Магические квадраты

[maxal]

maxal в сообщении #285459 писал(а):

Я проверил до $10^{12}$ и нашел лишь несколько потенциальных наборов из последовательных смитов для квадрата 4x4

Попался, касатик!

2737267549028 2737267549166 2737267549330 2737267549280 
2737267549305 2737267549265 2737267549134 2737267549100 
2737267549186 2737267549105 2737267549300 2737267549213 
2737267549285 2737267549268 2737267549040 2737267549211

Магическая константа равна 10949070196804. Добавил в OEIS соответствующую последовательность A213689.

[Nataly-Mak]

Ого!
Поздравляю!

Красивый квадратик

[Nataly-Mak]

На шестой день завершилась проверка магической константы 4884. Квадрат не найден.
Запускаю проверку следующей константы - 4938.

[Nataly-Mak]

Всё! Проверка по пункту 2 полностью выполнена.

Пандиагональный квадрат 6-го порядка из чисел Смита с магическими константами из арифметической прогрессии с разностью 54 имеет минимальную магическую константу 5100.
Подчеркну: по пункуту 2 проверялись все числа Смита, а не только числа вида 4(mod 9).

Завтра начну проверку по пункту 3 - потенциальные магические константы с шагом 6.

[Nataly-Mak]

Заглянула сейчас на форум конкурса программистов (сегодня последний день) и увидела вот это:
http://infinitesearchspace.dyndns.org/c ... res-solver

По прошлому конкурсу с магическими квадратами, в которых делались водоёмы.
Составлен такой вот интересный магический квадрат 14-го порядка с водоёмами, рисующими 1514 и 2014. Это посвящается, как я поняла, 500-летию магического квадрата Дюрера.



Здорово!

[Nataly-Mak]

На сайте primepuzzles.net опубликована задача построения наименьших пандиагональных квадратов из простых чисел:
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_663.htm

Напомню, что в OEIS последовательность магических констант таких пандиагональных квадратов A179440.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #593197 писал(а):

Завтра начну проверку по пункту 3 - потенциальные магические константы с шагом 6.

Проверка по пункту 3 хотя и была начата "завтра", однако потом была отложена и надолго.
Но не забыта!
Вот вчера-сегодня ликвидировала этот "хвост": проверка завершена. Проверены все потенциальные магические константы для пандиагонального квадрата 6-го порядка из чисел Смита с шагом 6.
Напомню, проверка выполнялась по программе svb.
Пандиагональный квадрат с магической константой меньше 5100 не найден.

Ну, что ж, осталось повторить проверку другому исследователю, когда таковой обнаружится

Сейчас у меня на повестке дня наименьший пандиагональный квадрат 7-го порядка из простых чисел.
Было установлено, что примитивные квадраты по Россеру - это не что иное, как антимагические квадраты Стенли. Именно поэтому меня так заинтересовали квадраты Стенли.
Найдено несколько общих формул для квадратов Стенли (см. тему "Антимагические квадраты").
Однако эксперименты показывают, что построение примитивных квадратов по Россеру ничуть не сложнее, а, может быть, даже проще, чем построение квадратов Стенли по общим формулам. Ну, общие формулы ценны сами по себе.

Вчера написала две новые программы для построения примитивных квадратов, для порядков 5 и 6. Программы работают довольно быстро. Для порядка 6 с ходу найден примитивный квадрат с константой 774 (это квадрат Стенли с индексом 774). Однако всё-таки не уверена в минимальности этого примитивного квадрата, так как полный перебор не выполнен.

Попробую написать новую программу для порядка 7. Помнится, я написала уже штук 5 таких программ; последняя версия принесла удачу - был найден примитивный квадрат с константой 1597. Но уменьшить эту константу не удаётся.
Все работы были надолго отложены из-за конкурсов. Теперь можно и продолжить.

[Nataly-Mak]

Самые совершенные магические квадраты появились на сайте http://www.primepuzzles.net
Автор сайта Carlos Rivera назвал эту головоломку "жёсткой".
Смотрите сами:
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_671.htm

Кто-то может предложить решение?

[Nataly-Mak]

Есть новость, с одной стороны хорошая, с другой - не очень

Получила недавно письмо от Radko Nachev (болгарин, живёт в США, очень давно занимается магическими квадратами).
Он прислал мне пандиагональный квадрат 6-го порядка из различных простых чисел с магической константой 450:

3 5 89 137 67 149
127 163 7 29 11 113
31 23 167 59 157 13
107 97 43 53 131 19
73 79 41 71 47 139
109 83 103 101 37 17

maxal в сообщении #346141 писал(а):

maxal в сообщении #345897 писал(а):

Если нигде не наврал, пандиагональных квадратов 6x6 из простых с суммами всех элементов 2628, 2700 и 2772 не существует.

Сумма 2844 (магическая константа 474) также невозможна.

Мы все, кто тогда был в теме и занимался поиском наименьшего пандиагонального квадрата 6-го порядка из различных простых чисел, приняли этот результат на веру, никто не догадался проверить.
И начали проверять потенциальные магические константы, начиная с 486.
Квадрат с такой магической константой svb нашёл по своему замечательному алгоритму.
Это квадрат и записан в статье OEIS как наименьший, смотрите A179440.
Теперь это надо исправить, так как найден квадрат с меньшей магической константой.
Осталась ещё одна - минимальная - потенциальная магическая константа, 438.
Может быть, и с такой константой квадрат существует

svb я сообщила об этом факте. Он ответил, что его программа находит пандиагональные квадрат с магической константой 450 запросто.
Просто тогда эту магическую константу никто не догадался проверить, так как maxal сообщил о несуществовании пандиагонального квадрата 6-го порядка с такой магической константой.
Кстати, и квадрат с магической константой 462 Radko тоже нашёл. Остаётся пропущенной потенциальная магическая константа 474.

maxal
просьба - внести изменение в статью OEIS.

[Nataly-Mak]

Просмотрела тему на тех страницах, где мы искали наименьший пандиагональный квадрат 6-го порядка из простых чисел.
Там столько всего
И шаблоны были разные, и необходимые условия Pavlovsky получил, и потом разработка алгоритма svb.

Вот что нашла для магической константы 438:

Nataly-Mak в сообщении #345653 писал(а):

Вот первый потенциальный массив простых чисел:

3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 163 191

сумма всех чисел массива равна 2628. Массив даёт МК с магической константой 438.
Обычный МК из этих чисел строится сразу (воспользовалась программой ice00)...

Сумма чисел массива делится на 36. Сумма чисел массива делённая на 4 есть число нечётное (2628/4 = 657).
Осталось выяснить можно ли построить из чисел данного массива пандиагональный квадрат.

Да, это-то и осталось выяснить И до сих пор задача актуальна.
Сейчас взяла приведённый массив, ввела его в программу alexBlack и запустила. Невероятно! Программа работает уже полчаса и нарисовала только одну точку (а должна нарисовать 35 точек).
alexBlack писал в своей статье, что для массива, состоящего ровно из 36 чисел, программа работает секунды (правда, это было для чисел Смита).
Что-то я ничего не понимаю. Почему программа для данного массива работает так долго
Может быть, по той причине, что простые числа обладают замечательными аддитивными свойствами, в отличие от чисел Смита?

Пробовала я найти квадрат с магической константой 438 и в программе svb.
Но в этом случае задавала массив не из 36 чисел, а с запасом, чтобы проверились все потенциальные массивы чисел.
Результат такой же: программа работает очень долго, так и не дождалась результата, но программа не "сказала" ещё, что решения нет.

К тому же, в программе svb есть один нюанс: по-моему, он не использует число 3.
И совершенно напрасно! В квадрате, построенном Radko, число 3 присутствует.

-- Вт май 28, 2013 15:11:34 --

Ещё более интересно вот это сообщение:

maxal в сообщении #345738 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #345653 писал(а):

Вот первый потенциальный массив простых чисел:

3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 163 191

сумма всех чисел массива равна 2628. Массив даёт МК с магической константой 438.

Таких наборов несколько:

[3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 197]
[3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 163, 191]
[3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 173, 181]
[3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 151, 173, 179]
[3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 157, 167, 179]
[3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 163, 167, 173]
[3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 149, 151, 163, 179]
[3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 149, 157, 163, 173]
[3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 139, 149, 151, 167, 173]
[3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 173]
[3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 131, 137, 139, 149, 151, 163, 167]

Поэтому имеет смысл строить квадрат из их объединения (содержащего 43 элемента):

[3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 197]

То есть проверить надо массив из 43 простых чисел, чтобы окончательно убедиться в несуществовании пандиагонального квадрата 6-го порядка с магической константой 438.

[Nataly-Mak]

Программа alexBlack (поиск пандиагонального квадрата 6-го порядка с магической константой 438 из заданных 36 простых чисел) работает уже несколько часов; нарисовала 8 точек
А если задать массив из 43 чисел (объединение всех потенциальных массивов), время выполнения увеличится в разы.

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #729393 писал(а):

Есть новость, с одной стороны хорошая, с другой - не очень

Получила недавно письмо от Radko Nachev (болгарин, живёт в США, очень давно занимается магическими квадратами).
Он прислал мне пандиагональный квадрат 6-го порядка из различных простых чисел с магической константой 450:

3 5 89 137 67 149
127 163 7 29 11 113
31 23 167 59 157 13
107 97 43 53 131 19
73 79 41 71 47 139
109 83 103 101 37 17

maxal в сообщении #346141 писал(а):

maxal в сообщении #345897 писал(а):

Если нигде не наврал, пандиагональных квадратов 6x6 из простых с суммами всех элементов 2628, 2700 и 2772 не существует.

Сумма 2844 (магическая константа 474) также невозможна.

Неожиданно. Надо будет проверить, что было не так в моих вычислениях...
Последовательность A179440 исправил.

-- Tue May 28, 2013 22:25:05 --

Nataly-Mak в сообщении #729472 писал(а):

К тому же, в программе svb есть один нюанс: по-моему, он не использует число 3.

Похоже, и у меня была та же проблема - шаблоны с 3-ой не использовались.

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #729857 писал(а):

Последовательность A179440 исправил.

Спасибо.

Цитата:

Похоже, и у меня была та же проблема - шаблоны с 3-ой не использовались.

А можете перепроверить магическую константу 438?

У меня обе программы (alexBlack и svb) жутко тормозят.
К тому же, проверка по программе svb будет неправильной, так как он не использует число 3.

Сегодня написала Radko вопрос: уверен ли он в минимальности квадрата с магической константой 450? Жду ответ. Но даже если он ответит "да", проверить всё равно не помешает.

Radko строил пандиагональные квадраты из простых чисел с использованием числа 1.
Это его наименьший пандиагональный квадрат 5-го порядка такого вида:

1 107 157 19 89
139 79 17 97 41
113 31 23 199 7
83 127 103 47 13
37 29 73 11 223 

Магическая константа равна 373.
Наименьший пандиагональный квадрат 5-го порядка из различных простых чисел нашёл Pavlovsky; магическая константа равна 395.

Radko спрашивает меня: какой будет наименьший квадрат 6-го порядка из простых чисел с использованием числа 1?
Я не знаю ответ на этот вопрос, такие квадраты не искала.

-- Ср май 29, 2013 10:07:32 --

Наименьший магический квадрат 6-го порядка из простых чисел плюс число 1 имеет магическую константу 408 (см. A073502).
Следовательно, наименьший пандиагональный квадрат 6-го порядка такого вида может иметь магическую константу в интервале (408,450).

-- Ср май 29, 2013 10:26:53 --

И ещё пример в подтверждение утверждения: между пандиагональными квадратами 5-го порядка и квадратами Стенли существует взаимнооднозначное соответствие ---

это квадрат Стенли, соответствующий приведённому пандиагональному квадрату 5-го порядка Radko:

1  7  11  17  127  
13  19  23  29  139  
31  37  41  47  157  
73  79  83  89  199  
97  103  107  113  223

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #729886 писал(а):

Radko строил пандиагональные квадраты из простых чисел с использованием числа 1.
Это его наименьший пандиагональный квадрат 5-го порядка такого вида:

1 107 157 19 89
139 79 17 97 41
113 31 23 199 7
83 127 103 47 13
37 29 73 11 223 

Магическая константа равна 373.

Проверила по своей программе.
У меня наименьший квадрат такого вида получился с магической константой 307:

1 67 149 19 71
139 17 61 37 53
97 23 43 137 7
41 127 43 83 13
29 73 11 31 163

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #729886 писал(а):

Сегодня написала Radko вопрос: уверен ли он в минимальности квадрата с магической константой 450? Жду ответ. Но даже если он ответит "да", проверить всё равно не помешает.

Radko ответил:

Цитата:

The 450 is indeed the lowest of primes from 3.

Таким образом, он уверен в минимальности этого квадрата.
Далее он пишет, что магическая константа может быть меньше, если использовать число 1. Это понятно.