Вот такое решение не подойдёт для девяти точек?
Вы взяли Трижды наращённую треугольную призму? Да, подойдет, примерно в том направлении и пытаюсь думать, с той лишь разницей, что решения для фигур с большим количеством вершин будут содержать разные расстояния между соседними точками (например грани квадраты и треугольники, тогда расстояние по диагонали квадрата будет больше, чем расстояние по его стороне, а задачу на данный момент могу сформулировать лишь с одной переменной L)
Думаю, гиблое дело. То есть, если аналитическое решение представить в виде "вот уравнение-крокодил и у него есть корень вот на таком отрезке, который и является ответом", то что-то ещё, наверное, можно придумать. А вот выразить это число в радикалах точно не получится. Такое делается только численно.
Примерно такой крокодил и хочется получить. В чем проблема нахождения аналитического решения данной задачи? Я натыкался во многих источниках о невозможности аналитического решения, но нигде не описывается проблема, которая делает это невозможным. Недостаточность мат аппарата?
Очевидно, метрика Евклидова на сфере (длина дуги). А равноудалённость наверняка понимается в смысле "минимальное расстояние между двумя точками максимально". Во всяком случае именно такая минимаксная задача приводит к правильным многогранникам в случае удачного числа точек. В случае же неудачного числа всё может быть на столько плохо, что даже нет единственного решения: свободные точки "болтаются" в полостях между другими "связанными" точками. Такой неоднозначности не возникает в задаче Томпсона (так как там потенциальная энергия является гладкой функцией, и даже когда минимум не единственнен, он является локально единственным).
В чем разница между "минимаксной задачей" и задачей Томпсона? Вам известны какие-нибудь материалы по решению задачи Томпсона?
Знаете, решать задачу на сфере значительно более приятно (читай: проще) именно потому, что у этого пространства нет границы (в отличие от полусферы) и симметрия значительно выше. Так что это на мой взгляд две совершенно разные задачи, хоть постановка у них отличается всего лишь допустимой областью размещения.
Что сложнее, это понятно, я к тому, что задача о полусфере лишь следующий этап решения задачи о сфере, как бы продолжение, для которого нужно сначала разобраться с общим случаем распределения зарядов на сфере.
, типа 
