2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 15:37 


11/07/16
410
Спасибо. Приведенные в ссылке аргументы
Цитата:
Take d>0 small and suppose we want to find an $n $ such that s$\sin(n) > 1-d$. Note that $\sin(\pi/2 + a) = \cos(a) > 1 - a^2 /2 $for small, positive $a$, so it suffices to find $n$ for which $n$ is in the interval $[\pi/2-\sqrt{2d}, \pi/2+\sqrt{2d}] \mod 2\pi$. A pigeonhole principle argument says that we can find such $n$ with $|n| \le 2\pi/2\sqrt{2d} + O(1)$, so let's just round up and say we can take $|n| < 3/\sqrt{d}$.
Relabeling the variables and using the fact that $\sin$ is odd, we can find a positive $m < 3\sqrt{n}$ such that $|\sin(m)| > 1-1/n. $Then $|\sin(m)^m| > (1-1/n)^m > (1-1/n)^{3\sqrt{n}}$, which tends to 1 as n goes to infinity. Picking an appropriate sequence of n, we see that $\limsup |\sin(m)^m|$ is at least 1, and so $\limsup |\sin(m)^m|=1$ . In particular, the terms $\sin(m)^m$ do not tend to zero as $m$ goes to infinity.

мне непонятны. Вы могли бы изложить их здесь четко и ясно, ясно и четко?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 15:40 
Модератор


20/03/14
8218
Markiyan Hirnyk
Я Вам хочу напомнить одно пожелание:
GAA в сообщении #1232242 писал(а):
Старайтесь, по возможности, [...] не писать излишне часто сообщения в тему, а самостоятельно восстановить недостающие детали доказательства и задавать вопросы только в том случае, если длительные попытки не привели к успеху.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 16:01 


11/07/16
410
Lia Вот конкретное непонятное место
Цитата:
we can take $|n|<3/\sqrt{d}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 16:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3572
Кстати, претензия Markiyan Hirnyk в данном случае вполне законна. Сомневаюсь, что существование такого $n$ можно доказать для произвольного $d$ (думаю, что это вообще неверно; но нам и не нужно для произвольного). Принцип Дирихле не работает так просто для неоднородных задач.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5457
Ок, чувствую себя виноватым -- первая попавшаяся ссылка была не очень аккуратной (reddit обычно меня не подводил :)
Более того, вторая попавшаяся ссылка на math.SE -- ещё хуже. Странно, отвечал участник с топовым рейтингом.

Тогда я дам доказательство от Maple, что 0 не является предельной точкой, как просил меня Markiyan Hirnyk.
Рассмотрите такую последовательность: $\cos^{22}(22),\cos^{25}(25),\cos^{47}(47),\cos^{69}(69),...$ и так далее. Аргументы косинуса найдите здесь: A097545. Убедитесь, что последовательность не сходится к 0.

Почему так получается и как это связано с нашей задачей -- это уже без меня, пожалуйста. Доказательства от Maple я предоставил :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 19:23 


11/07/16
410
grizzly
Вопрос ведь о синусах. Проверим
Код:
Digits := 100; evalf(sin(69)^69, 20);
                                           
                  -1.3552703774627226772 10 ^(-65) 
evalf(cos(69)^69, 20);
                     0.63281467140710724578
evalf(cos(4948)^4948, 20);
                     0.83879261686763102180

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 19:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5457
Markiyan Hirnyk
Ответьте, пожалуйста, и мне такой вопрос:
Я действительно не смог Вас убедить, что последовательность $\sin^n(n)$ имеет хотя бы одну предельную точку, кроме точки 0? Ну, может, не убедить, но хоть какие-то сомнения в убедительности Ваших графиков появились?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13259
Интересно, насколько тут важен синус?
Нельзя ли взять последовательность $\{\pi n\}^n$.
Или даже $\mathrm{rand}^n$, то есть возводимая в натуральные степени случайная величина, равномерно (?)распределённая на интервале $(0,1)$. :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 19:46 


11/07/16
410
grizzly
Нет. Вы не привели убедительных аргументов. Впрочем, я ничего не утверждал и не доказывал, просто привел результаты математического эксперимента, сделанные при помощи Мэйпла. Они наводят на предположение, что единственной предельной точкой последовательностм $\sin(n)^n$ является $0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 19:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
RIP в сообщении #1262496 писал(а):
Возьмите, например, n=16596120839337488210486257463541589676929944890483302855806560015216651929340340573573873586873615346178807166362103011246608155705072771649283.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5457
Markiyan Hirnyk в сообщении #1270775 писал(а):
Нет. Вы не привели убедительных аргументов.
Я могу только посочувствовать. А ведь Вы только на этой неделе интересовались теоремой Бореля, помните? И могли бы сами подумать, как связана с числом $\pi$ та последовательность, на которую я сослался, и что такую же последовательность можно построить для числа $\pi/2$. Я Вам должен буду целыми страницами объяснять, почему для косинуса нужно брать дроби $\pi$, а для синуса -- $\pi/2$? Увольте, это форум, а не бесплатное репетиторство.

-- 01.12.2017, 19:55 --

Вычисляйте числители подходящих дробей числа $\pi/2$ и будет Вам счастье.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2389
Уфа

(Оффтоп)

Markiyan Hirnyk в сообщении #1270760 писал(а):
Код:
Digits := 100; evalf(sin(69)^69, 20);
                                           
                  -1.3552703774627226772 10 ^(-65) 
evalf(cos(69)^69, 20);
                     0.63281467140710724578
evalf(cos(4948)^4948, 20);
                     0.83879261686763102180

Я прошу прощения за оффтопик. Но просто вопрос возник (к тем, кто хорошо знает Maple).
Я вижу, что evalf вычисляет с меньшим числом верных знаков, чем указано.
Например, $\cos^{4948}(4948)=0.83879261686763101195...$, видим, что evalf врёт в 17-м знаке.
На 99% я уверен, что причина в следующем: при приведении аргумента косинуса к отрезку $[0, \pi]$ Maple берёт число $\pi$ с точностью 20 знаков, хотя в данном случае для достижения требуемой (десятичной) точности результата нужно прибавлять к ней (десятичный) логарифм модуля аргумента, т.е. здесь понадобится 23-24 знака $\pi$.
Так вот, вопрос к залу: неужели Maple об этом не знает?
Пожалуй, нет, скорее всего, знает. Вероятно, он сознательно идёт на это, чтобы производительность была предсказуемой для пользователя. Хотя... если быть хитрее и использовать формулы синуса/косинуса $n$-кратного угла.... всё, всё, сворачиваю лавочку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 20:14 


11/07/16
410
g______d
Код:
restart; Digits := 1000: evalf(sin(16596120839337488210486257463541589676929944890483302855806560015216651929340340573573873/
586873615346178807166362103011246608155705072771649283)^16596120839337488210486257463541589676929/
944890483302855806560015216651929340340573573873586873615346178807166362103011246608155705072771649283, 940);

-.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999/
99999999999999999999999999999999999999999999999937021070628561924142868090172029478396976831793521/
59983139054366434654061713716854138165190382107001893259242473723899580564290763851239230630245538/
51883306330750964296629608192626106627883862923930374015022811604513943047589394818716277294180496/
20447649557247835907990848698335551687799921325511936707188520215314351940174263348039254102895998/
77694166337901480130696084349439669628668771472285042921341663056765954944295779418961595147494532/
18474687947946910153019738172049573110256016208975019908056565441178696197427024141356320924106883/
27961185537264598641436801643321425857886620122595732040653651860143966417773576891313393205708909/
00508716061490871417856765405030552706469721187913187455721046421666457541424105051349351890996489/
312208045684494166263170727951760000915638533401415460677902

Как найдено это натуральное число? Действительно, возможно, что $-1$ и $1$ тоже предельные точки.

-- 01.12.2017, 19:19 --

worm2
Цитата:
Например, $\cos^{4948}(4948)=0.83879261686763101195...$, видим, что evalf врёт в 17-м знаке

Вот точнее
Код:
Digits := 1000: evalf(cos(4948)^4948, 990);
.83879261686763101195378740057841472867687789944100861735628437050331713365721650009966665168083361792/
261770907413711159462474541086813449076089809138174195974515629553774466487164723432326088515422282858/
066420887682606260188666684490236087702076819078978986394856771457377909051916198089787298342558416085/
307074518929989126177347729473823971263066974627108137860676619527390445394830579487366956815238892761/
794721916746657601485040086943799738265398596881139865387650638875356922440463566155835041869321719256/
991010828901333741647805859446871018455113385541322416691368102331368051787768772574346032524541240138/
811542333692898300372142366954016009223717473724087732077248662030536985610125534357078283637247530140/
351811915154604674754579098643294695110474960190024786039675292507293657281472362817118487064037095281/
334859032639711468833623568250642910992624264616576206977285582737617429531743193063004264043484719596/
9896074000709402537394716847019744843536784775312185128985870420121105400

Ваше замечание по делу, но это непринципиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2389
Уфа

(Кто о чём, а флудер о бане)

В последнем выражении ошибка в 799-м знаке после запятой. Хотя нет, теперь оно уже не последнее, имею в виду то, в котором точность 940 задавалась. А реальная точность 799


-- Пт дек 01, 2017 22:28:17 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1270784 писал(а):
Пожалуйста, обоснуйте
Поставьте больше точности в evalf, не 20, а 30, 40, 50, и убедитесь самостоятельно. У меня Mapl'а нету. О, вижу, что уже поставили. Вот. Мой оффтоп не имеет отношения к сути вопроса, для него точность более чем достаточная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3572
gris в сообщении #1270773 писал(а):
Интересно, насколько тут важен синус?
Синус тут важен постольку, поскольку там, где он равен $\pm1$, его производная равна $0$. По этой же причине косинус тоже сгодится.
gris в сообщении #1270773 писал(а):
Нельзя ли взять последовательность $\{\pi n\}^n$?
Здесь вопрос сводится к тому, ограничена ли последовательность неполных частных для $\pi$ с чётными номерами (то есть $a_{2n}$, где $\pi=[a_0;a_1,a_2,a_3,\dotsc]$). Если $\sup a_{2n}=+\infty$, то множество всех предельных точек — это весь отрезок $[0,1]$. В противном случае $\limsup\{\pi n\}^n\in(0,1)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group