2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100 ... 192  След.
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение16.05.2010, 00:30 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Огромное спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение16.05.2010, 05:57 
Аватара пользователя


21/02/10
1594
Екатеринбург
maxal
shwedka
Огромное спасибо!!!! Не спешно разбираюсь с этой статьей. Заодно пишу перевод. Если кому интересно, готов поделится своими проблемами при понимании этой статьи и применении ее для построения пандиагональных квадратов.

-- Вс май 16, 2010 08:28:43 --

svb
У Россера достаточно простое доказательство невозможности построения традиционных пандиагональных квадратов из чисел от 1 до n^2.

В теореме 2.4 доказывается что пандиагональные квадраты порядка 2k можно разбить на 4 решетки L(2) по k^2 элементов в каждой. Причем сумма всех элементов в каждой решетке одинаковая!
Дальше моя интерпретация. То есть сумма всех элементов пандиагональных квадратов четных порядков должна делится на 4. Легко убедиться что для традиционных пандиагональных квадратов порядков n=4k+2, сумма всех элементов на 4 не делится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение16.05.2010, 06:32 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Pavlovsky
ваши исследования статьи Россера дали потрясающие результаты, о чём подробно рассказывается
на форуме Портала ЕН.

Один из самых важных результатов для меня на данный момент - найдено достаточное условие, которому должен удовлетворять массив из 49 чисел, чтобы из него можно было построить пандиагональный квдарат 7-го порядка.
Я уже написала программу проверки массивов на выполнение этого условия. Программа работает достаточно быстро.
Далее, получив из массива примитивный квадрат, с помощью преобразования мы легко получаем из него пандиагональный квадрат. Алгоритм получается замечательный.

Алгоритм этот, кстати, вы уже реализовали полностью для пандиагональных квадратов 5-го порядка. Для данного порядка построение примитивного квадрата из массива, состоящего из 25 чисел, является не только достаточным, но и необходимым условием построения пандиагонального квадрата из заданного массива.
В результате вы нашли наименьшие пандиагональные квадраты 5-го порядка из простых чисел (S = 395) и из смитов (S = 8318).

Спасибо вам за проделанную работу! Мне очень интересно всё, что есть ещё в этой статье. Буду очень благодарна за перевод статьи.

svb
в указанной статье Россера есть доказательство несуществования пандиагональных квадратов порядка n = 4k + 2 (k = 1, 2, 3, ....).

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение16.05.2010, 07:59 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
На картинке показано преобразование примитивного квадрата 7-го порядка в пандиагональный квадрат.

Изображение

Массив для примитивного квадрата я получила из произвольно выбранных натуральных чисел (чтобы только выполнялись условия теоремы). В массиве оказались одинаковые числа, но это не помешало построить пандиагональный квадрат.
Для получения из примитивного квадрата пандиагонального используется следующее преобразование:

B(3i+2j,2i+j)=A(i,j),

где A(i,j) - элементы примитивного квадрата, B(i,j) - элементы пандиагонального квадрата. Индексы вычисляются по модулю 7.

Примитивный квадрат обладает интересным свойством: сумма чисел во всех его диагоналях (главных и разломанных) равна магической константе квадрата.
Составив по программе примитивный квадрат для массива 1, 2, 3, ..., 49, я с удивлением обнаружила, что получился обратимый квадрат:

Код:
49 42 35 28 21 14 7
48 41 34 27 20 13 6
47 40 33 26 19 12 5
46 39 32 25 18 11 4
45 38 31 24 17 10 3
44 37 30 23 16 9 2
43 36 29 22 15 8 1

Интересно отметить, что программа трудилась над построением этого примитивного квадрата 4 часа! Массивы же из простых чисел проверяются примерно 30 секунд, а массивы из смитов - 2-3 секунды.
Уже проверила 20 массивов из последовательных простых чисел, 10 массивов из последовательных смитов, все наименьшие квадраты из простых и из смитов, ни из одного массива примитивный квадрат не составился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение16.05.2010, 09:42 
Аватара пользователя


20/01/10
766
Нижний Новгород
Pavlovsky в сообщении #319848 писал(а):
У Россера достаточно простое доказательство невозможности построения традиционных пандиагональных квадратов из чисел от 1 до n^2.

Статью скачал, приступил к чтению. Как маленький мальчик написал одному писателю: "Мне очень понравилась ваша книга, читаю второй месяц - уже на 4-ой странице". :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение16.05.2010, 10:43 
Аватара пользователя


21/02/10
1594
Екатеринбург
svb в сообщении #319876 писал(а):
читаю второй месяц - уже на 4-ой странице". :-)

Я уже на пятой! Если что спрашивай. Може вместе быстрей пойдет изучение...
В данный момент бьюсь над Леммой 4.1. И почему из нее следует тривиальный вывод, что пандиагональных МК 3х3 не существует.

и вот над этим
Цитата:
The general solution of these equations, the elements being linear functions of a certain number of essential, independent parameters, shall be called the general square of order n admitting the given configurations.


Никак не могу понять что такое "general square". Как можно общее решение системы линейных уравнений, которое в данном случае прямоугольник сделать квадратом?!

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение16.05.2010, 12:08 
Аватара пользователя


20/01/10
766
Нижний Новгород
Pavlovsky в сообщении #319895 писал(а):
svb в сообщении #319876 писал(а):
читаю второй месяц - уже на 4-ой странице". :-)

Я уже на пятой! Если что спрашивай. Може вместе быстрей пойдет изучение...

Дык... ночью скачал, а сейчас продираюсь сквозь английский :cry: , но от мальчика пока отстаю :-)
Цитата:
Цитата:
The general solution of these equations, the elements being linear functions of a certain number of essential, independent parameters, shall be called the general square of order n admitting the given configurations.


Никак не могу понять что такое "general square". Как можно общее решение системы линейных уравнений, которое в данном случае прямоугольник сделать квадратом?!

По интуиции (своим английским похвастать не могу):
Общее решение этих уравнений, элементы которых являются линейными функциями от некоторого числа определяющих, независимых параметров, назовем обобщенным квадратом порядка n допускающим данные конфигурации.

По поводу "допускающих" в окончательной редакции можно найти более красивый термин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение16.05.2010, 12:21 
Аватара пользователя


21/02/10
1594
Екатеринбург
С переводом у меня нет проблем есть проблемы с пониманием.

Мы вывели общую формулу. То есть у нас n^2 линейных функций от k переменных (количество независимых параметров). Общее решение можно представить ввиде прямоугольной таблицы n^2 на k. И вдруг этот прямоугольник называем квадратом! Мало того это не просто квдарат, а магический квадрат! Так как допускать (я перевел как покрывать) данные конфигурации может только магический квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение16.05.2010, 12:37 
Аватара пользователя


20/01/10
766
Нижний Новгород
Pavlovsky в сообщении #319949 писал(а):
Мы вывели общую формулу. То есть у нас n^2 линейных функций от k переменных (количество независимых параметров). Общее решение можно представить ввиде прямоугольной таблицы n на k. И вдруг этот прямоугольник называем квадратом! Мало того это не просто квдарат, а магический квадрат! Так как допускать (я перевел как покрывать) данные конфигурации может только магический квадрат.

Из твоего текста следует, что имеется n^2 линейных функций - это уже квадрат, но не из чисел, а из функций. Поэтому разумно назвать такой квадрат обобщенным. Наталия же находила подобные квадраты, каждый элемент которых был представлен в виде функций от определяющих элементов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение16.05.2010, 12:39 
Аватара пользователя


21/02/10
1594
Екатеринбург
svb в сообщении #319955 писал(а):
Из твоего текста следует, что имеется n^2 линейных функций - это уже квадрат, но не из чисел, а из функций. Поэтому разумно назвать такой квадрат обобщенным. Наталия же находила подобные квадраты, каждый элемент которых был представлен в виде функций от определяющих элементов.

Это тема! Буду думать. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение16.05.2010, 13:03 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Pavlovsky
Вот здесь
post317855.html#p317855
полученная мной общая формула пандиагонального квадрата 7-го порядка. Это формула типа 24+25, то есть 24 независимых элемента и 25 зависимых, которые определяются как линейные функции от 24 независимых элементов и магической константы квадрата.
Насколько я понимаю, вы обсуждаете как раз подобное задание магического квадрата.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение16.05.2010, 13:31 
Аватара пользователя


21/02/10
1594
Екатеринбург
Вроде разобрался. "General" совсем лишнее слово.
Лемма 4.1 в моем переводе звучит так:
В квадрате простого порядка допускающего (покрывающего) все пути, все элементы равны N. Где N это среднеарифметическое всех элементов таблицы. Россер не использует понятие магическая сумма. Но связь очевидна: S(Магическая сумма) = n*N.

Так как через каждый элемент может проходить не более n+1 путей, то для n=3 получаем случай из леммы. И соответственно пандиагональный квадрат 3х3 может состоять только из матрицы с одинаковыми элементами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение17.05.2010, 06:49 
Аватара пользователя


21/02/10
1594
Екатеринбург
Nataly-Mak в сообщении #319965 писал(а):
Pavlovsky
Вот здесь
post317855.html#p317855
полученная мной общая формула пандиагонального квадрата 7-го порядка. Это формула типа 24+25, то есть 24 независимых элемента и 25 зависимых, которые определяются как линейные функции от 24 независимых элементов и магической константы квадрата.
Насколько я понимаю, вы обсуждаете как раз подобное задание магического квадрата.


Наталья, вроде как с этим вопросом разобрались. general square, по версии svb, можно перевести как обобщенный квадрат. То есть квдрат в ячейках которого вместо чисел стоят формулы.

-- Пн май 17, 2010 08:53:36 --

Следующая проблема относится к теореме 3.1, где описывается преобразование примитивного квадрата в пандиагональный. Как создавать такое преобразование для конкретных n, разобрался кроме одного случая. Для n=6, невозможно создать подобное преобразование. Толи чего то не понял, толи n=6 исключение, для которого методика Россера не применима.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение17.05.2010, 07:06 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Цитата:
Следующая проблема относится к теореме 3.1, где описывается преобразование примитивного квадрата в пандиагональный. Как создавать такое преобразование для конкретных n, разобрался кроме одного случая. Для n=6, невозможно создать подобное преобразование. Толи чего то не понял, толи n=6 исключение, для которого матодика Россера не применима.

Как сообщала на форуме Портала ЕН, у меня для порядка 6 не построился примитивный квадрат (я взяла набор чисел, из которого пандиагональный квадрат составляется - последовательные простые числа 67, ..., 251).
Так что, у меня пока нечего и преобразовывать - нет примитивного квадрата порядка 6. А у вас есть? Если взять, например, примитивный квадрат из набора 1, 2, ..., 36 (это будет обратимый квадрат), то его бестолку пытаться преобразовывать, потому что классического пандиагонального квадрата 6-го порядка не существует.

А для других порядков вида n = 4k + 2 тоже разобрались? Для порядка 10, например. Может быть, исключение составляют все порядки данного вида, а не только порядок 6?

-- Пн май 17, 2010 08:49:48 --

Тестирую свою программу построения примитивного квадрата порядка 7. Для набора из первых 49 натуральных чисел, как я уже сообщала, она нашла примитивный квадрат, им оказался обратимый квадрат.
Теперь ввела в качестве массива числа арифметической прогрессии: 3, 13, 23, ...., 483. Программа для этого набора тоже примитивный квадрат построила.
В этом квадрате числа также записаны по порядку, как в обратимом квадрате.
В общем, программа вроде работает правильно. Осталось найти примитивный квадрат из простых чисел.

Прверила уже 140 массивов из последовательных простых и 70 массивов из последовательных смитов. Нет примитивного квадрата!

 Профиль  
                  
 
 Re: Магические квадраты
Сообщение17.05.2010, 09:21 
Аватара пользователя


21/02/10
1594
Екатеринбург
maxal

Ты вроде занимался проблемой возможности (невозможности) построения пандиагональных МК 4х4 из последовательных простых чисел. Как у тебя дела в этом направлении?
Тоже решил поковыряться в этом направлении.

Пандиагональные МК 4х4 должны состоять из 8 пар комплементарных чисел с одинаковой суммой. То есть пока можно забыть про магические квадраты и решить задачу из теории (простых) чисел.

Задача. Найти 16 последовательных простых чисел, образующих 8 пар комплементарных чисел.

Среди 50 миллионов первых простых чисел такой последовательности не нашел.

Ниже представлены все последовательности 14-ти последовательных простых чисел образующих 7 пар комплементарных чисел, среди первых 50 миллионов простых чисел.
Первое число медиана (половина суммы пары комплементарных чисел). Следующие 7 чисел смещение, для образования пары комплементарных чисел надо медиану сложить и вычесть со смещением.

8021811 10 20 22 40 52 58 62
20066025 2 16 22 38 62 64 82
62550600 11 17 19 23 29 37 43
102979590 29 37 47 59 71 73 83
110608470 1 19 29 31 47 73 79
136450140 11 59 61 67 77 91 107
162607725 4 26 34 52 62 64 76
353656545 2 28 56 62 68 76 92
390175935 4 8 14 22 34 52 56
489539985 2 16 28 58 68 98 104
591815055 2 14 16 28 44 68 74
593566935 2 14 56 58 62 64 98
609486540 17 29 31 43 53 71 73
622696515 2 16 22 26 44 52 62
633778593 26 40 44 50 64 76 86
683850999 10 32 38 88 100 110 122
783914670 13 17 29 37 43 47 53
951212625 4 16 28 32 56 58 74

Может пригодится следующее тривиальное утверждение. Пусть даны различные простые числа (p1,p2,…,pk). Тогда последовательность из чисел не делящихся на заданные простые числа содержит бесконечное число комплементарных чисел, с медианами кратными p1*p2*…*pk/2.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2870 ]  На страницу Пред.  1 ... 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100 ... 192  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group