Доказательство для степени 3

[dick]

Доказать что уравнение: $x^3+y^3=z^3$ (1), не имеет решений для целых x, y, z если x≠y≠z≠0.
Предположим, что имеются Х,Y,Z , удовлетворяющие условию (1).
Причем $Z=a-b, Y=a-b_1, X=a-b_2$.
Тогда: $(a-b)^3=(a-b_1)^3+(a-b_2)^3$;
$(a^3-b^3)-3a^2b+3ab^2=(2a^3-b_1^3-b_2^3)-3a^2(b_1+b_2)+3a(b_1^2+b_2^2)$ (2);
$a^3+b^3=b_1^3+b_2^3$ (3.1); $b=b_1+b_2$ (3.2); $b^2=b_1^2+b_2^2$ (3.3);
Независимо от наличия или отсутствия решений для (3.1), выполнение (3.2) и (3.3) в целых числах невозможно.

[mihaild]

А как, собственно, от (2) вы перешли к, например, 3.2? Приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях можно только если бы там было равенство многочленов.
Иначе много чего интересного придумать можно. Например, преобразуем аналогично уравнение $a = 1$: $1 \cdot a^1 + 0\cdot a^0 = 1 = 0 \cdot a^1 + 1 \cdot a^0$. Откуда $0 = 1$ - следовательно, уравнение $a = 1$ не имеет решений.

[dick]

Извините за неграмотность, но все же нули и единицы не очень впечатляют. Я приравнял части двух равных сумм, сократил их на общий множитель. Здесь, конечно, не школа, но хотелось бы понять почему этого нельзя делать. Заранее благодарен.

[mihaild]

dick в сообщении #1333623 писал(а):

Я приравнял части двух равных сумм

Вот это можно делать только для многочленов.
Нужно не путать равенство многочленов и равенство их значений в какой-то точке.

dick в сообщении #1333623 писал(а):

все же нули и единицы не очень впечатляют

Ну извините, цели "впечатлить" кого-то не было. Я провел рассуждение, аналогичное вашему, и получил очевидно неверный результат. Значит, так рассуждать нельзя. И чуть выше я написал, чем такой способ рассуждения отличается от правильного.
Можете еще попробовать заменить степень на вторую - увидите, что получается всё то же самое.
И почему у вас такая дискриминация третьей и нулевой степеней $a$ - первую и вторую рассматриваете отдельно, а их вместе? Давайте тогда уж и на коэффициенты при $a^3$ посмотрим, и увидим $a^3 = 2a^3$.

-- 21.08.2018, 00:02 --

Вообще доказательство примерно подпадает под второй пункт из «Популярные способы доказательства»

[SpiderHulk]

А вообще общепризнанное доказательство для степени 3, оно какого объёма?

[iifat]

Скажу вам по секрету: оно совершенно не секретно и легко гуглится. Помнится, не очень большое, но мог и забыть.

[Someone]

iifat в сообщении #1333631 писал(а):

легко гуглится

Ну уж не знаю. Мне Google находит громадную кучу всякой бредятины, сочинённой ферматистами.
Доказательство для третьей (Эйлера) и для четвёртой (Ферма) степени можно найти в книге М. М. Постникова "Теорема Ферма" (во втором издании она стала называться "Введение в теорию алгебраических чисел"). Доказательство для четвёртой степени элементарное, а для третьей уже не очень. Сам Эйлер там ошибся. Об этом доказательстве есть также статья Ю. Ю. Мачиса.

[dick]

Разумеется, я не имел ввиду что равенство в частях это единственный вариант выполнения (2). Но это один из двух возможных.
Второй - сумма разности частей равна нулю. Первый вариант интересен тем, что он сразу дает ответ на вопрос теоремы.
И приглашает задуматься: а не значит ли это, что нет решений и по второму варианту?

[mihaild]

dick в сообщении #1333973 писал(а):

Разумеется, я не имел ввиду что равенство в частях это единственный вариант выполнения (2). Но это один из двух возможных.

Смотря что вы понимаете под "вторым возможным".

dick в сообщении #1333973 писал(а):

Первый вариант интересен тем, что он сразу дает ответ на вопрос теоремы.

Первый вариант не интересен, потому что накладывается очень сильное дополнительное непонятно откуда взявшееся условие.

dick в сообщении #1333973 писал(а):

И приглашает задуматься: а не значит ли это, что нет решений и по второму варианту?

Опять же - что такое "второй вариант"?
(решений, очевидно, нет, т.к. теорема Ферма для $n = 3$ верна)

[dick]

Первый вариант это равенство частей. Вы, если я правильно понял, называете это дополнительным условием. Я назвал это первым вариантом, потому что равенство в частях обеспечивает равенство (2) в целом.
Второй вариант- тот что остается за вычетом первого. По крайней мере одна тройка чисел, для которой сумма разности частей равна нулю. Здесь мне пока нечего сказать.
Извините, не понял зачем писали о том, что теорема для степени 3 доказана?

[mihaild]

dick в сообщении #1334190 писал(а):

По крайней мере одна тройка чисел, для которой сумма разности частей равна нулю

Какая тройка, разности каких частей? Пишите формулы, иначе понять нельзя.

dick в сообщении #1334190 писал(а):

Второй вариант- тот что остается за вычетом первого.

Ну т.е. если условие вида $a + b = c + d$, то можно рассмотреть два случая: $a = c, b = d$ и $a \neq c, b \neq d$. Да, это верно, но пока непонятно, в чем польза такого рассмотрения для народного хозяйства.

[dick]

Противоречия, возникающие когда мы приравниваем части двух предположительно равных сумм, вообще говоря, могут быть двух видов.
Один из них, когда их содержат хотя бы два из вновь возникших равенств. В этом случае исходное равенство сумм может сохраняться и мы предполагаем то, что я назвал здесь вторым вариантом.
Второй случай, когда вновь возникшие, верные равенства противоречат друг другу. В этом случае мы вынуждены признать, что исходное равенство ложно.
Возвращаясь к нашим кубам, констатируем второй случай:
(3.2) -верно
(3.3) -верно
(3.1) -верно (такие пары имеются)
(3.1),(3.2),(3.3) вместе - неверно.
Следовательно равенства (1) и (2) неверны.

[dick]

mihaild

Последнее свое сообщение от 27.08 признаю невнятным. Вернемся к "народному хозяйству".
Пользуясь Вашей формой, имеем предполагаемое равенство: $a+b=c+d$. Все числа целые.
Если равенство справедливо, то оно выполняется, в частности, когда $a=c, b=d$.
Если выясняется, что таких чисел нет, мы должны признать равенство неверным для целых чисел.

[mihaild]

(Оффтоп)

dick в сообщении #1345601 писал(а):

Последнее свое сообщение от 27.08 признаю невнятным

Это очень печально, но любой человек с математическим образованием сочтет ваши сообщения более невнятными, чем мои.

dick в сообщении #1345601 писал(а):

Пользуясь Вашей формой, имеем предполагаемое равенство: $a+b=c+d$. Все числа целые.
Если равенство справедливо, то оно выполняется, в частности, когда $a=c, b=d$.

А еще когда $a = c + 1, b = d - 1$.

Ладно, раз в подробных описаниях вам ориентироваться тяжело, вот максимально краткое возражение:
отсутствует обоснование перехода от (2) к (3.1)

[dick]

$a^3-b^3=2a^3-b_1^3-b_2^3$
$b_1^3+b_2^3=2a^3-a^3+b^3=a^3+b^3$ (3.1)

"А еще когда $a = c + 1, b = d - 1$"
Я написал "в частности".