Предельные точки степеней синуса

[Markiyan Hirnyk]

Спасибо. Приведенные в ссылке аргументы

Цитата:

Take d>0 small and suppose we want to find an $n $ such that s$\sin(n) > 1-d$. Note that $\sin(\pi/2 + a) = \cos(a) > 1 - a^2 /2 $for small, positive $a$, so it suffices to find $n$ for which $n$ is in the interval $[\pi/2-\sqrt{2d}, \pi/2+\sqrt{2d}] \mod 2\pi$. A pigeonhole principle argument says that we can find such $n$ with $|n| \le 2\pi/2\sqrt{2d} + O(1)$, so let's just round up and say we can take $|n| < 3/\sqrt{d}$.
Relabeling the variables and using the fact that $\sin$ is odd, we can find a positive $m < 3\sqrt{n}$ such that $|\sin(m)| > 1-1/n. $Then $|\sin(m)^m| > (1-1/n)^m > (1-1/n)^{3\sqrt{n}}$, which tends to 1 as n goes to infinity. Picking an appropriate sequence of n, we see that $\limsup |\sin(m)^m|$ is at least 1, and so $\limsup |\sin(m)^m|=1$ . In particular, the terms $\sin(m)^m$ do not tend to zero as $m$ goes to infinity.

мне непонятны. Вы могли бы изложить их здесь четко и ясно, ясно и четко?

[Lia]

Markiyan Hirnyk
Я Вам хочу напомнить одно пожелание:

GAA в сообщении #1232242 писал(а):

Старайтесь, по возможности, [...] не писать излишне часто сообщения в тему, а самостоятельно восстановить недостающие детали доказательства и задавать вопросы только в том случае, если длительные попытки не привели к успеху.

[Markiyan Hirnyk]

Lia Вот конкретное непонятное место

Цитата:

we can take $|n|<3/\sqrt{d}$

[RIP]

Кстати, претензия Markiyan Hirnyk в данном случае вполне законна. Сомневаюсь, что существование такого $n$ можно доказать для произвольного $d$ (думаю, что это вообще неверно; но нам и не нужно для произвольного). Принцип Дирихле не работает так просто для неоднородных задач.

[grizzly]

Ок, чувствую себя виноватым -- первая попавшаяся ссылка была не очень аккуратной (reddit обычно меня не подводил :)
Более того, вторая попавшаяся ссылка на math.SE -- ещё хуже. Странно, отвечал участник с топовым рейтингом.

Тогда я дам доказательство от Maple, что 0 не является предельной точкой, как просил меня Markiyan Hirnyk.
Рассмотрите такую последовательность: $\cos^{22}(22),\cos^{25}(25),\cos^{47}(47),\cos^{69}(69),...$ и так далее. Аргументы косинуса найдите здесь: A097545. Убедитесь, что последовательность не сходится к 0.

Почему так получается и как это связано с нашей задачей -- это уже без меня, пожалуйста. Доказательства от Maple я предоставил

[Markiyan Hirnyk]

grizzly
Вопрос ведь о синусах. Проверим

Digits := 100; evalf(sin(69)^69, 20);
                                           
                  -1.3552703774627226772 10 ^(-65)  
evalf(cos(69)^69, 20);
                     0.63281467140710724578
evalf(cos(4948)^4948, 20);
                     0.83879261686763102180

[grizzly]

Markiyan Hirnyk
Ответьте, пожалуйста, и мне такой вопрос:
Я действительно не смог Вас убедить, что последовательность $\sin^n(n)$ имеет хотя бы одну предельную точку, кроме точки 0? Ну, может, не убедить, но хоть какие-то сомнения в убедительности Ваших графиков появились?

[gris]

Интересно, насколько тут важен синус?
Нельзя ли взять последовательность $\{\pi n\}^n$.
Или даже $\mathrm{rand}^n$, то есть возводимая в натуральные степени случайная величина, равномерно (?)распределённая на интервале $(0,1)$.

[Markiyan Hirnyk]

grizzly
Нет. Вы не привели убедительных аргументов. Впрочем, я ничего не утверждал и не доказывал, просто привел результаты математического эксперимента, сделанные при помощи Мэйпла. Они наводят на предположение, что единственной предельной точкой последовательностм $\sin(n)^n$ является $0$.

[g______d]

RIP в сообщении #1262496 писал(а):

Возьмите, например, n=16596120839337488210486257463541589676929944890483302855806560015216651929340340573573873586873615346178807166362103011246608155705072771649283.

[grizzly]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1270775 писал(а):

Нет. Вы не привели убедительных аргументов.

Я могу только посочувствовать. А ведь Вы только на этой неделе интересовались теоремой Бореля, помните? И могли бы сами подумать, как связана с числом $\pi$ та последовательность, на которую я сослался, и что такую же последовательность можно построить для числа $\pi/2$. Я Вам должен буду целыми страницами объяснять, почему для косинуса нужно брать дроби $\pi$, а для синуса -- $\pi/2$? Увольте, это форум, а не бесплатное репетиторство.

-- 01.12.2017, 19:55 --

Вычисляйте числители подходящих дробей числа $\pi/2$ и будет Вам счастье.

[worm2]

(Оффтоп)

Markiyan Hirnyk в сообщении #1270760 писал(а):

Digits := 100; evalf(sin(69)^69, 20);
                                           
                  -1.3552703774627226772 10 ^(-65)  
evalf(cos(69)^69, 20);
                     0.63281467140710724578
evalf(cos(4948)^4948, 20);
                     0.83879261686763102180

Я прошу прощения за оффтопик. Но просто вопрос возник (к тем, кто хорошо знает Maple).
Я вижу, что evalf вычисляет с меньшим числом верных знаков, чем указано.
Например, $\cos^{4948}(4948)=0.83879261686763101195...$, видим, что evalf врёт в 17-м знаке.
На 99% я уверен, что причина в следующем: при приведении аргумента косинуса к отрезку $[0, \pi]$ Maple берёт число $\pi$ с точностью 20 знаков, хотя в данном случае для достижения требуемой (десятичной) точности результата нужно прибавлять к ней (десятичный) логарифм модуля аргумента, т.е. здесь понадобится 23-24 знака $\pi$.
Так вот, вопрос к залу: неужели Maple об этом не знает?
Пожалуй, нет, скорее всего, знает. Вероятно, он сознательно идёт на это, чтобы производительность была предсказуемой для пользователя. Хотя... если быть хитрее и использовать формулы синуса/косинуса $n$-кратного угла.... всё, всё, сворачиваю лавочку.

[Markiyan Hirnyk]

g______d

restart; Digits := 1000: evalf(sin(16596120839337488210486257463541589676929944890483302855806560015216651929340340573573873/
586873615346178807166362103011246608155705072771649283)^16596120839337488210486257463541589676929/
944890483302855806560015216651929340340573573873586873615346178807166362103011246608155705072771649283, 940);

-.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999/
99999999999999999999999999999999999999999999999937021070628561924142868090172029478396976831793521/
59983139054366434654061713716854138165190382107001893259242473723899580564290763851239230630245538/
51883306330750964296629608192626106627883862923930374015022811604513943047589394818716277294180496/
20447649557247835907990848698335551687799921325511936707188520215314351940174263348039254102895998/
77694166337901480130696084349439669628668771472285042921341663056765954944295779418961595147494532/
18474687947946910153019738172049573110256016208975019908056565441178696197427024141356320924106883/
27961185537264598641436801643321425857886620122595732040653651860143966417773576891313393205708909/
00508716061490871417856765405030552706469721187913187455721046421666457541424105051349351890996489/
312208045684494166263170727951760000915638533401415460677902

Как найдено это натуральное число? Действительно, возможно, что $-1$ и $1$ тоже предельные точки.

-- 01.12.2017, 19:19 --

worm2

Цитата:

Например, $\cos^{4948}(4948)=0.83879261686763101195...$, видим, что evalf врёт в 17-м знаке

Вот точнее

Digits := 1000: evalf(cos(4948)^4948, 990);
.83879261686763101195378740057841472867687789944100861735628437050331713365721650009966665168083361792/
261770907413711159462474541086813449076089809138174195974515629553774466487164723432326088515422282858/
066420887682606260188666684490236087702076819078978986394856771457377909051916198089787298342558416085/
307074518929989126177347729473823971263066974627108137860676619527390445394830579487366956815238892761/
794721916746657601485040086943799738265398596881139865387650638875356922440463566155835041869321719256/
991010828901333741647805859446871018455113385541322416691368102331368051787768772574346032524541240138/
811542333692898300372142366954016009223717473724087732077248662030536985610125534357078283637247530140/
351811915154604674754579098643294695110474960190024786039675292507293657281472362817118487064037095281/
334859032639711468833623568250642910992624264616576206977285582737617429531743193063004264043484719596/
9896074000709402537394716847019744843536784775312185128985870420121105400

Ваше замечание по делу, но это непринципиально.

[worm2]

(Кто о чём, а флудер о бане)

В последнем выражении ошибка в 799-м знаке после запятой. Хотя нет, теперь оно уже не последнее, имею в виду то, в котором точность 940 задавалась. А реальная точность 799

-- Пт дек 01, 2017 22:28:17 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1270784 писал(а):

Пожалуйста, обоснуйте

Поставьте больше точности в evalf, не 20, а 30, 40, 50, и убедитесь самостоятельно. У меня Mapl'а нету. О, вижу, что уже поставили. Вот. Мой оффтоп не имеет отношения к сути вопроса, для него точность более чем достаточная.

[RIP]

gris в сообщении #1270773 писал(а):

Интересно, насколько тут важен синус?

Синус тут важен постольку, поскольку там, где он равен $\pm1$, его производная равна $0$. По этой же причине косинус тоже сгодится.

gris в сообщении #1270773 писал(а):

Нельзя ли взять последовательность $\{\pi n\}^n$?

Здесь вопрос сводится к тому, ограничена ли последовательность неполных частных для $\pi$ с чётными номерами (то есть $a_{2n}$, где $\pi=[a_0;a_1,a_2,a_3,\dotsc]$). Если $\sup a_{2n}=+\infty$, то множество всех предельных точек — это весь отрезок $[0,1]$. В противном случае $\limsup\{\pi n\}^n\in(0,1)$.