2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Совместное распределение двух С.В.
Сообщение30.03.2018, 13:15 


22/05/16
143
Случайные величины $X$ и $Y$ независимы и имеют равномерное распределение на отрезке $[0,2]$. Найти $F_Z$? Если $Z=X+Y$. Решение $f_X=0.5,x \in [0,2], f_Y=0.5,y \in [0,2]$. Можно написать $F_Z(z)=P(X+Y<z)$ отсюда следует, если $z<0, F_Z = 0$,если $z \geqslant 4, F_Z = 1$. Существует формула свертки, тогда $F_Z(z)=\int\limits_{-\infty}^{z}f_X(x)f_Y(z-x)dx$. Я вот дальше не могу понять как делать? Плотности не нулевые если $0<x<2$ и $0<z - x<2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух С.В.
Сообщение30.03.2018, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2520
Физтех
dima_1985 в сообщении #1300521 писал(а):
Существует формула свертки, тогда $F_Z(z)=\int\limits_{-\infty}^{z}f_X(x)f_Y(z-x)dx$.
Что-то тут не так. Запишите формулу свертки для начала и найдите плотность суммы $X+Y$. Процесс вычисления несколько трудоемок, потому что потребуется рассмотреть несколько случаев для переменной $z$. Когда вычислите плотность, интегрируйте ее, чтобы найти функцию распределения.

А вообще решение этой задачи гораздо удобнее получать из других соображений. Случайный вектор $(X,Y)$ имеет равномерное распределение на квадрате $[0,2]^2$. Подумайте, что такое функция распределения суммы $X+Y$ в геометрических терминах. Как поймете, вы сможете сразу выписать $F_Z(z)$, без вычисления плотности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух С.В.
Сообщение18.05.2018, 14:31 


22/05/16
143
Да, функция свертки имеет след вид $f_Z(z)=\int\limits_{a}^{b}f_X(x)f_Y(z-x)dx=\int\limits_{0}^{2}\frac{1}{2}f_Y(z-x)dx$. Если $z>4$ или $z<0$, то $f_Z=0$ так как выражение $z-x$ не будет принадлежать интервалу $[0,2]$. Найдем при каких $z, z-x$ будет попадать в интервал $0<z-x< 2$. Решим неравенство относительно $x$, получим $z>x>z-2$. Рассмотрим $z>x$ получим что $z$ верхняя граница, $0$ нижняя $\int\limits_{0}^{z}\frac{1}{2}\frac{1}{2}dx$ при $0<z<2$. Рассмотрим $x>z-2$ нижняя граница $z-2$, верхняя $2$ $\int\limits_{z-2}^{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}dx$ при $2<z<4$. Собираем все в кучу и получим
$f_Z(z)=\begin{cases}
\int\limits_{0}^{z}\frac{1}{4}dx,&\text{если $0<z<2$;}\\
\int\limits_{z-2}^{2}\frac{1}{4}dx,&\text{если $2<z<4$;}\\
0,&\text{если $z\notin [0,4]$.}
\end{cases}$.
Потом получим $F_Z$. Если $z<0, F_Z=0$. Если $0<z<2$ то $F_Z=0+\int\limits_{0}^{z}\frac{x}{4}dx=\frac{z^2}{8}$. Если $0<z<4$ то $F_Z=0+\int\limits_{0}^{2}\frac{x}{4}dx + \int\limits_{2}^{z}1-\frac{x}{4}dx=\frac{8z-z^2}{8}-1$. Если $z>4$ то $F_z=1$

Второй подход геометрический. $F_Z(z)=P(x+y<z)$. Я рассуждал примерно так. Возьмем конкретное $z=2$ тогда вероятность можно записать так $P(X<1,Y<1)$ получим прямоугольный треугольник с площадью $S=\frac{1}{2}xy$ разделим на площадь квадрата и получим $F_Z=\frac{1}{2}\frac{(z-x)x}{4}$.Что-то не совсем то получается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух С.В.
Сообщение18.05.2018, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2520
Физтех
dima_1985 в сообщении #1313189 писал(а):
Второй подход геометрический. $F_Z(z)=P(x+y<z)$. Я рассуждал примерно так. Возьмем конкретное $z=2$ тогда вероятность можно записать так $P(X<1,Y<1)$ получим прямоугольный треугольник с площадью $S=\frac{1}{2}xy$ разделим на площадь квадрата и получим $F_Z=\frac{1}{2}\frac{(z-x)x}{4}$.Что-то не совсем то получается?
Ну здесь полная чепуха. Если вы фиксируете $z=2$, то почему в ответе какой-то $z$? И почему в ответе какой-то $x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух С.В.
Сообщение18.05.2018, 18:57 


22/05/16
143
ShMaxG в сообщении #1313193 писал(а):
Ну здесь полная чепуха

Да там ерунду написал. Если положить $z=2$ будет прямоугольный треугольник образованный осями координат и $y=2-x$. Вроде порисовал и разобрался 1) Если $0<z<2$ то площадь нижнего треугольника равна $\frac{\frac{1}{2}z^2}{4}$. 2) Если $2<z<4$ то получается площадь $5$ угольника её можно получить вычесть из квадрата верхний треугольник $1-\frac{\frac{1}{2}(4-z)^2}{4}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух С.В.
Сообщение18.05.2018, 23:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2520
Физтех
dima_1985
Все верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух С.В.
Сообщение19.05.2018, 19:30 


22/05/16
143
Решил попробовать с другими распределениями. След задача.Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, имеющие одинаковое показательное с параметром $\alpha$ распределение. Найти функции распределения и плотности распределения следующих случайных величин:$\xi^3,\xi-\eta,\max(\xi,\eta^3),\min(\xi,\eta^3),3+2\xi,|\xi-\eta|$. С первым все гладко прошло. Во втором не сходиться с ответом. Решение:
$f_\xi(x_1)=
\begin{cases}
\alpha e^{-\alpha x_1},&\text{если $x_1>0$;}\\
0,&\text{если $x_1<0$.}
\end{cases}
$

$f_\eta(x_2)=
\begin{cases}
\alpha e^{-\alpha x_2},&\text{если $x_2>0$;}\\
0,&\text{если $x_2<0$.}
\end{cases}
$.

Дальше опять пользуюсь формулой свертки $f_Z(z)=\int\limits_{0}^{\infty}\alpha e^{-\alpha x}
\alpha e^{-\alpha(z+ x)}dx=\alpha^2\int\limits_{0}^{\infty} e^{-\alpha (2x+z)}dx
$. В данном случаи $2x+z>0$( так как аргумент для плотности вероятности должен быть больше нуля для показательного распределения). Если $z>0$ то $2x+z$ всегда больше нуля $f_Z(z)=\alpha^2\int\limits_{0}^{\infty} e^{-\alpha (2x+z)}dx=\frac{\alpha}{z}e^{-\alpha z}$ тут все Ok. Если $z < 0$ то $x>\frac{z}{2}$ $f_Z(z)=\alpha^2\int\limits_{\frac{z}{2}}^{\infty} e^{-\alpha (2x+z)}dx=\frac{\alpha}{z}e^{-2\alpha z}$ , а вот тут не сходится с ответом ? Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух С.В.
Сообщение19.05.2018, 19:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2520
Физтех
dima_1985
Мне кажется, что ошибка в нижнем пределе, почему там $z/2$?

-- Сб май 19, 2018 19:50:43 --

И вообще, как у вас $z$ в знаменателе оказался?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух С.В.
Сообщение20.05.2018, 11:01 


22/05/16
143
ShMaxG в сообщении #1313504 писал(а):
И вообще, как у вас $z$ в знаменателе оказался?

Там не $\frac{a}{z}$$\frac{a}{2}$ ($2$ на $z$ похожа).
dima_1985 в сообщении #1313495 писал(а):
В данном случаи $2x+z>0$
. Тут с рассуждениями ошибся надо отталкиваться от $f_Z(z)=\int\limits_{0}^{\infty}\alpha e^{-\alpha x} \alpha e^{-\alpha (z+x)} dx$.С первой функцией плотности все Ok.Нужно рассматривать вторую, а именно $x+z > 0$. Для положительных $z$ $f_Z(z)=\alpha^2 \int\limits_{0}^{\infty} e^{-\alpha (2x+z)} dx=\frac{\alpha}{2}e^{-\alpha z}$. Для $z < 0$ $f_Z(z)=\alpha^2 \int\limits_{-z}^{\infty} e^{-\alpha (2x+z)} dx=\frac{\alpha}{2}e^{\alpha z}$. Получается $f_Z(z)=\begin{cases}
\frac{\alpha}{2}e^{-\alpha z},&\text{если $z>0$;}\\
\frac{\alpha}{2}e^{\alpha z},&\text{если $z<0$.}
\end{cases}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух С.В.
Сообщение20.05.2018, 12:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2520
Физтех
dima_1985
Теперь верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух С.В.
Сообщение25.05.2018, 12:33 


22/05/16
143
Со следующей $Z = \max(\xi,\eta^3)$ тоже не все гладко. Решение: положим $\varphi=\eta^3$. Найдем плотность $f_\varphi(x_3)=\begin{cases}
\frac{a}{3x_3^\frac{2}{3}}e^{-ax_3^\frac{1}{3}},&\text{если $x_3>0$;}\\
0,&\text{если $x_3<0$.}
\end{cases}$. Теперь можем написать $ Z = \max(\xi,\varphi)$ ? Положил $a=\frac{1}{2}$ и изобразил график.
Изображение.
На интервале $z \in (b;\infty) F_Z(z)=\int\limits_{b}^{z}\frac{a}{3x_3^\frac{2}{3}}e^{-ax_3^\frac{1}{3}} dx_3$. Так как график $f_\varphi$ выше $f_\xi$ отсюда следует, что значение случайная величина $\varphi $ больше значения случайная величина $\xi $?
На интервале $z \in (a;b) F_Z(z)=\int\limits_{a}^{z}ae^{-ax_1} dx_1$.Так как график $f_\xi$ выше $f_\varphi$ отсюда следует, что значение случайная величина $\xi $ больше значения случайная величина $\varphi $ с большей вероятностью на интервале $(a;b) $? К примеру на графике С.В. $\varphi$ с большей вероятностью примет значение на $[8;10]$ чем $\xi$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух С.В.
Сообщение27.05.2018, 13:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3971
А при чём тут, больше или меньше друг друг какие-то вероятности, когда максимум берётся между двумя числовыми функциями $\xi$ и $\eta^3$?
Скажем, когда $\xi(\omega)=2.1$, а $\eta(\omega)=0.7$, то $\max(2.1; 0.7^3)=2.1$. А если $\xi(\omega)=0.1$, а $\eta(\omega)=1$, то $\max(0.1; 1^3)=1$. Не вижу, как то, что одна плотность выше или ниже другой, может помешать случайным величинам принимать их значения.

Попробуйте функцию распределения $\max(\xi,\eta^3)$ найти по определению.

(Оффтоп)

А в обозначении переменной $x_3$ вместо $x,y,z,t,u,v,s,w,r$ и т.п. есть какой-то сакральный смысл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух С.В.
Сообщение27.05.2018, 18:39 


22/05/16
143
--mS-- в сообщении #1315257 писал(а):
Попробуйте функцию распределения $\max(\xi,\eta^3)$ найти по определению.

По определению будет так $F_Z(z)=P(\max(x_1,x_3)< z)=\int\limits_{0}^{z}f_\varphi (x) or f_\xi(x) dx$.Не понятно какую плотность подставлять. Можно попробовать так $F_Z(z)=P(x_1<z  x_3< z)=\int\limits_{0}^{z}f_\varphi (z) f_\xi(x) dx$. Т.е потребовать чтобы $z>x_1$ и $z>x_3$.Получим $F_Z(z)=\int\limits_{0}^{z}\frac{a^2}{3x^\frac{2}{3}}e^{-ax^\frac{1}{3}}e^{-ax}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух С.В.
Сообщение27.05.2018, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6955
dima_1985 в сообщении #1315366 писал(а):
$F_Z(z)=P(\max(\xi,\eta^3)< z)$.
И стоп. Когда максимум из двух меньше некоторого числа? Ровно в каком случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух С.В.
Сообщение27.05.2018, 18:54 


22/05/16
143
Otta в сообщении #1315369 писал(а):
Когда максимум из двух меньше некоторого числа? Ровно в каком случае?

Когда $z> \xi$ и когда $z> \varphi $. Можно такой финт сделать $\frac{dF_Z(z)}{dz}=\frac{d}{dz}\int\limits_{0}^{z}\frac{a}{3x^\frac{2}{3}}e^{-ax^\frac{1}{3}} ae^{-ax} dx$? Тогда $f_Z(z)=\frac{a}{3x^\frac{2}{3}}e^{-ax^\frac{1}{3}} ae^{-ax} $

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group