Совместное распределение двух С.В.

[dima_1985]

Случайные величины $X$ и $Y$ независимы и имеют равномерное распределение на отрезке $[0,2]$. Найти $F_Z$? Если $Z=X+Y$. Решение $f_X=0.5,x \in [0,2], f_Y=0.5,y \in [0,2]$. Можно написать $F_Z(z)=P(X+Y<z)$ отсюда следует, если $z<0, F_Z = 0$,если $z \geqslant 4, F_Z = 1$. Существует формула свертки, тогда $F_Z(z)=\int\limits_{-\infty}^{z}f_X(x)f_Y(z-x)dx$. Я вот дальше не могу понять как делать? Плотности не нулевые если $0<x<2$ и $0<z - x<2$.

[ShMaxG]

dima_1985 в сообщении #1300521 писал(а):

Существует формула свертки, тогда $F_Z(z)=\int\limits_{-\infty}^{z}f_X(x)f_Y(z-x)dx$.

Что-то тут не так. Запишите формулу свертки для начала и найдите плотность суммы $X+Y$. Процесс вычисления несколько трудоемок, потому что потребуется рассмотреть несколько случаев для переменной $z$. Когда вычислите плотность, интегрируйте ее, чтобы найти функцию распределения.

А вообще решение этой задачи гораздо удобнее получать из других соображений. Случайный вектор $(X,Y)$ имеет равномерное распределение на квадрате $[0,2]^2$. Подумайте, что такое функция распределения суммы $X+Y$ в геометрических терминах. Как поймете, вы сможете сразу выписать $F_Z(z)$, без вычисления плотности.

[dima_1985]

Да, функция свертки имеет след вид $f_Z(z)=\int\limits_{a}^{b}f_X(x)f_Y(z-x)dx=\int\limits_{0}^{2}\frac{1}{2}f_Y(z-x)dx$. Если $z>4$ или $z<0$, то $f_Z=0$ так как выражение $z-x$ не будет принадлежать интервалу $[0,2]$. Найдем при каких $z, z-x$ будет попадать в интервал $0<z-x< 2$. Решим неравенство относительно $x$, получим $z>x>z-2$. Рассмотрим $z>x$ получим что $z$ верхняя граница, $0$ нижняя $\int\limits_{0}^{z}\frac{1}{2}\frac{1}{2}dx$ при $0<z<2$. Рассмотрим $x>z-2$ нижняя граница $z-2$, верхняя $2$ $\int\limits_{z-2}^{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}dx$ при $2<z<4$. Собираем все в кучу и получим
$f_Z(z)=\begin{cases} \int\limits_{0}^{z}\frac{1}{4}dx,&\text{если $0<z<2$;}\\ \int\limits_{z-2}^{2}\frac{1}{4}dx,&\text{если $2<z<4$;}\\ 0,&\text{если $z\notin [0,4]$.} \end{cases}$.
Потом получим $F_Z$. Если $z<0, F_Z=0$. Если $0<z<2$ то $F_Z=0+\int\limits_{0}^{z}\frac{x}{4}dx=\frac{z^2}{8}$. Если $0<z<4$ то $F_Z=0+\int\limits_{0}^{2}\frac{x}{4}dx + \int\limits_{2}^{z}1-\frac{x}{4}dx=\frac{8z-z^2}{8}-1$. Если $z>4$ то $F_z=1$

Второй подход геометрический. $F_Z(z)=P(x+y<z)$. Я рассуждал примерно так. Возьмем конкретное $z=2$ тогда вероятность можно записать так $P(X<1,Y<1)$ получим прямоугольный треугольник с площадью $S=\frac{1}{2}xy$ разделим на площадь квадрата и получим $F_Z=\frac{1}{2}\frac{(z-x)x}{4}$.Что-то не совсем то получается?

[ShMaxG]

dima_1985 в сообщении #1313189 писал(а):

Второй подход геометрический. $F_Z(z)=P(x+y<z)$. Я рассуждал примерно так. Возьмем конкретное $z=2$ тогда вероятность можно записать так $P(X<1,Y<1)$ получим прямоугольный треугольник с площадью $S=\frac{1}{2}xy$ разделим на площадь квадрата и получим $F_Z=\frac{1}{2}\frac{(z-x)x}{4}$.Что-то не совсем то получается?

Ну здесь полная чепуха. Если вы фиксируете $z=2$, то почему в ответе какой-то $z$? И почему в ответе какой-то $x$?

[dima_1985]

ShMaxG в сообщении #1313193 писал(а):

Ну здесь полная чепуха

Да там ерунду написал. Если положить $z=2$ будет прямоугольный треугольник образованный осями координат и $y=2-x$. Вроде порисовал и разобрался 1) Если $0<z<2$ то площадь нижнего треугольника равна $\frac{\frac{1}{2}z^2}{4}$. 2) Если $2<z<4$ то получается площадь $5$ угольника её можно получить вычесть из квадрата верхний треугольник $1-\frac{\frac{1}{2}(4-z)^2}{4}$ ?

[ShMaxG]

dima_1985
Все верно.

[dima_1985]

Решил попробовать с другими распределениями. След задача.Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, имеющие одинаковое показательное с параметром $\alpha$ распределение. Найти функции распределения и плотности распределения следующих случайных величин:$\xi^3,\xi-\eta,\max(\xi,\eta^3),\min(\xi,\eta^3),3+2\xi,|\xi-\eta|$. С первым все гладко прошло. Во втором не сходиться с ответом. Решение:
$f_\xi(x_1)= \begin{cases} \alpha e^{-\alpha x_1},&\text{если $x_1>0$;}\\ 0,&\text{если $x_1<0$.} \end{cases} $

$f_\eta(x_2)= \begin{cases} \alpha e^{-\alpha x_2},&\text{если $x_2>0$;}\\ 0,&\text{если $x_2<0$.} \end{cases} $.

Дальше опять пользуюсь формулой свертки $f_Z(z)=\int\limits_{0}^{\infty}\alpha e^{-\alpha x} \alpha e^{-\alpha(z+ x)}dx=\alpha^2\int\limits_{0}^{\infty} e^{-\alpha (2x+z)}dx $. В данном случаи $2x+z>0$( так как аргумент для плотности вероятности должен быть больше нуля для показательного распределения). Если $z>0$ то $2x+z$ всегда больше нуля $f_Z(z)=\alpha^2\int\limits_{0}^{\infty} e^{-\alpha (2x+z)}dx=\frac{\alpha}{z}e^{-\alpha z}$ тут все Ok. Если $z < 0$ то $x>\frac{z}{2}$ $f_Z(z)=\alpha^2\int\limits_{\frac{z}{2}}^{\infty} e^{-\alpha (2x+z)}dx=\frac{\alpha}{z}e^{-2\alpha z}$ , а вот тут не сходится с ответом ? Спасибо.

[ShMaxG]

dima_1985
Мне кажется, что ошибка в нижнем пределе, почему там $z/2$?

-- Сб май 19, 2018 19:50:43 --

И вообще, как у вас $z$ в знаменателе оказался?

[dima_1985]

ShMaxG в сообщении #1313504 писал(а):

И вообще, как у вас $z$ в знаменателе оказался?

Там не $\frac{a}{z}$,а $\frac{a}{2}$ ($2$ на $z$ похожа).

dima_1985 в сообщении #1313495 писал(а):

В данном случаи $2x+z>0$

. Тут с рассуждениями ошибся надо отталкиваться от $f_Z(z)=\int\limits_{0}^{\infty}\alpha e^{-\alpha x} \alpha e^{-\alpha (z+x)} dx$.С первой функцией плотности все Ok.Нужно рассматривать вторую, а именно $x+z > 0$. Для положительных $z$ $f_Z(z)=\alpha^2 \int\limits_{0}^{\infty} e^{-\alpha (2x+z)} dx=\frac{\alpha}{2}e^{-\alpha z}$. Для $z < 0$ $f_Z(z)=\alpha^2 \int\limits_{-z}^{\infty} e^{-\alpha (2x+z)} dx=\frac{\alpha}{2}e^{\alpha z}$. Получается $f_Z(z)=\begin{cases} \frac{\alpha}{2}e^{-\alpha z},&\text{если $z>0$;}\\ \frac{\alpha}{2}e^{\alpha z},&\text{если $z<0$.} \end{cases}$

[ShMaxG]

dima_1985
Теперь верно.

[dima_1985]

Со следующей $Z = \max(\xi,\eta^3)$ тоже не все гладко. Решение: положим $\varphi=\eta^3$. Найдем плотность $f_\varphi(x_3)=\begin{cases} \frac{a}{3x_3^\frac{2}{3}}e^{-ax_3^\frac{1}{3}},&\text{если $x_3>0$;}\\ 0,&\text{если $x_3<0$.} \end{cases}$. Теперь можем написать $ Z = \max(\xi,\varphi)$ ? Положил $a=\frac{1}{2}$ и изобразил график.
.
На интервале $z \in (b;\infty) F_Z(z)=\int\limits_{b}^{z}\frac{a}{3x_3^\frac{2}{3}}e^{-ax_3^\frac{1}{3}} dx_3$. Так как график $f_\varphi$ выше $f_\xi$ отсюда следует, что значение случайная величина $\varphi $ больше значения случайная величина $\xi $?
На интервале $z \in (a;b) F_Z(z)=\int\limits_{a}^{z}ae^{-ax_1} dx_1$.Так как график $f_\xi$ выше $f_\varphi$ отсюда следует, что значение случайная величина $\xi $ больше значения случайная величина $\varphi $ с большей вероятностью на интервале $(a;b) $? К примеру на графике С.В. $\varphi$ с большей вероятностью примет значение на $[8;10]$ чем $\xi$?

[--mS--]

А при чём тут, больше или меньше друг друг какие-то вероятности, когда максимум берётся между двумя числовыми функциями $\xi$ и $\eta^3$?
Скажем, когда $\xi(\omega)=2.1$, а $\eta(\omega)=0.7$, то $\max(2.1; 0.7^3)=2.1$. А если $\xi(\omega)=0.1$, а $\eta(\omega)=1$, то $\max(0.1; 1^3)=1$. Не вижу, как то, что одна плотность выше или ниже другой, может помешать случайным величинам принимать их значения.

Попробуйте функцию распределения $\max(\xi,\eta^3)$ найти по определению.

(Оффтоп)

А в обозначении переменной $x_3$ вместо $x,y,z,t,u,v,s,w,r$ и т.п. есть какой-то сакральный смысл?

[dima_1985]

--mS-- в сообщении #1315257 писал(а):

Попробуйте функцию распределения $\max(\xi,\eta^3)$ найти по определению.

По определению будет так $F_Z(z)=P(\max(x_1,x_3)< z)=\int\limits_{0}^{z}f_\varphi (x) or f_\xi(x) dx$.Не понятно какую плотность подставлять. Можно попробовать так $F_Z(z)=P(x_1<z x_3< z)=\int\limits_{0}^{z}f_\varphi (z) f_\xi(x) dx$. Т.е потребовать чтобы $z>x_1$ и $z>x_3$.Получим $F_Z(z)=\int\limits_{0}^{z}\frac{a^2}{3x^\frac{2}{3}}e^{-ax^\frac{1}{3}}e^{-ax}$.

[Otta]

dima_1985 в сообщении #1315366 писал(а):

$F_Z(z)=P(\max(\xi,\eta^3)< z)$.

И стоп. Когда максимум из двух меньше некоторого числа? Ровно в каком случае?

[dima_1985]

Otta в сообщении #1315369 писал(а):

Когда максимум из двух меньше некоторого числа? Ровно в каком случае?

Когда $z> \xi$ и когда $z> \varphi $. Можно такой финт сделать $\frac{dF_Z(z)}{dz}=\frac{d}{dz}\int\limits_{0}^{z}\frac{a}{3x^\frac{2}{3}}e^{-ax^\frac{1}{3}} ae^{-ax} dx$? Тогда $f_Z(z)=\frac{a}{3x^\frac{2}{3}}e^{-ax^\frac{1}{3}} ae^{-ax} $