впечатление создаться, конечно, может, но, уверяю Вас, оно ложно. Во-первых, я не присваиваю чужих результатов; а во-вторых, не отвергаю соавторства. В-третьих, теперь я предпочитаю сначала договориться о мелочах (в данном случае их всего три) – обидно бывает из-за какой-то мелочи подвергать сомнению текст в целом.

Someone писал(а):

2)

Сорокин Виктор писал(а):

Являются ли взаимопростыми числа $a^q-b^q$ и $a^p+b^p$ с нечетными $q$ и $p$ и взаимопростыми $a$ и $b$?

Если $a$ и $b$ оба нечётные, то $a^q-b^q$ и $a^p+b^p$ оба чётные.

А если числа $a$ и $b$ еще и разночётные ?

Someone писал(а):

3)

Сорокин Виктор писал(а):

А вопрос мой таков: можно ли также показать, что число $q$ в этой формуле не делится на $n$? (Когда-то я нашел положительный ответ и на этот вопрос. Но напрочь забыл не подтвержденное другими доказательство.)

Например, $\frac{30^5-17^5}{30-17}=11\cdot 160001$ и $160001=2^8\cdot 5^4+1$.

Пример ВПЕЧАТЛЯЮЩ! Вообще-то, для предполагаемого доказательства ВТФ достаточно иметь любое бесконечное множество простых чисел вида $p$. Как Вы оцениваете возможность существования алгоритма получения такого множества?

Спасибо за большую и интересную помощь!
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Наконец, мой последний вопрос (заключительный инструмент в доказательстве ВТФ):
Если числа $c^q-b^q$ и $c^{2qn}-b^{2qn}$ делятся на $p$, следует ли из этого, что на $p$ делится именно число $c-b$?
(Мое доказательство этого факта использует… теорию ЛИНЕЙНЫХ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ! Не любопытно ли?..)
Помимо указанных трех элементов доказательства ВТФ остается сущий пустяк: показать, что $c^q-b^q$ делится на $p$. Но это самое простое.

[Сорокин Виктор]

Dan_Te писал(а):

Цитата:

Вы тоже полагаете, что взаимодобровольный обмен информацией между А и В обязательно должен контролировать некий С?

Отец Федор не вел с Брунсом взаимодобровольный обмен информацией. Отец Федор конкретно достал Брунса.

Бедный Брунс! Он ничего не знал о естественных правах человека!..

[Someone]

Сорокин Виктор писал(а):

Являются ли взаимопростыми числа $a^q-b^q$ и $a^p+b^p$ с нечетными $q$ и $p$ и взаимопростыми $a$ и $b$?
А если числа $a$ и $b$ еще и разночётные ?

Нетрудно доказать, что нечётных общих делителей нет.

Сорокин Виктор писал(а):

Наконец, мой последний вопрос (заключительный инструмент в доказательстве ВТФ):
Если числа $c^q-b^q$ и $c^{2qn}-b^{2qn}$ делятся на $p$, следует ли из этого, что на $p$ делится именно число $c-b$?

Это неверно, поскольку

$$c^{2qn}-b^{2qn}=(c^{qn}-b^{qn})(c^{qn}+b^{qn})=(c^q-b^q)(c^{q(n-1)}+c^{q(n-2)}b^q+c^{q(n-3)}b^{2q}+\ldots+b^{q(n-1)})(c^{qn}+b^{qn})$$

делится на $c^q-b^q$. Поэтому $c^{2qn}-b^{2qn}$ делится на все делители числа $c^q-b^q$, а не только на делители числа $c-b$. А поскольку число $n$ у Вас нечётно (Вы именно так обозначаете показатель степени в теореме Ферма), то это же верно и для делителей числа $c^q+b^q$.

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

Наконец, мой последний вопрос (заключительный инструмент в доказательстве ВТФ):
Если числа $c^q-b^q$ и $c^{2qn}-b^{2qn}$ делятся на $p$, следует ли из этого, что на $p$ делится именно число $c-b$?

Это неверно, поскольку

$$c^{2qn}-b^{2qn}=(c^{qn}-b^{qn})(c^{qn}+b^{qn})=(c^q-b^q)(c^{q(n-1)}+c^{q(n-2)}b^q+c^{q(n-3)}b^{2q}+\ldots+b^{q(n-1)})(c^{qn}+b^{qn})$$

делится на $c^q-b^q$. Поэтому $c^{2qn}-b^{2qn}$ делится на все делители числа $c^q-b^q$, а не только на делители числа $c-b$. А поскольку число $n$ у Вас нечётно (Вы именно так обозначаете показатель степени в теореме Ферма), то это же верно и для делителей числа $c^q+b^q$.

С ответами на первые два вопроса никаких трудностей не предвижу. А вот с третьим, боюсь, вы что-то не так поняли: ведь речь идет ТОЛЬКО об одном (заметим, простом!) делителе $p$. Да, он, конечно, входит и в $c^q-b^q$, и в $c^{2qn}-b^{2qn}$ и не входит в аналогичные суммы (поскольку суммы и разности являются взимопростыми относительно нечетных делителей). Вопрос-то тоньше: входит ли $p$ в $c-b$?

[Someone]

Сорокин Виктор писал(а):

боюсь, вы что-то не так поняли: ведь речь идет ТОЛЬКО об одном (заметим, простом!) делителе $p$. Да, он, конечно, входит и в $c^q-b^q$, и в $c^{2qn}-b^{2qn}$ и не входит в аналогичные суммы (поскольку суммы и разности являются взимопростыми относительно нечетных делителей). Вопрос-то тоньше: входит ли $p$ в $c-b$?

Я понял так, что $p$ - произвольный простой делитель числа $c^q-b^q$. Каким бы он ни был, он является простым делителем числа $c^{2qn}-b^{2qn}$. Какие причины у него делить число $c-b$? Никаких. Может быть, иногда и делит, но отнюдь не обязательно.

[Руст]

На этот счёт легко доказывается, что если p делит одновременно $c^m-b^m$ и $c^n-b^n$, то p делит $c^d-b^d, d=(m,n)$. В частности, когда m и n взаимно простые (т.е. d=1), то p делит с-b.
Может это хочет узнать т. Сорокин.

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

Я понял так, что $p$ - произвольный простой делитель числа $c^q-b^q$. Каким бы он ни был, он является простым делителем числа $c^{2qn}-b^{2qn}$. Какие причины у него делить число $c-b$? Никаких. Может быть, иногда и делит, но отнюдь не обязательно.

Согласен и с Вами, и с Рустом. Но ведь должен же быть пртиворечивый момент в равенстве Ферма! По общей логике и согласно моим отрицательным результатам, противоречие, если оно существует, должно быть каким-то образом связано с малой теоремой. И как только я понял свойства степеней, я стал искать среди сомножителей (или делителей) всех участвующих в равенстве Ферма чисел (в виде букв или формул) такое простое $p=qn+1$, чтобы с его помощью можно было бы составить выражение $c^{qn}-b^{qn}$ (оканчивающееся, согласно малой теореме, на ноль) и при этом оно не являлось бы делителем какого-либо алгебраического сомножителя этого выражения. И вот лишь сегодня я такое $p$, кажется, нашел. Вот оно.

Пусть $c-b=a'^n$ и $c-a=b'^n$. Так вот, в качестве искомого $p$ возьмем простой сомножитель (делитель) $p=nq+1$ числа $R^*=(a'^n + b'^n )/(a' + b')=[2c-(a+b)]/(a' + b')$. И теперь число $C^*=a^{qn}-b^{qn}$ (как и $R^*$!) делится на $p$. Но у меня есть сильное ощущение (и веские основания так считать), что числа $R^*$ и $C^*$ вообще не имеют общих делителей (разумеется, при взаимопростых a, b, c), не считая $c'$, где $c'^n=a+b$! Если это утверждение удастся доказать, то тем самым будет доказана и ВТФ.