Колмогоров, Киселев, Вербицкий ...

[kp9r4d]

g______d
Инвариантный способ, конечно, есть, но я говорил даже не о том.
Допустим мы побили отрезок $[-N..N]$ на отрезки длиной не более $\varepsilon$ выбрали в каждом таком отрезке по точке и приблизили функцию $f$ очевидным образом. Так вот, несобственный интеграл выглядит как $\lim_{N \to \infty}\lim_{\varepsilon \to 0}$, а собственный интеграл как $\lim_{N \to \infty, \varepsilon \to 0}$. И в этом их основное отличие: разница тут такая же, как между повторным пределом, который непонятно вообще что и двойным пределом, который имеет ясный смысл; а то, что структурно обе конструкции являются пределом некоторых кусочно-константных приближений (по крайней мере их так традиционно рассказывают) это конечно же да.

Про приложения и прочее: я не говорил, что в угоду концепций нужно от чего-то отказываться. Конечно, мне очень нравится фантазм Гротендика, в котором любое доказательство должно проводиться шевелением мизинца где-то в небесах, и проблема, как карточный домик, путём этого шевеления должна рассыпаться сама, вплоть до самого грубого, телесно-грешного уровня. Я понимаю, что на сегодняшний момент очень часто приходится "копаться в мясе", что называется. Я просто за то, чтобы говорить, что, типа: "интеграл Лебега" - это, значит, концепт, а "интеграл несобственный, в смысле ГЗ, Хэнстока-Курцвейля, в смысле Рамануджана" - это ad hoc.

[ewert]

Red_Herring в сообщении #1198077 писал(а):

Теперь мы расширяем понятие меры: прежде всего внешняя мера $X$ это инфимум мер всех измеримых множеств его содержащих, а внутренняя мера $X$ это супремум мер всех измеримых множеств в нем содержащихся.

Теперь, если эти меры совпадают, мы называем $X$ измеримым, ну и приписываем соответствующую меру.

Интересно, как можно определять измеримость множеств через их измеримость?...

[Red_Herring]

ewert в сообщении #1199110 писал(а):

Интересно, как можно определять измеримость множеств через их измеримость?...

Ключевое слово: расширяем. У нас были "старые" измеримые множества (в данном случае, по Борелю) и через них мы определили "новые" (в данном случае, по Лебегу)

[ewert]

Red_Herring в сообщении #1199116 писал(а):

У нас были "старые" измеримые множества (в данном случае, по Борелю)

Они были измеримы не в этом смысле. Мера Бореля -- это уже потом, как сужение меры Лебега.

[Red_Herring]

ewert в сообщении #1199123 писал(а):

Они были измеримы не в этом смысле. Мера Бореля -- это уже потом, как сужение меры Лебега.

Исторически да. Но логически можно начать с меры Бореля.

[Anton_Peplov]

И начинают. Вот Колмогоров с Фоминым, например.

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1199183 писал(а):

И начинают. Вот Колмогоров с Фоминым, например.

Не-а. Колмогоров-Фомин излагают вполне классически, определяя внешнюю меру Лебега через счётно-прямоугольные области.

А внутренней меры Лебега у них и вовсе нет. Во всяком случае, при построении просто меры. А если б им захотелось ввести, то определили бы они её, разумеется, вовсе не как

Red_Herring в сообщении #1198077 писал(а):

внутренняя мера $X$ это супремум мер всех измеримых множеств в нем содержащихся

(Собственно, именно этот момент в том сообщении меня больше всего и обидел; путаница с измеримостями -- это уже так, семечки; естественно, я смутно догадывался, что имелось в виду, но смутно, потому и задал вопрос в провокационной форме.)

А меры Бореля там вроде и вовсе нет. Борелевская сигма-алгебра -- естественно, есть; измеримость по Борелю функций -- тоже естественно; а мера -- ну зачем она им?...

[Red_Herring]

Подождите. Я никогда не утверждал, что то, как я описывал с целью приблизиться к античности, единственный, или хотя бы наилучший подход. Первый и последний раз я читал студентам ТМ 23 года назад, строго по КФ. И никогда не пробовал, как я описал.

Итак, следуя КФ рассмотрим счетно-прямоугольные области. Прямоугольники разрешим с кусками границы. Правда, потребуем их параллельности осям. Тем самым получим любые открытые. Т.е. любые открытые стали измеримыми на этом этапе. Ну и для любого множества, введем внешнюю меру.

Их (открытых) дополнения до большого прямоугольника тоже стали измеримыми, поскольку их мера это разность мер (для простоты ограничимся подмножествами большого прямоугольника). Т.е. замкнутые множества уже измеримы на этом этапе. В некоторых учебниках вводится внутренняя мера--через меру дополнения (до большого прямоугольника). Но теперь внутреннюю можно ввести уже без ссылок на внешнюю (мы уже раз использовали дополнения).

[ewert]

Red_Herring в сообщении #1199269 писал(а):

Т.е. любые открытые стали измеримыми на этом этапе.

Не-а. Не стали. Поскольку понятия измеримости пока что тупо ещё нет.

Red_Herring в сообщении #1199269 писал(а):

Ну и для любого множества, введем внешнюю меру.

Это-то мы можем, да.

Red_Herring в сообщении #1199269 писал(а):

Их (открытых) дополнения до большого прямоугольника тоже стали измеримыми, поскольку их мера это разность мер

Нет, не стали, поскольку тупо нет меры.

Red_Herring в сообщении #1199269 писал(а):

В некоторых учебниках вводится внутренняя мера--через меру дополнения

Да. Вводится. И вот тут-то и принципиальное отличие (второе, вдобавок к счётности прямоугольностей) Лебега от Жордана. Некоторые т.т. (те же КФ) маскируют этот момент, говоря о разностях множеств вместо дополнений. Однако суть схемы от этого не меняется.

Ну что Вы хотите. Не бывает чудес.

[Red_Herring]

ewert в сообщении #1199273 писал(а):

Поскольку понятия измеримости пока что тупо ещё нет.

На каждом этапе у нас есть понятие измеримости. Ну скажем измеримые нулевого дана (прямоугольные), второго дана (счетно-прямоугольные), и т.д. Безусловно, мера определяемая на каждом этапе ещё не является счётно-аддитивной.

[ewert]

Red_Herring в сообщении #1199280 писал(а):

На каждом этапе у нас есть понятие измеримости.

Нет.

Мера -- это аддитивная (или счётно-аддитивная) функция множества, определённая на некотором семействе множеств. Для которого это определение является корректным. И точка.

Любая попытка размягчить это определение приведёт лишь к размягчению же мозгов.

[Red_Herring]

Хорошо, пусть будет квазимера.

[ewert]

Да выдумать-то можно какую угодно фразеологию. А вот придать ей точный математический смысл -- мало того, что надо постараться, так и ещё не факт, что выйдет полезно.

[pogulyat_vyshel]

Цитата:

Мне не кажется, что все области математики одинаково ценные; я уверен, что самоценности математика сама по себе не имеет.

Возникают два вопроса; кто такой "я"? и в какой системе ценностей производятся измерения?
Первый вопрос не менее важен, поскольку рассуждения о математике в целом звучат серьезно только из уст математика уровня таланта и разностороннести Колмогорова.

Цитата:

Иначе математика оказывается своего рода сложной интеллектуальной игрой, и мы оказываемся в области, обозначенной Германом Гессе ("Игра в бисер"), где никаких критериев нет вообще - кроме оценки профессионального сообщества.

Автору еще хорошо бы понимать, что оценки профессионального сообщества формируются не произвольно, а под действием весьма большого количества разнонаправленных объективных факторов, в том числе и запросов приложений.

Цитата:

А профессиональное сообщество, что и скрывать, одновременно и коррумпировано, и разобщено. Профессиональное сообщество математиков не имеет единого критерия, а если бы и имело его, это было бы только хуже, наверное, потому что он был бы основан на невнятных властных играх по принципу ты почеши мне, а я почешу тебе, а ля академия наук.

Ну поехали....

Цитата:

Тем не менее, какие-то области математики претерпевают вполне очевидный расцвет. Ю.И.Манин заметил в конце 1980-х, что 1960-е было 10-летием расцвета для алгебраической топологии, 1970-е - для алгебраической геометрии, 1980-е - для математической физики.
В этом смысле, 1980-е длятся до сих пор. Математические идеи, связанные с 1990-ми (зеркальная гипотеза, инварианты Громова-Уиттена, инварианты Зайберга-Уиттена, квантовые когомологии) все происходят из струнной геометрии.

Вот что значит смотреть со своей колокольни: успехи в функциональном анализе, открытие обобщенных функций Шварцем и Соболевым, повлекшее огромный прогресс в УРЧП, прогресс в теории динамических систем не упоминаются вообще.

Цитата:

Я думаю, что это не случайно. Математика утеряла общие критерии, потеряв общий контекст; в настоящий момент, гораздо меньше людей понимают, что происходит в науке в целом, чем 20 лет назад, и еще меньше, чем 40 лет назад. В условиях потери абстрактных критериев, единственно эффективным критерием становится утилитарный. Математика лишь постольку интересна, поскольку она связана со струнной теорией; это базовое предположение, которое я не хочу сейчас обсуждать.

Суждение с позиций научных интересов и кругозора автора.

Цитата:

Релевантность для физики это единственный критерий, который у нас остался; а почти вся математика, относящаяся к физике, относится к струнной геометрии. Этот тезис хорошо подтверждается наблюдением, приведенным выше: (почти) все интересные идеи последних 20 лет связаны с физикой струн.

И притязания статьи сильно не соответствуют широте этого кругозора

Цитата:

Желающие следить за математикой (в том смысле, в котором это слово понимается выше) приглашаются на сервер http://arxiv.org, где почти все интересные работы по математикe выкладываются сразу после их написания.

хорошее предложение

Цитата:

Выше приведенная математическая программа нужна именно для этого. Конечно, не все работы в http://arxiv.org будут немедленно понятны, даже и студенту, сдавшему все экзамены; но объяснить ему, в чем дело, можно будет за полчаса.

что-то мне подсказывает, что на указанном ресурсе хватает статей, которые за полчаса нельзя будет объяснить и автору сего опуса

Цитата:

Можно, конечно, заниматься математикой и не понимая общего контекста, в котором она существует; но подобные занятия, на мой взгляд, еще больше разрушают общий контекст, тем самым усугубляя размывание критериев, невежество и коррупцию, которые и без того доминируют.

не очень понятно о каком невежестве и коррупции идет речь в данном контексте

Цитата:

Неграмотные занятия профессиональной математикой приносят больше вреда, чем пользы

;
звучит хорошо, только непонятно, что именно имеется в виду

Цитата:

всех статей все равно никто не прочтет, а большинство статей вообще никто не читает. Написание еще одной бессмысленной статьи затрудняет доступ к статьям осмысленным; в этом смысле, математика 20-30 лет назад была гораздо более внятной и осмысленной наукой, чем сейчас. Наступит такой момент, когда "прогресс" в математике просто остановится, и каждая новая статья будет повторять результаты, уже доказанные кем-то в одной из непрочтенных и забытых статей. Во многих областях науки, такая ситуация имеет место уже сейчас.

эту мысль автор заимствовал у Владимира Арнольда, тут все утрировано и заострено, но, да, проблема есть

Цитата:

Математическое образование в России

Математического образования в России нет.

Я уже 6 лет читаю учебные курсы и лекции в Независимом Университете; общая польза, принесенная этими курсами кому бы то ни было, практически нулевая; по крайней мере студентам-математикам пользы не было никакой. Я буду заниматься этим и дальше, но занятие это очевидно бессмысленное.

Мои скромные педагогические способности тут не при чем; будь я даже и Оскаром Зариски напополам с профессором Яу, у меня ничего не вышло бы. За эти 6 лет я не видел в Москве ни одного студента, который доучился бы до состояния, позволяющего вести научную работу

а я вот видел и многих

Цитата:

(я видел довольно много хороших молодых ученых - Стефан Немировский, например - но учились они где-то в другом месте; я не знаю где, но точно не у нас). Единственная функция Независимого Университета - поставлять кадры для американских аспирантур; но и с ней он справляется, в последнее время, крайне плохо, поскольку интеллектуальный фонд истощился до полного опустошения и кердыка.

да, да, связь с кулаком, разбазаривание семенного фонда. При чем тут это все? Мы вроде говорили о математике в целом. Матеатика в целом это штука по существу своему глобальная. При чем тут российские проблемы?

Цитата:

Исторически, в России имели место две параллельные образовательные системы; одна из них - университетская - за 5 лет худо-бедно давала знания, которые следует иметь студенту первого года обучения; она дополняла этот материал абсолютно бессмысленным концептуальным и вычислительным баластом и просто откровенным бредом (учебник Камынина помните?) Даже те знания, которые давались университетской программой, давались ей в виде мало-осмысленных вычислительных рецептов, и в результате понимание студентом сути вещей только затруднялось. Университетская программа выпускала не математика, а калеку, который математикой не мог заниматься уже никогда; если кто-то в результате и становился математиком, то только вопреки тому, чему его учили, а не благодаря этому.

Вторая программа была альтернативой, созданной Гельфандом, Маниным и иже с ними вокруг матшкол, Керосинки и семинаров Гельфанда и Манина; студент, попавший в эту структуру, к 3-4 курсу усваивал материал, соответствующий второму-третьему обучения математике (в смысле выше приводимой программы). Потом он оказывался в состоянии, которое Гельфанд охарактеризовал как бег за трамваем в попытках вскочить на его подножку; ни владения текущей литературой, ни возможности в ней ориентироваться программа Гельфанда и Манина не давала (да и библиотек, доступных студенту Керосинки, не было). Курсов, соответствовавших текущему состоянию науки, на мех-мате не читалось, кроме Манина, который избирал одну определенную область и год-два ею занимался; выпуская каждый раз 3-5 студентов, которые с тех пор и до самой смерти занимаются именно этим.

Гельфанд учил, что, чтобы таки допрыгнуть до трамвая, надо ходить на семинары, заведомо непонятные, и самостоятельно пытаться разобраться в том, что там происходит. Именно таким образом люди (кому повезет) осваивали материалы года обучения с третьего по пятый мною обозначенной программы (материал пятого года, конечно, тогда не весь существовал; вместо него были модули Верма и ББГ-резольвента, сейчас, видимо, неактуальные).

В последние 10 лет ситуация отчасти параллельна мною описанной. Имеются две конкурирующие программы: университетская (которая с 1980-х не изменилась, а только сократилась немного - скажем, спектральные последовательности в ней были, а сейчас их нет), и альтернативная, которой занимаются в Независимом Университете и в ИТЭФе.

Такое ощущение, что автор весьма молодой человек с сильно промытым мозгом.

Цитата:

Но есть существенная разница - люди, которые понимают о чем идет речь в математической литературе (типа, в http://arxiv.org) в основном уехали; в результате, охват альтернативной системы сократился с середины третьего года обучения по Гельфанду и Манину до середины второго. При этом никаких ориентиров в плане дальнейшего самообразования студент не получает. Колоссальный барьер между обучением на студенческих семинарах и чтением научной литературы, который требовалось преодолевать самообразованием, увеличился с 2 лет до 4 и стал непреодолим. Вместо пропасти, второй край которой отчасти просматривается, мы имеем черную дыру, которая поглощает каждого, кто к ней приблизится.

У нас нет учебных заведений, где мою программу обучения можно было бы использовать; но смысл в ней тем не менее есть. Смысл ее - в установлении приоритетов и ориентиров. Конечно, нет у нас студентов, которые в школе учат теорию Галуа и гомотопическую топологию, а на втором курсе постигли классифицирующие пространства и характеристические классы. Не то чтобы их не может быть в принципе - во времена семинаров Гельфанда и Манина такие студенты были - но факт состоит в том, что сейчас их нет; и не будет никогда, если интеллектуальный климат останется таким, как сейчас, и если мы не приложим усилий к его изменению. Программа, мною выше приведенная - есть не данность, а идеал, к которому необходимо стремиться.

Студенту, если он хочет чему-нибудь выучиться, полезно время от времени поглядывать на описанный куррикулум; и сообразовать свое обучение с этой программой. Иначе кердык.
Список полезных книжек по математике

ну-с посмотрим

Цитата:

Первый курс
Анализ" Лорана Шварца, "Анализ" Зорича,

студент первого курса Шварца не потянет категорически. Зорич в этом списке выглядит странно: в Независимом Университете и в ИТЭФе он вроде не числится

Цитата:

"Задачи и теоремы из функ. анализа" Кириллова-Гвишиани

+1

Цитата:

Дифференциальная топология (Милнор-Уоллес),
Комплексный анализ (Анри Картан), Комплексный анализ (Шабат)
Второй курс
Группы и алгебры Ли (Серр)
Алгебраическая топология (Фукс-Фоменко),
"Векторные расслоения и их применения" (Мищенко)
"Характеристические Классы" (Милнор и Сташеф)
"Теория Морса" (Милнор),
"Эйнштейновы Многообразия" (Артур Бессе),
Коммутативная алгебра (Атья-Макдональд),
Введение в алгебраическую геометрию (Мамфорд)
Алгебраическая геометрия (Гриффитс и Харрис),
Алгебраическая геометрия (Хартсхорн)
Алгебраическая геометрия (Шафаревич)
Алгебраическая теория чисел (ред. Касселс и Фрелих)
Теория чисел (Боревич-Шафаревич)
Когомологии Галуа (Серр)
"Инварианты классических групп" (Герман Вейль)
Третий курс
Бесконечнократные пространства петель (Адамс)
К-теория (Атья)
Алгебраическая топология (Свитцер)
Анализ (Р. Уэллс)
Формула индекса (Атья-Ботт-Патоди, сборник Математика)
Гомологическая Алгебра (Гельфанд-Манин)
Когомологии групп (Браун, что ли)
Когомологии бесконечномерных алгебр Ли (Гельфанд-Фукс)
Кэлеровы многообразия (Андрэ Вейль)
Квазиконформные отображения (Альфорс)
Четвертый курс
Геометрическая топология (Сулливан)
Этальные когомологии (Милн)
Алгебраическая геометрия - обзор Данилова (Алгебраическая Геометрия 2, ВИНИТИ)
Группы Шевалле (Стейнберг)
Алгебраическая К-теория (Милнор)
Обзор Суслина по алгебраической К-теории из 25-го тома ВИНИТИ
Многомерный комплексный анализ (Гото-Гроссханс)
То же по книжке Демайи (перевод готовится)
Пятый курс
Громов "Гиперболические группы"
Громов "Знак и геометрический смысл кривизны"

список хороший, но тут совершенно очевидный уклон в сторону, видимо, научных интересов автора, за прределами которых автор просто слеп, к сожалению

[Red_Herring]

Кто же аффтор? Гугла в помощь и ответ .... ответ, как и ожидалось, вполне ожидаемый.