Дифференциальное уравнение свободных колебаний

[inzhenerbezmozgov]

Написать дифференциальное уравнение колебаний пружинного маятника http://fn.bmstu.ru/files/fn4/uchebnyj-p ... o-semestra (стр. 38).
По 2-му закону Ньютона (ось $x$ направлена горизонтально): $dx=\dfrac{m}{k}\dfrac{dv}{dt}$.
Сокращая, я получил уравнение:
$2udt-dx-\dfrac{m}{k}\dfrac{dv}{dt}=0$. Это не совсем похоже на привычное уравнение колебаний. Что с ним делать дальше? (сразу скажу, что лекций и семинаров по колебаниям у нас пока не было).

[lel0lel]

Проекция силы неправильно записана. Если начало отсчёта совпадает с положением равновесия тела, то $F_x=-kx$. Кроме того, если нужна привычная форма уравнения, то ускорение имеет смысл записать как вторую производную координаты по времени.

[Gickle]

Не комментируя написанный ужас в целом, ради интереса лишь вот что спрошу. Что именно вы здесь

inzhenerbezmozgov в сообщении #1307097 писал(а):

Сокращая, я получил уравнение:
$2udt-dx-\dfrac{m}{k}\dfrac{dv}{dt}=0$.

"сокращаете"?

[DimaM]

inzhenerbezmozgov в сообщении #1307097 писал(а):

По 2-му закону Ньютона (ось $x$ направлена горизонтально): $dx=\dfrac{m}{k}\dfrac{dv}{dt}$.

Это не второй закон Ньютона.

[inzhenerbezmozgov]

Gickle
$dv$
DimaM
$m\dfrac{ dv}{dt}=-kdx$
(с учетом замечания lel0lel)
Почему это не 2 закон Ньютона?

[DimaM]

inzhenerbezmozgov в сообщении #1307142 писал(а):

Почему это не 2 закон Ньютона?

Потому что справа стоит не сила, а непонятно что.

[EUgeneUS]

Почему никто сразу не сказал, что ТС складывает два бесконечно малых слагаемых с одним конечным?

[inzhenerbezmozgov]

DimaM
Сила упругости $F=kdx$, почему непонятно что?

[EUgeneUS]

inzhenerbezmozgov в сообщении #1307157 писал(а):

Сила упругости $F=kdx$, почему непонятно что?

Силу упругости Вам уже написали:

lel0lel в сообщении #1307104 писал(а):

Если начало отсчёта совпадает с положением равновесия тела, то $F_x=-kx$.

А у Вас - непонятно что. Слева конечная величина, справа бесконечно малая.

(Оффтоп)

"МГТУ им. Н.Э. Баумана"

[DimaM]

inzhenerbezmozgov в сообщении #1307157 писал(а):

Сила упругости $F=kdx$, почему непонятно что?

Потому что это не сила упругости.

[Mopnex]

(Оффтоп)

EUgeneUS в сообщении #1307158 писал(а):

"МГТУ им. Н.Э. Баумана"

Оттуда и выпускников полно такого уровня.

[Walker_XXI]

inzhenerbezmozgov в сообщении #1307157 писал(а):

Сила упругости $F=kdx$, почему непонятно что?

Если уж на то пошло, то в з-не Гука стоит $\Delta x $ - это конечная величина (удлинение пружины), а $dx$ - "величина" бесконечно малая.

[Astroid]

Раз уж тут возникла проблема с пониманием бесконечно малых: не рекомендую допускать вольностей при операциях с ними. Если у вас сила упругости вызывает бесконечно малое приращение удлиннения, то и сила, вызывающая столь малое удлинение, должна быть того же порядка малости.

[fred1996]

Путаница возникает из-за того, что в уравнении гармонических колебаний возвратная сила пропорциональна смещению, но смещение не обязано быть малым.
Другое дело, что многие колебания лишь приблизительно гармоничны и становятся гармоничными, когда смещения малы и мы можем воспользоваться линеаризацией процесса. Например при колебаниях маятника (физического или математического). Но при этом эти смещения вовсе не являются дифференциалами, хоть и малы.
В дифференциальной форме уравнение гармонических колебаний груза на пружинке могло бы выглядеть так: $mdv=-kxdt$
Но толку от такой записи немного. Хотя, видно, что смещение не является дифференциалом.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1315225 писал(а):

$mdv=-kxdt$

Угу. $md^2x=-kxdt^2$. Не до конца понимаю математический смысл подобной записи с разрезанной на части второй производной.