Магические квадраты

[Pavlovsky]

Наталья, я планирую сделать библиотечную паузу. В том числе прочитать Ваши статьи посвященные совершенным и обратимым квадратам.

[Nataly-Mak]

Есть!!
Взяла набор из 16 простых чисел, из которого у меня построен пандиагональный квадрат 4-го порядка:

7  13  17  23  31  37  41  47  73  79  83  89  97  103  107  113

Запустила прграмму построения примитивного квадрата из этого набора, примитивный квадрат выдался мгновенно:

113 89 47 23
107 83 41 17
103 79 37 13
97 73 31 7

Далее элементарно превращаю этот примитивный квадрат в пандиагональный по аналогии с только что показанной парой "примитивный квадрат - пандиагональный квадрат". Можно написать матрицу этого преобразования (аналогично тому, как я написала матрицу преобразования обратимого квадрата в совершенный).
Вот готовый пандиагональный квадрат, полученный из данногго примитивного квадрата:

7 107 79 47
89 37 17 97
41 73 113 13
103 23 31 83

Итак, осталось найти примитивный квадрат из произвольных смитов.

Это уже третий алгоритм построения пандиагонального квадрата 4-го порядка.

svb
вы уже на построении примитивных квадратов "собаку съели". Не поищете ли примитивный квадрат 4-го порядка из произвольных смитов?

[Nataly-Mak]

Бодигрим
ау! Вы здесь бываете? В своё время вы построили много обычных МК 4-го порядка из произвольных смитов и выложили их здесь:
http://grafline.com.ua/uploads/smiths4.log

Сейчас хотела скачать эти квадраты, их можно было бы сразу проверить на пандиагональность. Но, увы, ничего не получилось - выдаётся только главная страница этого веб-сайта, а где там ваши квадраты, никак не могу понять.

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #321727 писал(а):

Но пандиагонального квадрата 4-го порядка из произвольных смитов действительно нет.

Вот нашелся такой квадратик:

94 3802 5638 6178
5998 5818 454 3442
2218 1678 7762 4054 
7402 4414 1858 2038

с магической константой 15712. Правда, не факт, что минимальной.

-- Thu May 20, 2010 02:29:35 --

А вот и квадратик с минимально возможно суммой 14560:

1282 2578 5098 5602
5458 5242 1642 2218
2182 1678 5998 4702
5638 5062 1822 2038

[Nataly-Mak]

Здорово!
По какому алгоритму построили?

А я вспомнила, что ведь для порядка 4 пандиагональные квадраты являются совершенными квадратами!
И поэтому берём преобразование в чистом виде из моей статьи "Совершенные магические квадраты (часть III)":

a11 a43 a14 a42
a24 a32 a21 a33
a41 a13 a44 a12
a34 a22 a31 a23

Это преобразование переводит обратимый квадрат 4х4 в совершенный.
Я проверила действие преобразования на примитивном квадрате, пандиагональный квадрат получился.

Вот, пришла к тому, что уже давно получила, окружным путём

-- Чт май 20, 2010 11:35:54 --

maxal
наименьший квадрат очень стройненький
Класс! Поздравляю!

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #321783 писал(а):

По какому алгоритму построили?

Прошелся по всем потенциальным магическим константам $m$, для каждой нашел набор всех пар смитов в сумме равных $m/2$ и загнал каждый из этих наборов в программу построения пандиагонального квадрата $4\times 4$. Минимальной константой, для которой квадрат построился, оказалась $m=14560$.

-- Thu May 20, 2010 02:48:03 --

Кстати, в текущем соревновании Зиммерманна просят построить традиционные магические квадраты со специальным свойством "удерживания как можно больше воды". И призы за это дают.

[Pavlovsky]

Из чисел Смита можно составить 28 пар с суммой 14560/2. Из этих пар можно составить $C_{28}^8=3108105$ различных вариантов по 8 пар. maxal
у тебя программа все эти варианты проверила? Моя уже минут 30 молотит.

[Nataly-Mak]

Цитата:

Кстати, в текущем соревновании Зиммерманна просят построить традиционные магические квадраты со специальным свойством "удерживания как можно больше воды". И призы за это дают.

И тут английский Ну, правильно, русские ведь магическими квадратми не интересуются.

maxal
не могли бы вы пояснить, какими свойствами должны обладать традиционные квадраты, чтобы они "удерживали как можно больше воды"? И какого порядка надо построить квадраты? Одним словом, перевод нужен

[maxal]

Pavlovsky в сообщении #321795 писал(а):

Из чисел Смита можно составить 28 пар с суммой 14560/2. Из этих пар можно составить $C_{28}^8=3108105$ различных вариантов по 8 пар. maxal
у тебя программа все эти варианты проверила? Моя уже минут 30 молотит.

Я не выделял по 8 пар, а просто засовывал все 56 чисел в программу построения квадрата. А она уже сама выбирала из них 16 подходящих.

[Pavlovsky]

Магический квадрат можно рассматривать как "емкость для воды". Каждая ячейка квадрата имеет высоту, равную числу ячейки. Ячейка, высота которой меньше, чем ее 4 ближайших соседа, сохраняет воду до высоты своего соседа с минимальной высотой (и, возможно, выше - см. ниже). Ячейки, которые находится на внешней границе магического квадрата не удерживают воду.

Найти традиционный магический квадрат в котором удерживается максимальный объем воды. Зачет ведется для МК порядков от 4 до 28 включительно.

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #321799 писал(а):

maxal
не могли бы вы пояснить, какими свойствами должны обладать традиционные квадраты, чтобы они "удерживали как можно больше воды"? И какого порядка надо построить квадраты? Одним словом, перевод нужен

А чем гуглеперевод вам не угодил? По-моему, вполне приличный и понятный.

-- Thu May 20, 2010 03:33:56 --

Pavlovsky в сообщении #321804 писал(а):

Зачет ведется для МК 4х4,5х5,6х6.

Тут вы не правы. Зачёт ведется по размерностям от 4 до 28 включительно.

[Pavlovsky]

maxal в сообщении #321806 писал(а):

Тут вы не правы. Зачёт ведется по размерностям от 4 до 28 включительно.

Сорри. Не туда посмотрел. Посмотрел на таблички с системой подсчета очков. Исправил свой пост, чтоб никого не вводить в заблуждение.

[Nataly-Mak]

Проверила свой алгоритм построения пандиагонального квадрата из примитивного квадрата ещё раз на наборе из смитов, из которого maxal построил пандиагональный квадрат:

1282  1642  1678  1822  2038  2182  2218  2578  4702  5062  5098  5242  5458  5602  5638  5998

Вот такой примитивный квадрат выдала программа:

5998 5458 2578 2038
5638 5098 2218 1678
5602 5062 2182 1642
5242 4702 1822 1282

Применяю к этому примитивному квадрату показанное выше преобразование и получаю следующий пандиагональный квадрат:

5998 1822 2038 4702
1678 5062 5638 2182
5242 2578 1282 5458
1642 5098 5602 2218

Получился не эквивалентный квадрат.

Таким образом, алгоритм работает.

-- Чт май 20, 2010 13:21:29 --

Pavlovsky, maxal
спасибо за перевод.
Не поняла, какие клетки называются 4 ближайшими соседями. У каждой клетки квадрата, не лежащей на границе, есть 8 соседей. Какиее из них считаются ближайшими?

[Pavlovsky]

Очевидно две по вертикали, две по горизонтали. На картинке это видно.

[Nataly-Mak]

Да, я тоже так подумала, что по горизонтали и вертикали.
А про две клетки поняли?