Многомерность и время.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1291793 писал(а):

$$f(\mathbf p) = \left( \frac {3N} {4 \pi m U} \right) ^{3/2} \exp \left( - \frac {3N} {4mU} \mathbf p^2 \right).$$

warlock66613 в сообщении #1291821 писал(а):

$$\begin{equation*}\begin{split}M: \mathbb R^{2N} \to C(\mathbb R \times \mathbb R) \\ (\mathbf r_1, \ldots, \mathbf r_N, \mathbf p_1, \ldots, \mathbf p_N) \mapsto f\end{split}\end{equation*}$$

$\mathbf p$ с каким именно индексом нужно подставлять в первую формулу?

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1291822 писал(а):

$\mathbf p$ с каким именно индексом нужно подставлять в первую формулу?

Ни с каким не нужно подставлять. $\mathbf p$ — это просто одна из двух координат в $\mu$-пространстве (я надеюсь вам знакомо это обозначение).

-- 11.02.2018, 17:29 --

Вы кажется путаете функцию $f$ с функцией $\text{Macro}$. $\mathbf p$ — аргумент $f$, $\mathbf p_i$ — аргументы $\text{Macro}$. Функция $f$ является значением функции $\text{Macro}.$

-- 11.02.2018, 17:39 --

$\mu$-пространство — это фазовое пространство молекулы. Любой молекулы: они (их фазовые пространства) все одинаковые.

-- 11.02.2018, 17:48 --

В выражении «функция распределения является функцией двух переменных $\mathbf r$ и $\mathbf p$» подразумевается функция $f$, а в выражении «функция распределения является функцией микросостояния» подразумевается функция $\text{Macro}$.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1291824 писал(а):

Любой молекулы: они (их фазовые пространства) все одинаковые.

Фазовые пространства невзаимодействующих молекул, может быть, и одинаковые, но в определённом микросостоянии импульсы этих молекул разные.

warlock66613 в сообщении #1291824 писал(а):

подразумевается функция $\text{Macro}$.

Вас не затруднит дать определение этой функции? Что-то я не могу найти его в этой теме. А, вижу. Вы немного поменяли обозначения. Я про неё не спрашивал. Вопрос был про $f(\mathbf p)$ и про деление при помощи этой функции пространства микросостояний системы на непересекающиеся классы. Или вы при помощи этой функции делите на классы? Раньше вы писали, что при помощи распределения. Я хочу от вас увидеть правило деления микросостояний на классы, соответствующие макросостояниям.

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1291834 писал(а):

Я хочу от вас увидеть правило деления микросостояний на классы, соответствующие макросостояниям.

Микросостояния с одинаковой функцией распределения принадлежат одному классу. Функция распределения — это такая функция, что интеграл от неё по некоторой области в $\mu$-пространстве равен количеству молекул, находящихся в этой области (когда система находится в заданном микросостоянии).

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1291836 писал(а):

Микросостояния с одинаковой функцией распределения принадлежат одному классу.

Допустим. Но микросостояние - это вектор из координат и импульсов молекул, как вы сами написали выше. Как по этому вектору однозначно определить функцию распределения?

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1291843 писал(а):

Как по этому вектору однозначно определить функцию распределения?

Вы имеете в виду, что если делать это непосредственно, то получится "тусовка дельта-функций", и с ней потом трудно считать энтропию? Это чисто техническая проблема. Нужно просто задаться масштабом, на котором функция распределения не будет сильно меняться и сгладить соответственно.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1291846 писал(а):

Вы имеете в виду, что если делать это непосредственно, то получится "тусовка дельта-функций"

Нет, я имею в виду, что по реализации можно оценить распределение тоже только с какой-то вероятностью, даже при использовании эргодической гипотезы. А для разбиения на классы нужна однозначная функция. Вообще говоря, ничто не запрещает одно и то же микросостояние наблюдать для разных макросостояний.

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1291854 писал(а):

Нет, я имею в виду, что по реализации можно оценить распределение тоже только с какой-то вероятностью, даже при использовании эргодической гипотезы. А для разбиения на классы нужна однозначная функция.

Не вижу, как одно мешает другому.

realeugene в сообщении #1291854 писал(а):

Вообще говоря, ничто не запрещает одно и то же микросостояние наблюдать для разных макросостояний.

Это просто неудобно. Очень неудобно. Это затуманивает всё, заставляет говорить о каких-то неведомых наблюдателях. Поэтому так не делают. Я читал статьи о фазовых переходах в конечных системах — там берётся малоразмерное пространство и строится проекция из пространства состояний системы в это малоразмерное пространство. Когда разбираются с эргодической гипотезой и с тем, какие именно условия нужны, чтобы процессы во Вселенной описывались уравнениями с нарушенной симметрией во времени, и как энтропия фон-Неймана соотносится с термодинамической энтропией, то также вводят проекционный оператор $\hat P$ и пишут $\hat P \rho = \rho_{\text{rel}}$, $(1 - \hat P) \rho = \rho_{\text{irrel}}$. Всё крутится вокруг этого, и учебники статфизики тоже.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1291856 писал(а):

Поэтому так не делают.

Вы хотите принять передаваемый при помощи радиоволны сигнал, но из-за теплового шума не можете уверенно отличить одно его переданное значение от другого. А в LIGO один из важных источников шума, ограничивающий точность - механические тепловые шумы зеркал. Вы не можете уверенно отличить достаточно близкие значения макроскопического параметра, взглянув на одно лишь мгновенное микросостояние системы. Так уж природа устроена. Раз вероятность - значит вероятность, и не более.

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1291878 писал(а):

Вы не можете уверенно отличить достаточно близкие значения макроскопического параметра, взглянув на одно лишь мгновенное микросостояние системы.

Могу. Точнее мог бы, но я не могу «взглянуть» на микросостояние — а если бы мог, то понятие макросостояния мне было бы не нужно. Но то что мы не можем измерить точное состояние системы не значит, что его у него нет, и с макросостоянием то же самое.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1291901 писал(а):

Но то что мы не можем измерить точное состояние системы не значит, что его у него нет, и с макросостоянием то же самое.

Микросостояние, разумеется, у системы в каком-то смысле есть, равно, как и макросостояние, в смысле определения из ЛЛ5 как среднее тоже обычно бывает, но макросостояние как среднее не обязано быть функцией реализации случайного процесса в виде микросостояния.

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1291910 писал(а):

но макросостояние как среднее не обязано быть функцией реализации случайного процесса в виде микросостояния

Тогда, строго говоря, нельзя сказать, что оно "у системы в каком-то смысле есть", потому что всё что у системы есть — это микросостояние, это её полное описание, и ничего кроме этого у неё быть не может.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1291911 писал(а):

потому что всё что у системы есть — это микросостояние.

У системы есть не только микросостояние, а и либо вероятностное распределение в пространстве микросостояний, либо волновая функция или, даже, матрица плотности, в зависимости от того, как систему рассматриваем. Особенно, если это система в резервуаре.

[arseniiv]

(Страницы 7 и 8 пока не читал.)

epros в сообщении #1291617 писал(а):

которая будет направлена везде в одну сторону - в ту, в которую требуют законы динамики.

А они требуют?

epros в сообщении #1291617 писал(а):

Нет, он сочтёт, что молекулы собрались в одном месте по причинам, непостижимым с точки зрения его знаний законов динамики.

В одну сторону пускай так. В другую будет всё «правильно». Теперь возьмём наблюдателя, движущегося вспять во времени — для него уже будет наоборот. Можете называть это как хотите, но тут очевидно две разные стрелы для кусков пространства-времени по разные стороны от события.

[epros]

warlock66613, я не понял зачем Вам нужно одночастичное рапределение и я не понял Вашего вывода распределения Максвелла с помощью магического слова "очевидно". Поэтому я не буду это обсуждать, а давайте лучше изложу свои доводы в отношении того, почему вот это неверно:

warlock66613 в сообщении #1291793 писал(а):

Так что равновесное состояние идеального газа — это не "любое микросостояние", а только такое, при котором одночастичное распределение соответствует распределению Максвелла — Больцмана. Многие микросостояния таковыми не являются, например состояние когда все молекулы собраны в две маленьких кучки в противоположных концах сосуда, и состояние когда половина молекул движется с одной и той же скоростью влево, а другая половина — вправо.

В некоторых учебниках макросостояние пытаются определить через множество "макропараметров" различных подсистем, которые малы сравнительно с системой, но достаточно велики для того, чтобы можно было считать их находящимися в равновесном состоянии (а значит обладающими теми самыми "макропараметрами"). Если для всех подсистем эти "макропараметры" равны, то макросостояние всей системы считается равновесным. Далее постулируется, что система в конечном итоге приходит в равновесное состояние, в котором остаётся вечно.

Если Вы внимательно посмотрите на это "определение", то увидите в нём логический круг, т.е. поймёте, что оно ничего не определяет. Кроме того, утверждение о "вечности" равновесного состояния, понимаемого в смысле равенства состояний всех подсистем, является очевидно ложным.

Нормальное определение макросостояния - это распределение на множестве микросостояний. Если уравнения динамики содержат даже маленькую неопределённость, то с какого бы макросостояния мы ни начали, довольно быстро мы придём к равномерному распределению по микросостояниям. Вот его-то и правильно считать равновесным состоянием.

Обратите внимание, что "состояние когда все молекулы собраны в две маленьких кучки в противоположных концах сосуда" и подобные ему тоже имеют некую ненулевую (хотя и мизерную) вероятность. Поэтому всегда есть шанс обнаружить равновесную систему в таком микросостоянии (конечно, если не надоест очень долго и очень внимательно смотреть).