2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Доказательство для степени 3
Сообщение20.08.2018, 22:31 


17/06/18
196
Доказать что уравнение: $x^3+y^3=z^3$ (1), не имеет решений для целых x, y, z если x≠y≠z≠0.
Предположим, что имеются Х,Y,Z , удовлетворяющие условию (1).
Причем $Z=a-b, Y=a-b_1, X=a-b_2$.
Тогда: $(a-b)^3=(a-b_1)^3+(a-b_2)^3$;
$(a^3-b^3)-3a^2b+3ab^2=(2a^3-b_1^3-b_2^3)-3a^2(b_1+b_2)+3a(b_1^2+b_2^2)$ (2);
$a^3+b^3=b_1^3+b_2^3$ (3.1); $b=b_1+b_2$ (3.2); $b^2=b_1^2+b_2^2$ (3.3);
Независимо от наличия или отсутствия решений для (3.1), выполнение (3.2) и (3.3) в целых числах невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство для степени 3
Сообщение20.08.2018, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5183
Москва
А как, собственно, от (2) вы перешли к, например, 3.2? Приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях можно только если бы там было равенство многочленов.
Иначе много чего интересного придумать можно. Например, преобразуем аналогично уравнение $a = 1$: $1 \cdot a^1 + 0\cdot a^0 = 1 = 0 \cdot a^1 + 1 \cdot a^0$. Откуда $0 = 1$ - следовательно, уравнение $a = 1$ не имеет решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство для степени 3
Сообщение20.08.2018, 23:49 


17/06/18
196
Извините за неграмотность, но все же нули и единицы не очень впечатляют. Я приравнял части двух равных сумм, сократил их на общий множитель. Здесь, конечно, не школа, но хотелось бы понять почему этого нельзя делать. Заранее благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство для степени 3
Сообщение21.08.2018, 00:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5183
Москва
dick в сообщении #1333623 писал(а):
Я приравнял части двух равных сумм
Вот это можно делать только для многочленов.
Нужно не путать равенство многочленов и равенство их значений в какой-то точке.
dick в сообщении #1333623 писал(а):
все же нули и единицы не очень впечатляют
Ну извините, цели "впечатлить" кого-то не было. Я провел рассуждение, аналогичное вашему, и получил очевидно неверный результат. Значит, так рассуждать нельзя. И чуть выше я написал, чем такой способ рассуждения отличается от правильного.
Можете еще попробовать заменить степень на вторую - увидите, что получается всё то же самое.
И почему у вас такая дискриминация третьей и нулевой степеней $a$ - первую и вторую рассматриваете отдельно, а их вместе? Давайте тогда уж и на коэффициенты при $a^3$ посмотрим, и увидим $a^3 = 2a^3$.

-- 21.08.2018, 00:02 --

Вообще доказательство примерно подпадает под второй пункт из «Популярные способы доказательства»

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство для степени 3
Сообщение21.08.2018, 01:14 


16/10/14

667
А вообще общепризнанное доказательство для степени 3, оно какого объёма?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство для степени 3
Сообщение21.08.2018, 02:22 
Заслуженный участник


16/02/13
3901
Владивосток
Скажу вам по секрету: оно совершенно не секретно и легко гуглится. Помнится, не очень большое, но мог и забыть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство для степени 3
Сообщение21.08.2018, 03:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17747
Москва
iifat в сообщении #1333631 писал(а):
легко гуглится
Ну уж не знаю. Мне Google находит громадную кучу всякой бредятины, сочинённой ферматистами.
Доказательство для третьей (Эйлера) и для четвёртой (Ферма) степени можно найти в книге М. М. Постникова "Теорема Ферма" (во втором издании она стала называться "Введение в теорию алгебраических чисел"). Доказательство для четвёртой степени элементарное, а для третьей уже не очень. Сам Эйлер там ошибся. Об этом доказательстве есть также статья Ю. Ю. Мачиса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство для степени 3
Сообщение22.08.2018, 20:59 


17/06/18
196
Разумеется, я не имел ввиду что равенство в частях это единственный вариант выполнения (2). Но это один из двух возможных.
Второй - сумма разности частей равна нулю. Первый вариант интересен тем, что он сразу дает ответ на вопрос теоремы.
И приглашает задуматься: а не значит ли это, что нет решений и по второму варианту?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство для степени 3
Сообщение23.08.2018, 01:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5183
Москва
dick в сообщении #1333973 писал(а):
Разумеется, я не имел ввиду что равенство в частях это единственный вариант выполнения (2). Но это один из двух возможных.
Смотря что вы понимаете под "вторым возможным".
dick в сообщении #1333973 писал(а):
Первый вариант интересен тем, что он сразу дает ответ на вопрос теоремы.
Первый вариант не интересен, потому что накладывается очень сильное дополнительное непонятно откуда взявшееся условие.
dick в сообщении #1333973 писал(а):
И приглашает задуматься: а не значит ли это, что нет решений и по второму варианту?
Опять же - что такое "второй вариант"?
(решений, очевидно, нет, т.к. теорема Ферма для $n = 3$ верна)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство для степени 3
Сообщение23.08.2018, 22:41 


17/06/18
196
Первый вариант это равенство частей. Вы, если я правильно понял, называете это дополнительным условием. Я назвал это первым вариантом, потому что равенство в частях обеспечивает равенство (2) в целом.
Второй вариант- тот что остается за вычетом первого. По крайней мере одна тройка чисел, для которой сумма разности частей равна нулю. Здесь мне пока нечего сказать.
Извините, не понял зачем писали о том, что теорема для степени 3 доказана?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство для степени 3
Сообщение23.08.2018, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5183
Москва
dick в сообщении #1334190 писал(а):
По крайней мере одна тройка чисел, для которой сумма разности частей равна нулю
Какая тройка, разности каких частей? Пишите формулы, иначе понять нельзя.
dick в сообщении #1334190 писал(а):
Второй вариант- тот что остается за вычетом первого.
Ну т.е. если условие вида $a + b = c + d$, то можно рассмотреть два случая: $a = c, b = d$ и $a \neq c, b \neq d$. Да, это верно, но пока непонятно, в чем польза такого рассмотрения для народного хозяйства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство для степени 3
Сообщение27.08.2018, 00:40 


17/06/18
196
Противоречия, возникающие когда мы приравниваем части двух предположительно равных сумм, вообще говоря, могут быть двух видов.
Один из них, когда их содержат хотя бы два из вновь возникших равенств. В этом случае исходное равенство сумм может сохраняться и мы предполагаем то, что я назвал здесь вторым вариантом.
Второй случай, когда вновь возникшие, верные равенства противоречат друг другу. В этом случае мы вынуждены признать, что исходное равенство ложно.
Возвращаясь к нашим кубам, констатируем второй случай:
(3.2) -верно
(3.3) -верно
(3.1) -верно (такие пары имеются)
(3.1),(3.2),(3.3) вместе - неверно.
Следовательно равенства (1) и (2) неверны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство для степени 3
Сообщение11.10.2018, 22:37 


17/06/18
196
mihaild

Последнее свое сообщение от 27.08 признаю невнятным. Вернемся к "народному хозяйству".
Пользуясь Вашей формой, имеем предполагаемое равенство: $a+b=c+d$. Все числа целые.
Если равенство справедливо, то оно выполняется, в частности, когда $a=c, b=d$.
Если выясняется, что таких чисел нет, мы должны признать равенство неверным для целых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство для степени 3
Сообщение11.10.2018, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5183
Москва

(Оффтоп)

dick в сообщении #1345601 писал(а):
Последнее свое сообщение от 27.08 признаю невнятным
Это очень печально, но любой человек с математическим образованием сочтет ваши сообщения более невнятными, чем мои.
dick в сообщении #1345601 писал(а):
Пользуясь Вашей формой, имеем предполагаемое равенство: $a+b=c+d$. Все числа целые.
Если равенство справедливо, то оно выполняется, в частности, когда $a=c, b=d$.
А еще когда $a = c + 1, b = d - 1$.

Ладно, раз в подробных описаниях вам ориентироваться тяжело, вот максимально краткое возражение:
отсутствует обоснование перехода от (2) к (3.1)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство для степени 3
Сообщение11.10.2018, 23:34 


17/06/18
196
$a^3-b^3=2a^3-b_1^3-b_2^3$
$b_1^3+b_2^3=2a^3-a^3+b^3=a^3+b^3$ (3.1)

"А еще когда $a = c + 1, b = d - 1$"
Я написал "в частности".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group