Задача о движении жидкости во вращающейся трубе

[reterty]

Привожу вывод вышеупомянутого уравнения для $\omega(r, t)$, исходя из основного уравнения динамики вращательного движения (альтернатива Навье-Стоксу).
Рассмотрим цилиндрический слой жидкости толщиною $dr$ и высотою $z$, находящийся на расстоянии $r$ от оси цилиндра. Имеем: $dJ \frac {\partial \omega}{\partial t}=(F_r-F_{r+dr})r$. Здесь $F$ - сила вязкости. Далее, $dJ=r^2 dm=r^2\rho z 2 \pi rdr$.
Используя формулу Ньютона для силы вязкого трения, будем иметь: $F_r=-\eta\frac{\partial \upsilon}{\partial r}z 2 \pi r$, $F_{r+dr}=-\eta\left(\frac{\partial \upsilon}{\partial r} +\frac{\partial ^2\upsilon}{\partial r^2}dr\right)z 2 \pi (r+dr)$. Тогда с учетом равенства $\upsilon=\omega r$ окончательно получим:
$\frac {1}{\nu}\frac {\partial \omega}{\partial t}=\frac{\partial ^2\omega}{\partial r^2}+\frac {3}{r}\frac {\partial \omega}{\partial r}+\frac {\omega}{r^2}$.
Здесь $\nu$ -кинематическая вязкость. Таким образом, появилась таки тройка во втором слагаемом но и вылезло третье слагаемое $\omega/r^2$ которого быть никак не должно. Где же вкралась ошибка?

[reterty]

Ну а решение "правильного уравнения"? получаемое методом разделения переменных (метод Фурье), следующее:
$\omega(r,t)=A \frac{J_1(\sqrt{-C}r)}{r}\exp(\nu Ct)$, где $J_1(x)$-функция Бесселя первого рода с порядком равным 1.

[fred1996]

Наконец то я дождался, что кто-то не полезет в ЛЛ, а сам ручками выведет это уравнение.
У меня получилось уравнение без третьего слагаемого. Так что ищите ошибку.
Подсказка. У вас должна вылезти вторая производная скорости по радиусу, а скорость $r\omega$.
Так что член с $\omega$ у вас просто сократится при вычитании однго момента сил из другого.

[reterty]

fred1996 в сообщении #1261415 писал(а):

Наконец то я дождался, что кто-то не полезет в ЛЛ, а сам ручками выведет это уравнение.
У меня получилось уравнение без третьего слагаемого. Так что ищите ошибку.
Подсказка. У вас должна вылезти вторая производная скорости по радиусу, а скорость $r\omega$.
Так что член с $\omega$ у вас просто сократится при вычитании однго момента сил из другого.

fred1996
Предлагаю "запузырить" статью совместную по этой задачке в American Journal of Physics. Им понравится)

[realeugene]

reterty в сообщении #1261411 писал(а):

Ну а решение "правильного уравнения"? получаемое методом разделения переменных (метод Фурье), следующее:

Это всё замечательно, но есть одна загвоздка. Это решение уравнения, но не решение исходной задачи про чашку с чаем. Осталось подобрать условия, при которых движение будет оставаться ламинарным. Например, вращается чашка с мёдом...

[reterty]

realeugene в сообщении #1261457 писал(а):

reterty в сообщении #1261411 писал(а):

Ну а решение "правильного уравнения"? получаемое методом разделения переменных (метод Фурье), следующее:

Это всё замечательно, но есть одна загвоздка. Это решение уравнения, но не решение исходной задачи про чашку с чаем. Осталось подобрать условия, при которых движение будет оставаться ламинарным. Например, вращается чашка с мёдом...

ротор линейной скорости в данной задаче ненулевой. Какое же это движение по Вашему? То что такое движение может быть неустойчивым и распадаться на отдельные мелкие вихри это уже другая проблема.

[realeugene]

reterty в сообщении #1261484 писал(а):

ротор линейной скорости в данной задаче ненулевой.

А это тут при чём?

[reterty]

reterty в сообщении #1261386 писал(а):

Привожу вывод вышеупомянутого уравнения для $\omega(r, t)$, исходя из основного уравнения динамики вращательного движения (альтернатива Навье-Стоксу).
Рассмотрим цилиндрический слой жидкости толщиною $dr$ и высотою $z$, находящийся на расстоянии $r$ от оси цилиндра. Имеем: $dJ \frac {\partial \omega}{\partial t}=(F_r-F_{r+dr})r$. Здесь $F$ - сила вязкости. Далее, $dJ=r^2 dm=r^2\rho z 2 \pi rdr$.
Используя формулу Ньютона для силы вязкого трения, будем иметь: $F_r=-\eta\frac{\partial \upsilon}{\partial r}z 2 \pi r$, $F_{r+dr}=-\eta\left(\frac{\partial \upsilon}{\partial r} +\frac{\partial ^2\upsilon}{\partial r^2}dr\right)z 2 \pi (r+dr)$. Тогда с учетом равенства $\upsilon=\omega r$ окончательно получим:
$\frac {1}{\nu}\frac {\partial \omega}{\partial t}=\frac{\partial ^2\omega}{\partial r^2}+\frac {3}{r}\frac {\partial \omega}{\partial r}+\frac {\omega}{r^2}$.
Здесь $\nu$ -кинематическая вязкость. Таким образом, появилась таки тройка во втором слагаемом но и вылезло третье слагаемое $\omega/r^2$ которого быть никак не должно. Где же вкралась ошибка?

Имеем: $F_r-F_{r+dr}=2 \pi \eta z dr\left( \frac{\partial \upsilon}{\partial r} +\frac{\partial ^2\upsilon}{\partial r^2}r\right)$. Далее, $\frac{\partial \upsilon}{\partial r}=\frac{\partial \omega}{\partial r}r+\omega$; $\frac{\partial ^2\upsilon}{\partial r^2}=\frac{\partial ^2\omega}{\partial r^2}r+2\frac{\partial \omega}{\partial r}$.
Тогда $F_r-F_{r+dr}=2 \pi \eta z dr\left( \frac{\partial ^2\omega}{\partial r^2}r^2+3\frac{\partial \omega}{\partial r} r+\omega \right)$. ... и ни с чем $\omega$, стоящее в скобке, не сокращается(((

[fred1996]

reterty
Если вращение происходит с постоянной угловой скоростью, результирующая сила должна быть ноль. То есть движение с постоянной угловой скоростью должно удовлетворять уравнению. А у вас нет.

[reterty]

fred1996 в сообщении #1262454 писал(а):

reterty
Если вращение происходит с постоянной угловой скоростью, результирующая сила должна быть ноль. То есть движение с постоянной угловой скоростью должно удовлетворять уравнению. А у вас нет.

Уважаемый fred1996! Вы абсолютно правы. И я это понимал, когда писал. Но не вижу я ошибку в выводе. Со стороны всегда виднее. Гляньте плз, вывод то простой

[fred1996]

Подсказка.
У вас сила пропорциональна градиенту скорости в инерциальной системе. Во вращающейся системе нужно брать градиент относительной скорости в самой системе.

[reterty]

fred1996 в сообщении #1262491 писал(а):

Подсказка.
У вас сила пропорциональна градиенту скорости в инерциальной системе. Во вращающейся системе нужно брать градиент относительной скорости в самой системе.

Я и беру, с учетом того, что во вращающейся системе скорость изменяется в радиальном направлении не только за счет изменения радиуса но и за счет измения угловой скорости как функции от радиуса.

[fred1996]

Так вот та, которая изменяется за счет изменения радиуса при постоянной угловой скорости, она и не считается.

[svv]

reterty
У Вас остались вопросы?

-- Пн ноя 06, 2017 22:12:37 --

Разделим вращающуюся жидкость цилиндрической поверхностью $r=\operatorname{const}$ на две части — внешнюю и внутреннюю. Выделим малый участок на цилиндрической поверхности. Благодаря вязкости внешняя часть действует через этот участок на внутреннюю с силой, направленной по касательной. Пусть поверхностная плотность силы равна $\sigma$.

Давайте разобьём проблему на две.
1) Почему $\sigma=\eta\left(\frac{\partial v}{\partial r}-\frac{v}{r}\right)$, а не $\sigma=\eta\frac{\partial v}{\partial r}$, вопреки формуле Ньютона?
2) Как, имея правильную формулу для $\sigma$, получить правильное уравнение для $v$?

[reterty]

svv в сообщении #1262885 писал(а):

reterty
У Вас остались вопросы?

-- Пн ноя 06, 2017 22:12:37 --

Разделим вращающуюся жидкость цилиндрической поверхностью $r=\operatorname{const}$ на две части — внешнюю и внутреннюю. Выделим малый участок на цилиндрической поверхности. Благодаря вязкости внешняя часть действует через этот участок на внутреннюю с силой, направленной по касательной. Пусть поверхностная плотность силы равна $\sigma$.

Давайте разобьём проблему на две.
1) Почему $\sigma=\eta\left(\frac{\partial v}{\partial r}-\frac{v}{r}\right)$, а не $\sigma=\eta\frac{\partial v}{\partial r}$, вопреки формуле Ньютона?
2) Как, имея правильную формулу для $\sigma$, получить правильное уравнение для $v$?

Уважаемый svv!
Меня для начала все же интересует пункт 1). Из школьного курса мне известно, что при переходе в неинерциальную СО добавляются две ( в общем случае) силы инерции.
а вот как перенормируется градиент в ней, найти строгого математического обоснования не могу.