Магические квадраты

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #315835 писал(а):

Вы получили эту формулы, описав пандиагональный квадрат системой линейных уравнений?

Да.

Nataly-Mak в сообщении #315835 писал(а):

Представленную мной систему уравнений никто не желает помочь решить. Очень интересно, какое решение даст эта система.

Примерно то же самое и получится.

[Nataly-Mak]

Я ожидаю несколько другую формулу, типа 21+28 (или другое соотношение зависимых и независимых переменных). Для зависимых переменных должны быть формулы для их вычисления (аналогично формуле для пандиагонального квадрата 5-го порядка).
Сейчас у меня пока приняты 21 независимых переменных, они обозначены символьными константами ai. Но при решении системы ещё несколько переменных могут оказаться независимыми.

В вашей формуле я вижу чётко только следующие независимые переменные: 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24. Остальные чётко не просматриваются.

А вы не могли бы решить мою систему уравнений?

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #315958 писал(а):

Сейчас у меня пока приняты 21 независимых переменных, они обозначены символьными константами ai. Но при решении системы ещё несколько переменных могут оказаться независимыми.

Не могут, а окажутся. Независимых переменных здесь не может быть больше 24-х.

Вот другая формула, где независимыми переменными выступают элементы квадрата (помечены *) общим количеством 24 штуки:

[1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, -3]
[-1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, -1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, -1]
[0, -1, 0, 0, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 1, 1, -1, -1, -1, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 0, -1, -1, -2, -1, -1, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 0, 2]
[0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 0, -1, -1, -2, -1, -1, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 2]
[0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, -1, -1, -1, 1, 1, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, -1, -1, -1, 1]
[0, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, -1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, -1]
[0, -1, -1, -1, -1, 0, 0, -1, -2, -2, -1, 0, 0, -1, -2, -2, -1, 0, 0, -1, -1, -1, -1, 0, 3]
[0, 0, -1, -1, -1, -1, 0, 0, -1, -2, -2, -1, 0, 0, -1, -2, -2, -1, 0, 0, -1, -1, -1, -1, 3]
[1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, -1, -1, 1, 1, 1, 0, -1, -1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, -1]
[0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, -3]
[0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, -3]
[0, 0, 0, 1, 1, 1, -1, -1, 0, 1, 1, 1, -1, -1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, -1]
[-1, -1, -1, -1, 0, 0, -1, -2, -2, -1, 0, 0, -1, -2, -2, -1, 0, 0, -1, -1, -1, -1, 0, 0, 3]
[0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, -3]
[0, 0, 1, 1, 1, 1, -1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, -1]
[-1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 1, 1, -1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, -1, -1, -1, 0, 0, -1, -1, -2, -1, -1, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 2]
[0, 0, -1, -1, -1, 0, 0, -1, -1, -2, -1, -1, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 2]
[0, 0, 0, -1, -1, -1, 1, 1, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, -1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 1]
[1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, -1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, -1]
[-1, -1, -1, -1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0]*
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0]*

[Nataly-Mak]

Вот именно о такой формуле я и говорила, где независимые переменные являются элементами квадрата и их сразу видно (можно и не помечать, в строке, соответствующей такому элементу присутствует всего одна единичка).
Такая формула, предполагаю, должна получиться и из моей системы уравнений.

[Nataly-Mak]

Переписала вашу последнюю формулу в привычном виде и написала программку.
Вот такой получила пандиагональный квадрат:

179  139  19  97  167  5  127 
239  109  137  107  71  3  67 
199  151  17  149  47  7  163 
131  41  197  191  23  61  89 
-125 -357  85  123  413  575  19 
527  697  381 -179 -503 -317  127 
-417 -47 -103  245  515  399  141

Первые 4 строки состоят из простых чисел, набор этих 4-х строк генерируется случайным образом (прямо в программе).
Элементы последних 3-х строк вычисляются.
Осталось совсем чуть-чуть - сгенерировать такой набор из первых 4-х строк, чтобы все элементы последних 3-х строк оказались различными простыми числами, входящими в заданный массив чисел. Это как выиграть в советскую лотерею автомобиль.

Для этого квадрата я взяла массив простых чисел, из которых составлен наименьший магический квадрат с константой 733.

Ну, тем не менее, один вероятностный алгоритм уже готов.

[Nataly-Mak]

С праздником, форум! С днём рождения!

Ну, вот и мою систему решили на форуме Портала ЕН (решал 12d3):

{{x1 -> -a11 + a12 + a13 + a15 + a16 + a17 + a20 + a21 - a4 + a5 +  
   a6 + a8 + a9 - 2 S + x16 + x17 + x20 + x25 + x26 + x27,
  x2 -> a12 - a18 - a4 + a5 + a8 + a9 - x16,
  x3 -> a10 + a11 - a12 + a18 - a20 - a21 + a4 - a5 - a8 + S - x17 - 
   x20 - x25 - x26 - x27,
  x4 -> a10 + a12 + a13 + a16 + a19 + a9 - x16 - x17 - x20 - x25 - x27,
  x5 -> a10 + a11 - a21 + a3 + a4 - a5 - x17,
  x6 -> a13 + a14 + a16 + a17 + a18 + a20 + a21 - a3 - S + x16 + x17,
  x7 -> -a10 - a11 - a16 - a18 + a21 - a4 + a5 + x17 + x20 + x25 + x27,
  x8 -> -a10 - a12 - a13 - a16 - a17 - a19 - a20 - a21 - a5 - a8 - 
   a9 + 2 S - x20 - x26,
  x9 -> -a12 - a13 + a18 - a20 + a4 - a5 - a6 - a8 - a9 + S - x25,
  x10 -> -a11 + 2 a12 + 2 a13 + a16 + a17 - a18 + a19 + 2 a20 + a21 - 
   a4 + 2 a5 + a6 + a8 + a9 - 2 S + x20 + x25 + x26,
  x11 -> -a11 + a13 + a16 + a17 + a19 + a20 + a21 - a3 + a5 - S + 
   x16 + x17 + x20,
  x12 -> a17 + a20 + a21 - a4 + a5 + a8 - S + x17 + x20 + x25 + x26,
  x13 -> -a10 - a13 - a14 - a16 - 2 a17 - a18 - a20 - a21 + 2 S - 
   x16 - x17 - x20 - x26,
  x14 -> a10 + a11 - a12 - a13 + a18 - a19 - a20 - a21 + a3 + a4 - 
   2 a5 - a8 + S - x17 - x20 - x25,
  x15 -> -a15 - a16 - a17 - a18 + S - x16 - x17,
  x18 -> -a10 - a13 - a14 - a16 - a17 - a18 - a19 - a20 - a21 + a3 + 
   S + x25 + x27,
  x19 -> a10 + a12 + a13 + a14 + a15 + a16 + a17 + a18 + a6 + a9 - S -
    x20 - x25,
  x21 -> -a12 - a15 - a3 - a6 - a9 + S - x27,
  x22 -> a12 + a13 + a14 + a17 + a20 + a21 - a4 + a5 + a6 + a9 - S,
  x23 -> a10 + a11 - a12 + a16 + a17 + a18 + a4 - a5 - a6 - x25 - x27,
  x24 -> -a10 - 2 a12 - 2 a13 - a14 - a15 - 2 a16 - 2 a17 - a19 - 
   2 a20 - a21 + a4 - a5 - a6 - a8 - 2 a9 + 3 S - x26,
  x28 -> -a11 + 2 a12 + a13 + a15 + a16 - a18 + a19 + a20 - a4 + a5 + 
   a6 + a8 + a9 - S,
  a1 -> a11 - 2 a12 - 2 a13 - a15 - a16 - a17 + a18 - a19 - a20 - 
   a21 + a4 - 2 a5 - a6 - a8 - 2 a9 + 2 S,
  a2 -> -a10 - a11 + a12 + a13 - a18 + a19 + a20 + a21 - a3 - a4 + a5,
  a7 -> -a10 - a12 - 2 a13 - a14 - a16 - a17 - a19 - a20 - a21 - a5 - 
   a6 - a9 + 2 S}}

Формула получилась того же типа: 24+25.
На конкретном пандиагональном квадрате форумулу проверила, всё верно.

Вчера думала, как бы эту формулу приспособить для проверки заданного массива из 49 чисел на предмет построения пандиагонального квадрата.
Первая мысль пришла такая.
Берём, например, формулу для вычисления элемента x2:

x2 = a12 - a18 - a4 + a5 + a8 + a9 - x16

Элемент квадрата a4 варьировать не будем (он находится в верхнем правом углу квадрата; изоморфизм параллельного переноса на торе учтём). Тогда в формуле остаётся всего 6 свободных переменных.
Таким образом, нам надо найти все такие наборы из 6 различных чисел, принадлежащих заданному массиву, чтобы элемент x2, вычисленный по формуле, был отличен от этих 6 элементов и тоже принадлежал заданному массиву.
Вот если не будет ни одного такого набора, можно сразу сказать, что из данного массива пандиагональный квадрат не составится.
А если такие наборы будут, тогда можно идти дальше.

Итак, выбрать наборы по 6 различных чисел из 48 чисел (один элемент мы зафиксировали)... Реально?

[Nataly-Mak]

Да, сложно реализовать алгоритм на Бейсике. Но формула работает!

Для проверки взяла массив из последовательных простых чисел 7, ..., 239. Из этого массива составляется магический квадрат с константой 797 (это наименьший магический квадрат из последовательных простых чисел). А вот существует ли пандиагональный квадрат из чисел данного массива?

Программу написала. На последних циклах числа выбиваются из массива, а продолжать не имеет смысла: очень долго. На последних вложенных циклах убрала проверку на принадлежность массиву и получила такой пандиагональный квадрат:

341 7 331 29 83 -1 7
67 13 59 151 9 299 199
17 335 37 227 31 109 41
127 11 79 73 209 71 227
53 239 193 19 223 47 23
177 179 -93 197 61 43 233
15 13 191 101 181 229 67

Подчеркну: программа выполнила один проход всех циклов, причём в последних вложенных циклах выброшены все проверки. Поэтому в квадрате есть одинаковые числа, есть числа, не принадлежащие заданному массиву. Но квадрат пандиагональный с константой 797!
Один проход циклов выполнился за одну минуту. Но если включаю все проверки, то программа надолго "задумывается".

Итак, полученная общая формула пандиагонального квадрата 7-го порядка верная, но вот как её эффективно реализовать? Хорошая задача!

Кстати, на форуме Портала ЕН сообщили, что в статье Россера есть необходимое и достаточное условие, которому должен удовлетворять массив из 25 чисел, чтобы из него составился пандиагональный квадрат 5-го порядка.
Я вчера заглянула в статью, увидела там пандиагональный квадрат 7-го порядка (классический), но вот текст, предшествующий этому квадрату, конечно, не поняла. Может быть, и для пандиагонального квадрата 7-го порядка там сформулировано необходимое и достаточное условие для массива из 49 чисел?
Статья Россера была выложена здесь, но говорят, что эта ссылка уже не работает. Я выложила статью на форуме Портала ЕН.

[madhunter1]

Извините что отвлекаю от дискуссии, возможно пишу бредовую ерунду и все это знают. В математике я особо не силён но понятно что магический квадрат это нечто где всё всегда равно. Я допустил возможность построения магического квадрата бесконечного порядка в случае если кол-во клеток в ряде после деления на 4 получается целое число. Условия квадрата обычные. например в квадрате 1000000х1000000 расставлены числа с 1 до 1000000000000 так чтобы ни 1но число не повторялось, при этом:
1. Сумма чисел в любой полной линии или диагонали будет равна.
2. Сумма чисел в любом квадратике из 4х чисел на этом поле будет равна любому другому квадратику из 4х чисел)
3. Если взять и нарисвать на этом поле прямоугольник с углами в ценрте, и кол-во клеток в каждой из сторон будет делиться на 2 (после чего естесственно получится целое число) то сумма клеток углов будет равна пункту 2
4. Если сократить все числа на этом поле(например 54647=5+4+6+4+7=26=2+6=8) то сохраняются все законы 1,2,3 главное не забыть сократить подобным образом получившуюся сумму

дальше я не особо разбирался да и времени особо нет 1000000 это далеко не предел, при этом зная, что если брать за факт возможность построения этих квадратов легко получается формула расчёта пункта 1 и 2 даже не строя квадрат а зная кол-во клеток в ряду. где спользовать вообще непонятно) Может кто знает название всего этого Гугль тут не поможет))

[Mathusic]

Идею вычлените и по-русски напишите. А потом может кто и скажет что.

[Pavlovsky]

shwedka в сообщении #156207 писал(а):

shwedka в сообщении #156118 писал(а):

Несуществоваnие такого квадрата доказано в статье B. Rosser, R.Walker, The algebraic theory of diabolic magic squares. Duke Math. Journal, 5, 1939, pp. 705-728,
Tеорема 5.2, стр. 718.

A теперь принимайте саму статью.
http://ifolder.ru/8920798
прошу пардону за качество.

Спасибо за очень интересную статью. Конечно наглость просить что то еще. Но Вы бы не могли повторно отсканировать страницу 713. Там обрезано много текста, а на этой странице содержатся утверждения очень важные для понимания всей статьи.

[madhunter1]

Основной вопрос это как назвать идеальный магический квадрат со всеми свойствами магической фигуры которую только возможно построить из квадратного листа на котором он нанесён. Построить который можно особо не заморачиваясь совершенно любого размера кратного 4

[svb]

Маленькое замечание о пандиагональных квадратах.

[Mathusic]

Pavlovsky в сообщении #318772 писал(а):

B. Rosser, R.Walker, The algebraic theory of diabolic magic squares. Duke Math. Journal,

Ещё большей наглостью будет попросить вас, shwedka, скачать статью http://projecteuclid.org/DPubS?service= ... 1077491563 (качество - отличное!)
Если, конечно, есть подписка.

[maxal]

B. Rosser, R.Walker, The algebraic theory of diabolic magic squares. Duke Math. Journal, 5, 1939, pp. 705-728
в хорошем качестве: http://ifolder.ru/17725501

[shwedka]

http://www.megaupload.com/?d=WMVWLBFS
получайте