Математический ментор для девятиклассника.

[jmar4]

vpb в сообщении #1305994 писал(а):

jmar4 в сообщении #1305984 писал(а):

Sbfd/Safd=2 (назову это свойство (1) (доказывается через свойство того самого треугольника со случайной чевианой, у него площади относятся, как основания))

Это место непонятно.

Хорошо. Возьмем случайный треугольник ABC, проведем 3 чевианы - AD (не имеет значения, как мы назовем 2 оставшиеся), обозначу их точку пересечения через O и последнее для удобства записи обозначу BD/CD=m/n.
Затем рассмотрим Sabd и Sadc, они относятся как m/n, затем рассмотрим Sbdo и Sodc они также относятся, как m/n, тогда по правилам пропорции получим два линейных уравнения. (1) n*Sabd=m*Sadc и (2) n*Sbdo=m*Sodc, также известно, что (3) Saoc=Sadc-Sdoc и (4) Sboa=Sabd-Sbdo. Теперь (1)-(2) и выносим n и m за скобки, теперь просто делаем замену того, что осталось в скобках на (3) и (4), получаем равенство, которое было необходимо доказать

[vpb]

Да, теперь понятно. Однако очень уж сложно.

Есть более простое решение (в варианте, когда таки $AE=2EB$, а не $AE=EB/2$, как у Вас).
Опустим перпендикуляр $FH$ на $AD$. Пусть $FH=h$ и $AH=l$. Из подобных треугольников $ACD$ и $AFH$ находим $FH/AH=CD/AD=1/2$, т.е. $h=l/2$. Совершенно аналогично из $ADE$ и $HDF$ находим $FH/DH=EA/DA=1/3$, откуда
$h=FH=(1/3)DH=(1/3)(2-l)$. Получается $l/2=(2-l)/3$, откуда легко находим $l$, потом $h$, и дело в шляпе. Если же считаем $EB=2AE$, решение аналогично.

Если же использовать координаты, то вообще всё тривиально. Тридцать лет назад в 7-м классе учились, как найти точку пересечения двух прямых, по уравнениям, и найти уравнение прямой, проходящей через две точки. А лет 35 назад это вообще было, кажись, в 6-м классе (такие дела...).

[grizzly]

vpb в сообщении #1306009 писал(а):

Однако очень уж сложно.

Не вижу в этом никакой проблемы. Видя излишне сложное решение средней задачи, можно легко сделать какие-то выводы, так же легко -- противоположные, но лучше не делать ни тех, ни других.

[jmar4]

Да, только хотел написать про аналитический метод, нужна только одна координата F, а потом просто по псевдоскалярному произведению ищем определитель матрицы.

[vpb]

А можете привести все-таки пару задач, с решениями, потруднее, которые Вы за последние несколько дней решили? С точки зрения любопытства, для полноты картины ? (Сам я, впрочем, в школьной планиметрии не силен...)

jmar4 в сообщении #1304550 писал(а):

К примеру берется лемма о трезубце и доказывается, а затем берутся ее следствия и тоже доказываются.

То есть Вы лемму о трезубце самостоятельно доказали? Однако!

jmar4 в сообщении #1304550 писал(а):

Я решаю планиметрию через день, но за 2 дня решил точно 10.

Вы, стало быть, трудитесь по определенному расписанию? А как оно примерно выглядит, если не секрет?

[provincialka]

(запоздалое решение)

Конечно, задачка о площади уже решена... но из любви к аффинным задачам все-таки помещу сюда решение. Зря, что ли, рисовала

Вложение:

9 класс.png [ 4.88 Кб | Просмотров: 2172 ]

[jmar4]

vpb в сообщении #1306086 писал(а):

А можете привести все-таки пару задач, с решениями, потруднее, которые Вы за последние несколько дней решили? С точки зрения любопытства, для полноты картины ? (Сам я, впрочем, в школьной планиметрии не силен...)

jmar4 в сообщении #1304550 писал(а):

К примеру берется лемма о трезубце и доказывается, а затем берутся ее следствия и тоже доказываются.

То есть Вы лемму о трезубце самостоятельно доказали? Однако!

jmar4 в сообщении #1304550 писал(а):

Я решаю планиметрию через день, но за 2 дня решил точно 10.

Вы, стало быть, трудитесь по определенному расписанию? А как оно примерно выглядит, если не секрет?

Сегодня был на олимпиаде (командной), взял на себя всю планиметрии (3 задачи). Первая была такая, в треугольнике медианы равны 1,2,4 соответственно, найдите стороны треугольника (решил векторно, доказал, что такой треугольник не существует), даны три окружности, которые попарно пересекаются, необходимо было найти отрезки секущих по уже заданным (решил через радикальный центр и степень точки), последняя была спорной, даны k векторов в пространстве (в этом и противоречие, я решил для n мерного, а нужно было для 3х мерного, из-за чего я время потерял) и известно, что длина любого вектора >= длине вектора состоящего из суммы всех остальных векторов, доказать, что тогда сумма всех веторов это 0 вектор.

Правда олимпиаду мы всей равно проиграли, попали сразу против самой сильной команды в городе, решили столько же задач, но по стратегии проиграли (регламент матбоёв)

Расписание на этой неделе я не соблюдал, тк ботал физику для поступления в СУНЦ. Но недавно специально для этого я залил его на свой сайт Jmar4.github.io , самый первый пост в разделе life, перемены... Называется

[Munin]

jmar4 в сообщении #1306201 писал(а):

последняя была спорной, даны k векторов в пространстве (в этом и противоречие, я решил для n мерного, а нужно было для 3х мерного, из-за чего я время потерял) и известно, что длина любого вектора >= длине вектора состоящего из суммы всех остальных векторов, доказать, что тогда сумма всех веторов это 0 вектор.

Она, кстати, верна для $n$-мерного пространства, но только для $k>2.$

[vpb]

jmar4
Занятно, что Вы у себя в городе участвовали в командной олимпиаде. Значит, какой-то круг общения у Вас там все-таки есть. Это хорошо.

Я, однако, совершенно не понял условие второй задачи, про окружности. Пожалуйста, напишите подробнее.

(Кстати, тут на форуме требуется математические формулы оформлять ТеХом. Вам может модератор по этому поводу сделать замечание. Изучить основы ТеХа недолго, в разделе "Работа форума" есть указания.)

Пожалуйста, приведите формулировки и решения тех задач, что Вы решали на олимпиаде, коли уж Вы про них писали. При этом старайтесь излагать всё аккуратно и достаточно подробно. Видите ли, Вы не первый молодой человек, который
обращается на форум в поисках наставника. Опыт показывает, что в таких случаях молодые люди часто переоценивают свои способности, знания и умения, так что доверять на слово тому, что они пишут о своих знаниях и т.д., нельзя. Приходится проверять. (Даже если планиметрией с вами будет заниматься кто-то другой (ибо я в планиметрии не силен), такая информация пригодится).

(Отмечу, что те две задачи с олимпиады (1-я и 3-я) достаточно просты, и в смысле оценки Ваших умений могут быть недостаточно представительны. Тем не менее Вы их напишите).

Собственно, по моим понятиям, особо заниматься-то с Вами планиметрией, наверное, и не нужно, а надо просто оценить
примерно, какая книга Вам сейчас подойдет, а заниматься по ней вы сами будете, если будете.

-- 22.04.2018, 13:33 --

provincialka
Товарищ когда решал, перепутал, и фактически решал с условием $EB=2EA$, а не $EA=2EB$, поэтому у него получилось $11/12$, а не $11/15$, как на самом деле должно быть. Это так, если что.

[Munin]

Тем не менее, решение provincialka легко адаптируется под этот случай:

$S_1=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{4}S_{ABC}=\dfrac{1}{12},$

что совпадает с приведённым jmar4 ответом.

И вообще, если $AE=\tfrac{m}{n}AB,$ то

$S_1=\dfrac{m}{n}\cdot\dfrac{m}{m+n}S_{ABC}=\dfrac{m^2}{mn+n^2}.$

[jmar4]

vpb в сообщении #1306365 писал(а):

jmar4
Занятно, что Вы у себя в городе участвовали в командной олимпиаде. Значит, какой-то круг общения у Вас там все-таки есть. Это хорошо.

Я, однако, совершенно не понял условие второй задачи, про окружности. Пожалуйста, напишите подробнее.

(Кстати, тут на форуме требуется математические формулы оформлять ТеХом. Вам может модератор по этому поводу сделать замечание. Изучить основы ТеХа недолго, в разделе "Работа форума" есть указания.)

Пожалуйста, приведите формулировки и решения тех задач, что Вы решали на олимпиаде, коли уж Вы про них писали. При этом старайтесь излагать всё аккуратно и достаточно подробно. Видите ли, Вы не первый молодой человек, который
обращается на форум в поисках наставника. Опыт показывает, что в таких случаях молодые люди часто переоценивают свои способности, знания и умения, так что доверять на слово тому, что они пишут о своих знаниях и т.д., нельзя. Приходится проверять. (Даже если планиметрией с вами будет заниматься кто-то другой (ибо я в планиметрии не силен), такая информация пригодится).

(Отмечу, что те две задачи с олимпиады (1-я и 3-я) достаточно просты, и в смысле оценки Ваших умений могут быть недостаточно представительны. Тем не менее Вы их напишите).

Собственно, по моим понятиям, особо заниматься-то с Вами планиметрией, наверное, и не нужно, а надо просто оценить
примерно, какая книга Вам сейчас подойдет, а заниматься по ней вы сами будете, если будете.

-- 22.04.2018, 13:33 --

provincialka
Товарищ когда решал, перепутал, и фактически решал с условием $EB=2EA$, а не $EA=2EB$, поэтому у него получилось $11/12$, а не $11/15$, как на самом деле должно быть. Это так, если что.

В городе это некая математическая традиция. Но история и вправду интересная, команду собирал один из преподавателй кружка,
наша команда считается слабой, тк туда берут тех, кого не взяли в команды от школ. Но при этом мы очень достойно выступили против лучшей группы, хотя видели друг-друга впервые, неповезло, что преподаватель пригласил экономиста и слабого математика. 2 задача не имеет интереса, тк она просто вычислительная грубо говоря. Могу привести пример задачи, которую сегодня решал на вступительных в СУНЦ (математику написал прекрасно, но не физику, так что надо ждать результатов): Дана трапеция, известно, что расстояние от середины первой боковой до прямой содержащую вторую равно 8, вторая боковая равна 5, найти площадь трапеции. Она достаточно простая, но я люблю задачи с дополнительными построениями, даже если они очевидны. Мне кажется кроме задачника Прасолова книг по планиметрии просто нет, если существует задача, то она обязательно есть в этой толстой синей книжке.

Раз вы попросили приведу решения 1 и 3 задачи (2 совсем уж очевидная). В первой я доказал, что из медиан треугольника всегда можно составить треугольник. (Доказывается через вектора. Вектора лежащие на сторонах исходного треугольника обозначаем какими-то буквами, просто выражаем вектора медиан и склавдываем все 3 равенства, получаем 0 вектор => они образуют замкнутую ломаную из 3 звеньев), 3(для n-мерного пространства)

(Оффтоп)

[Munin]

Идея верная, но можно даже не вводить базиса.

[jmar4]

Munin в сообщении #1306519 писал(а):

Идея верная, но можно даже не вводить базиса.

Мне также сказал из членов моей команды (11-классник), но мне кажется так более верно. Его можно сократить на любой стадии. Но я посчитал, что лучше так не делать, когда не знаешь всех тонкостей (в моем случае).

На следующих выходных поеду в Москву и как обычно первым делом в магазин МЦНМО. Начал смотреть курс лекций (в свободное время) по теории групп, многочленов А.В.Спивака, там в списке рекомендованной литературы указаны Алексеев "Теорема Абеля в задачах и решениях", Ван дер Варден "Алгебра" думаю их прикупить, а также вышло переиздание известной книги по топологии (автора забыл к сожалению), последняя в списке будет Комбинаторная топология, тк меня заинтересовала лемма Шпернера. И вот обращаюсь к вам, что еще вы могли бы посоветовать, может какая-то мастхев книга для перехода из школьной в ВУЗовскую программу. Забыл упомянуть, что как обычно наберу кучу брошюр (думаю их все видели, такие маленькие-тоненькие беленькие).

[Munin]

jmar4 в сообщении #1306535 писал(а):

Но я посчитал, что лучше так не делать, когда не знаешь всех тонкостей (в моем случае).

Согласен. "Без базиса" становится выгодней и надёжней, когда вы опытнее. Если чувствуете неуверенность - лучше не рисковать.

Рекомендую освоить электронные книги. Для вас это означает читать не единицы, а десятки книг.

[jmar4]

Munin в сообщении #1306540 писал(а):

Рекомендую освоить электронные книги. Для вас это означает читать не единицы, а десятки книг.

Абсолютно солидарен в этом плане. Но если есть возможность, то почему бы не купить в бумаге. Она ведь удобнее объективно, можно записать что-то на полях и тд. Хотя, конечно, я читаю и в электронном виде множество статей.