2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Предельные точки степеней синуса
Сообщение05.11.2017, 02:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3572
Найдите множество предельных точек последовательности $a_n=(\sin n)^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение05.11.2017, 12:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13259
Думаю, что прошло достаточно времени, чтобы позволить чисто любительские соображения.
Все мы знаем, что синус от натурального аргумента всюду плотно заполняет интервал $(-1,1)$. Ясно, что возведение в фиксированную (ради сохранения интервала скажем, что нечётную) степень сносит значения к нулю, но всюдуплотность одолеть не сможет. Рассмотрим переменный (увеличивающийся) показатель степени. Очевидно, что снос к нулю будет всё сильнее. Весь вопрос в том, что будет происходить в окрестностях узловых точек, где синус близок по модулю к единице. Что победит: показатель степени или степень приближения? Если в последовательности есть бесконечно много членов, больших некоторого положительного числа, то ответом будет всюду плотное заполнение интервала. То есть любое число из интервала $[-1,1]$ будет предельной точкой. Мне кажется, что так оно и есть. Но тут надо, наверное, анализировать приближения $\pi/2$ рациональными числами.
И ещё мне кажется, что показатель $n^2$ не оставит надежды отличному от нуля числу :-( Я передумал!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение05.11.2017, 13:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2389
Уфа
gris в сообщении #1262420 писал(а):
тут надо, наверное, анализировать приближения $\pi/2$ рациональными числами.
По общей теории приближения непрерывными дробями (знание конкретного числа $\pi/2$ нам тут не помогает), если только среди знаменателей подходящих дробей найдётся бесконечная нечётная подпоследовательность (что я считаю весьма вероятным, но строго не доказал), то 1 будет предельной точкой. Про промежуточные точки пока не ясно. Общая теория тут недостаточно сильна, но тем и хороша задача!

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение05.11.2017, 16:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3572

(Оффтоп)

gris в сообщении #1262420 писал(а):
И ещё мне кажется, что показатель $n^2$ не оставит надежды отличному от нуля числу :-(
Вы будете смеяться, но оставит. Возьмите, например, n=16596120839337488210486257463541589676929944890483302855806560015216651929340340573573873586873615346178807166362103011246608155705072771649283.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение05.11.2017, 18:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13259
А я уже даже подумал, что если показателем взять $n!$ в степени $n!$ и так $n!$ раз, то и тогда...
Раз нет никакой оценки точности приближения.
Не поможет ли рассмотрение функции $\sin^x x$? Она же непрерывна и приближённо периодична с иррациональным периодом. Те же рассуждения, что просто с синусом не пройдут? Я всё насчёт всюдуплотности :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение05.11.2017, 18:17 
Заслуженный участник


22/11/10
1145
Да слишком хороших приближений и не требуется.
Пусть
$$n = \frac{\pi}{2} + 2k \pi + \frac{\alpha}{\sqrt n}$$
Тогда
$$\sin n \approx 1 - \frac{\alpha ^2}{2n}, \quad (\sin n)^n \approx e^{ - \frac{\alpha ^2}{2}}$$
А вот для степени $n^2$ уже требуется приближение вида
$$n = \frac{\pi}{2} + 2k \pi + \frac{\alpha}{n}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 06:39 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5321
Напомнило Флинта Хиллса https://arxiv.org/abs/1104.5100

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 12:00 


11/07/16
410
Математический эксперимент с Мэйплом
Код:
plot(sin(n)^n, n = 1 .. 100, style = point);
plot(sin(n)^n, n = 10000 .. 10100, style = point);
plot(sin(n)^n, n = 100000 .. 100100, style = point);
plot(sin(n)^n, n = 1000000 .. 1000100, style = point);
plot(sin(n)^n, n = 10000000 .. 11000000, style = point);

подтверждает $0$ как единственную предельную точку. Cм. здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 14:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5453
Markiyan Hirnyk в сообщении #1270644 писал(а):
подтверждает $0$ как единственную предельную точку
Вы что-то пропустили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 14:35 


11/07/16
410
grizzly Пожалуйста, изложите вашу мысль подробнее, четко и ясно, ясно и четко . Заранее признателен вам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5453
Markiyan Hirnyk
В сообщении, на которое я сослался, было показано, что множество предельных точек этой последовательности есть весь отрезок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 14:47 


11/07/16
410
grizzly Если вас не затруднит, укажите, пожалуйста, кем. И почему обсуждение на этом не закончилось? В sup, насколько я понимаю, $\alpha$ зависит от натурального числа $n$. Да и графики упрямая вещь, особенно последний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 14:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5453
Markiyan Hirnyk в сообщении #1270673 писал(а):
Если вас не затруднит, укажите, пожалуйста, кем.
Автора сообщения Вы можете узнать, посмотрев поле в табличке слева (там ещё аватарки у некоторых).
Обсуждение на этом не закончилось [в некотором смысле], потому что с этим вопросом косвенно связана интереснейшая статья одного из участников, который её и привёл. Лично я всячески приветствую подобные связи на форуме (и в математике вообще).

-- 01.12.2017, 14:57 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1270673 писал(а):
В sup, насколько я понимаю, $\alpha$ зависит от $n$.
Maple Вам подтвердит, что таким образом можно неограниченное число раз достигать нужной степени приближения.

-- 01.12.2017, 15:03 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1270673 писал(а):
Да и графики упрямая вещь, особенно последний.
Вы рассматриваете эти графики на таких ничтожных интервалах. Посмотрите, для примера, здесь, в каких интервалах было бы лучше начинать искать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 15:11 


11/07/16
410
grizzly
Пожалуйста, обоснуйте
Цитата:
Maple Вам подтвердит, что таким образом можно неограниченное число раз достигать нужной степени приближения

четко и ясно, ясно и четко. Заранее благодарен вам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки степеней синуса
Сообщение01.12.2017, 15:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5453
Markiyan Hirnyk в сообщении #1270680 писал(а):
четко и ясно, ясно и четко. Заранее благодарен вам.
Если бы Вы сразу ясно и чётко сказали, что не поняли обсуждения выше, я бы не предположил, что Вы что-то пропустили.

Я попытаюсь Вам помочь. Вот первая попавшаяся ссылка из гугла, найдите там цитату:
Цитата:
Picking an appropriate sequence of n, we see that $\lim \sup |\sin(m)^m|$ is at least 1.
Посмотрите обсуждение вокруг (выше и ниже) -- там всё очень подробно разжёвано. Если останутся вопросы, приходите с ними в раздел ПРР(М) -- Вам помогут.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group