Процесс отдачи теплоты при кристаллизации воды

[Rusit8800]

realeugene в сообщении #1340017 писал(а):

Совершается ли при этом ими работа, и если да - какая именно? Пусть объём был $V$, стал $V+\Delta V$, давление $p$ и постоянно.

Ну по идее $p\Delta V$. Вы намекаете на то, что я это в первом начале термонинамики

Rusit8800 в сообщении #1339976 писал(а):

$$\[\sum\limits_i {{c_i}{m_i}\left( {{T_{afteri}} - {T_{beforei}}} \right)} = \sum\limits_i {{Q_i}} \]$$

я это не учел, приняв $A=0$?

-- 18.09.2018, 22:22 --

realeugene в сообщении #1340017 писал(а):

На самом деле, вам для начала нужно было бы записать уравнения в конечных разностях, пользуясь физическими соображениями и законами сохранения. А потом эти уравнения преобразовать в дифур, устремив приращения к нулю.

Ну сделаю я это, выражу полные дифференциалы ${d}T_1$ и ${d}T_2$ и получу такой дифур

$$\[dT = {d}T_1 + {d}T_2 = \frac{1}{{{m_0}}}\left( {T + \frac{\lambda }{c}} \right)dm \Rightarrow T'(m) = \frac{1}{{{m_0}}}\left( {T + \frac{\lambda }{c}} \right) \Rightarrow T(m) = - \frac{\lambda }{c} + {C_1}\exp \left( {\frac{m}{{{m_0}}}} \right)\]$$

Что тут не так?

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1340043 писал(а):

Ну по идее $p\Delta V$

Верно. И верно, что это вы не учли. Так откуда берётся энергия, необходимая для совершения этой работы?

Rusit8800 в сообщении #1340043 писал(а):

$$dT = {d}T_1 + {d}T_2 = \frac{1}{{{m_0}}}\left( {T + \frac{\lambda }{c}} \right)dm$$

Пожалуйста, объясните, из каких соображений вы записали каждое равенство?

[Rusit8800]

realeugene в сообщении #1340052 писал(а):

Верно. И верно, что это вы не учли.

Как интересно! Это что-то новенькое для меня. Я никогда раньше не учитывал работу макроскопических систем в калориметрических задачах. Все потому, что "закон сохранения теплоты" в школьных задачах обычно записывается так:

$$\[\sum\limits_i {{Q_i} = 0} \]$$

Эта запись присутствует очень много где, в том числе и в учебнике Мякишева. Но эта запись не точна да и еще и некорректна: правильная запись - это первый закон термодинамики, он включает в себя не только теплоты, но и внутренние энергии с работами, а последние две не тождественны количеству теплоты, например, величина $\[cm\Delta T\]$ представляет с собой изменение внутренней энергии тела, но не обязана совпадать с количеством теплоты отданным/полученным данным телом, так как в уравнение первого закона термодинамики и входит работа, которая может быть отлична от нуля.
Не понимаю, зачем так пишут в учебниках, если количество теплоты ≠ изменение внутренней энергии?

realeugene в сообщении #1340052 писал(а):

Пожалуйста, объясните, из каких соображений вы записали каждое равенство?

Попробую составить другую систему.
Пусть $T_0, m_0,T_k$ - начальная температура, масса и конечная температура куском льда.
Сначала кристаллизуется вода, выделяется количество теплоты $\[\lambda \Delta m\]$, которая идет на совершение работы кусками льда и на изменение их внутренней энергии. Первое начало термодинамики для кусков льда записывается так:

$$\[\lambda \Delta m = c{m_0}\left( {{T_1} - {T_0}} \right)+A_1\]$$

здесь $T_1$ - температура кусков льда после кристаллизации льда. Работа льда $A_1$ связана с изменением плотности льда(уменьшением). Как посчитать ее я не знаю. Я даже не знаю какого она знака. Вроде как всегда должна быть положительна,вне зависимости от того, куда изменяется плотность, так как внутримолекулярные силы льда всегда сонаправлены с направлением изменения объема льда. Но это не точно.
Идем пока дальше. Напишем первое начало термодинамики для системы тел кристаллизованная вода+куски льда:

$$\[\left( {c\Delta m\left( {{T_k} - 0} \right) + {A_2}} \right) + \left( {c{m_0}\left( {{T_k} - {T_1}} \right) + {A_3}} \right) = 0\]$$

Здесь мы считаем, что процесс происходит адиабатически. Работа $A_2$ связана с изменением объема кристаллизованной воды при ее охлаждении, а $A_3$ с изменением объема кусков льда в связи с их нагреванием.
Моя проблема заключается в том, что я не знаю как вычислить работы $A_1$,$A_2$,$A_3$.

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1340343 писал(а):

величина $\[cm\Delta T\]$ представляет с собой изменение внутренней энергии тела, но не обязана совпадать с количеством теплоты отданным/полученным данным телом, так как в уравнение первого закона термодинамики и входит работа, которая может быть отлична от нуля.

И да, и нет. Эта величина совпадает с количеством теплоты, полученным телом, по определению. Но в разных процессах требуется передать телу различное количество теплоты для нагрева его на один градус. Соответственно, теплоёмкости бывают разные, в зависимости от процесса, в котором тело получает тепло. Теплоёмкость тела в изохорном процессе называется теплоёмкостью при постоянном объёме $C_V$. Так как тело в этом процессе не совершает работы против внешних сил, всё полученное тепло переходит во внутреннюю энергию. Т. е., на самом деле, в изохорном процессе $\Delta E = C_V \Delta T$. Теплоёмкость в изобарном процессе называется теплоёмкостью при постоянном давлении $C_p \neq C_V$. Разница между этими теплоёмкостями как раз связана с работой внешних сил. Но если $C_p \neq C_V$, тогда $\Delta E \neq C_p \Delta T$.

Для удобства расчёта процессов теплопередачи вводят понятие энтальпии (или тепловой функции, или теплосодержания), которая по определению равна $I=E+pV$. В изобарном процессе $\Delta I = C_p \Delta T$, и многие уравнения для теплопередачи при постоянном давлении можно записать через энтальпию ровно в том же самом виде, как и для теплопередачи при постоянном объёме через внутреннюю энергию. Вот только нет универсального закона сохранения энтальпии, хоть в некоторых процессах, вроде дросселирования газа, энтальпия, на самом деле, сохраняется.

А теперь вопрос. Какую именно теплоёмкость и какую теплоту кристаллизации льда измеряют в калориметрах?

[realeugene]

realeugene в сообщении #1340356 писал(а):

Разница между этими теплоёмкостями как раз связана с работой внешних сил.

На самом деле, в этом месте я немного наврал. Разница между $C_p$ и $C_V$ равна работе внешних сил только для идеального газа, для которого внутренняя энергия не зависит от давления. Для остальных тел внутренняя энергия зависит не только от температуры, но и от давления. Поэтому, по $C_p$ вычислить $C_V$ обычно не так просто, как хотелось бы.

[Rusit8800]

realeugene в сообщении #1340356 писал(а):

И да, и нет. Эта величина совпадает с количеством теплоты, полученным телом, по определению. Но в разных процессах требуется передать телу различное количество теплоты для нагрева его на один градус. Соответственно, теплоёмкости бывают разные, в зависимости от процесса, в котором тело получает тепло. Теплоёмкость тела в изохорном процессе называется теплоёмкостью при постоянном объёме $C_V$. Так как тело в этом процессе не совершает работы против внешних сил, всё полученное тепло переходит во внутреннюю энергию. Т. е., на самом деле, в изохорном процессе $\Delta E = C_V \Delta T$. Теплоёмкость в изобарном процессе называется теплоёмкостью при постоянном давлении $C_p \neq C_V$. Разница между этими теплоёмкостями как раз связана с работой внешних сил. Но если $C_p \neq C_V$, тогда $\Delta E \neq C_p \Delta T$.

Для удобства расчёта процессов теплопередачи вводят понятие энтальпии (или тепловой функции, или теплосодержания), которая по определению равна $I=E+pV$. В изобарном процессе $\Delta I = C_p \Delta T$, и многие уравнения для теплопередачи при постоянном давлении можно записать через энтальпию ровно в том же самом виде, как и для теплопередачи при постоянном объёме через внутреннюю энергию. Вот только нет универсального закона сохранения энтальпии, хоть в некоторых процессах, вроде дросселирования газа, энтальпия, на самом деле, сохраняется.

Да, кстати, действительно, величина $\[cm\Delta T\]$ совпадает с количество теплоты, ибо теплоемкость - производная теплоты по температуре. Тогда, правда, напрашивается вопрос: почему вы говорите, что я не учел работу, если она автоматически, по определению, учитывается в величине $\[cm\Delta T\]$?

realeugene в сообщении #1340356 писал(а):

Какую именно теплоёмкость и какую теплоту кристаллизации льда измеряют в калориметрах?

Наверное $C_p$. Объем воды будет сильно меняться, например, при кристаллизации, в это же время атмосферное давление постоянно, а изменением гидростатического можно пренебречь.

realeugene в сообщении #1340459 писал(а):

Поэтому, по $C_p$ вычислить $C_V$ обычно не так просто, как хотелось бы.

Да, я видел в Сивухине жесткую формулу с частными производными.

-- 21.09.2018, 18:08 --

realeugene в сообщении #1340356 писал(а):

И да, и нет. Эта величина совпадает с количеством теплоты, полученным телом, по определению. Но в разных процессах требуется передать телу различное количество теплоты для нагрева его на один градус. Соответственно, теплоёмкости бывают разные, в зависимости от процесса, в котором тело получает тепло. Теплоёмкость тела в изохорном процессе называется теплоёмкостью при постоянном объёме $C_V$. Так как тело в этом процессе не совершает работы против внешних сил, всё полученное тепло переходит во внутреннюю энергию. Т. е., на самом деле, в изохорном процессе $\Delta E = C_V \Delta T$. Теплоёмкость в изобарном процессе называется теплоёмкостью при постоянном давлении $C_p \neq C_V$. Разница между этими теплоёмкостями как раз связана с работой внешних сил. Но если $C_p \neq C_V$, тогда $\Delta E \neq C_p \Delta T$.

Это кстати говорит о том, что величина $\[cm\Delta T\]$ все-таки является теплотой, и значит в учебниках все пишут верно.
Тогда запись

$$\[\lambda \Delta m = c{m_0}\left( {{T_1} - {T_0}} \right)+A_1\]$$

не совсем точна, так как величина \lambda \Delta m записана так, чтобы $\Delta m$ была положительна. На самом деле надо писать

$$\[\lambda \Delta m + c{m_0}\left( {{T_1} - {T_0}} \right)=0$$

$\Delta m$ станет отрицательной и запись

$$\[\sum\limits_i {{Q_i} = 0} \]$$

будет иметь право на существование. При этом работу я убрал, так как она входит в теплоемкость. Но если такая запись правильна, то что делать с записью первого начала термодинамики?

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1340554 писал(а):

Да, кстати, действительно, величина $\[cm\Delta T\]$ совпадает с количество теплоты, ибо теплоемкость - производная теплоты по температуре. Тогда, правда, напрашивается вопрос: почему вы говорите, что я не учел работу, если она автоматически, по определению, учитывается в величине $\[cm\Delta T\]$?

Она учитывается автоматически, когда используется теплоёмкость при постоянном давлении. Но в этом случае $\[cm\Delta T\]$ не равно изменению внутренней энергии, и ваше уравнение не есть первое начало термодинамики в непосредственном виде (разумеется, оно следствие первого начала термодинамики). Если же вы считаете, что $\[cm\Delta T\]$ есть изменение внутренней энергии, тогда вы не учли в уравнении работу внешних сил. Хорошо, что вы поняли разницу между различными теплоёмкостями.

Кроме того, работа внешних сил существенна для теплоёмкостей при атмосферном давлении у газов, но вносит пренебрежимо малый вклад в теплоёмкости жидкостей и твёрдых тел. Можете сами оценить поправки к теплоёмкостям исходя из коэффициентов температурного расширения. Поэтому, отличием энтальпии от внутренней энергии для них обычно можно пренебречь, и в школьном курсе физики на ней не акцентируют внимание.

Rusit8800 в сообщении #1340554 писал(а):

Наверное $C_p$

Да, при постоянном давлении, но только не теплоёмкость.

-- 21.09.2018, 22:17 --

Rusit8800 в сообщении #1340554 писал(а):

Но если такая запись правильна, то что делать с записью первого начала термодинамики?

Ничего. Такая запись косвенно учитывает и первое начало термодинамики.

[Rusit8800]

realeugene в сообщении #1340610 писал(а):

Да, при постоянном давлении, но только не теплоёмкость.

Забыл добавить слово "удельная"?

realeugene в сообщении #1340610 писал(а):

Ничего. Такая запись косвенно учитывает и первое начало термодинамики.

То есть это всего лишь запись того, что система адиабатически изолирована?

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1340857 писал(а):

Забыл добавить слово "удельная"?

Нет, это не теплоёмкость, а теплота фазового перехода.

Rusit8800 в сообщении #1340857 писал(а):

То есть это всего лишь запись того, что система адиабатически изолирована?

Не только, в этом равенстве важно, что процессы проходят при постоянном давлении, для которых известны теплоёмкости. Разумеется, вся термодинамика согласована с законом сохранения энергии.

[Rusit8800]

Много тут тонкостей. Сложно делать скачок со школьного уровня физики на ВУЗовский. Думал, что это задача вполне себе школьная, но при ее обсуждении выяснилось много необычного.

[Dmitriy40]

(Бурчание на тему 'Это реальность, сынок')

Боюсь так в любой реальной задаче (кроме чисто математических): чем точнее хочешь посчитать/понять, тем глубже погружаешься в множество деталей и частностей, и если вовремя не остановиться, то можно дойти и до недр атомного ядра и КТП. Хотелось бы и дальше, но эксперименты и технологии пока позволяют это лишь в исключительных случаях. Плюс на каждом шагу разбросаны тупики сложности, когда сформулировать задачу можно, а решить аналитически уже нет (классический пример с задачей трёх тел или получить систему из $N_A$ нелинейных уравнений). Поэтому умение вовремя остановиться и "огрубить"/аппроксимировать задачу и вычисления тоже немаловажно. Причём это умение должно базироваться на понимании что и почему можно отбросить, а не на незнании (как допустимо в учебных задачах, где понимание было у их составителя).

[Munin]

Никто не поправил.

Rusit8800 в сообщении #1340015 писал(а):

Я слышал, что объем воды растет от $0$ до $4$ градусов, при дальнейшем же нагревании уменьшается.

Всё ровно наоборот. При нагревании от $0^\circ\,\mathrm{C}$ до $4^\circ\,\mathrm{C}$ объём немного уменьшается, а при дальнейшем нагревании - сравнительно сильно увеличивается. (А вот плотность - как раз имеет максимум.)

(https://en.wikipedia.org/wiki/File:Density_of_ice_and_water_(en).svg)

[Rusit8800]

Перепутал.
Можно ли кривую на графике задать аналитически, чтобы она точно совпала с экспериментальной или необходимая теория пока не разработана?

[Munin]

Во-первых, пока не разработана :-) (Вода вообще одно из самых загадочных веществ для теоретиков. Почитайте про воду в СОЖ.)

Во-вторых, часто достаточно примерного соответствия (скажем, до погрешности 1 % или 0,1 % - вполне достаточно для всех практических применений). И вот в такой ситуации как раз формулы часто бывают подобраны, и довольно простые - типа параболы, или гиперболы, или экспоненты, или какой-то комбинации подобных вещей. Они есть в справочниках по веществам.

[Rusit8800]

Неужели теория и правда не разработана? Я думал, что, используя атомное строение вещества, а также мощный математический аппарат, физики давно вывели соответствующую теорию. Я думал, что самая главная и сложная проблема у физиков теоретиков - поиск теории всего, а тут получается, что даже с такой распространенной и повсюду встречающейся вещи как вода, физики не могут разобраться. Что же это такое?