Вероятность падения частицы в одну из потенциальных ям

[fred1996]

realeugene в сообщении #1245243 писал(а):

Munin в сообщении #1245242 писал(а):

А потом лепит задачу, в которой не справляется именно это и сделать.

А мне показалось, что он это специально сделал, из вредности, так сказать. Возможно, хотел проиллюстрировать важность задания исходного распределения вероятностей. Но получилось плохо.

А я просто уверен в этом. И мне кажется, что он своей цели таки достиг. :).
Хотя, согласен с Munin, это можно было делать и в более вежливой форме.
Но, по крайней мере мы выяснили, что если в одних случаях вероятностная мера задается естественным образом (см. мои задачи), а в других, типа представленной, нужно строго оговаривать что имеется ввиду. Ну по крайней мере я для себя это уяснил. Хотя вначале мне это не казалось существенным в силу малого опыта в этой области теормеха.

Строго говоря я бы не отнес эту задачу к тому что подразумевается под "олимпиадными" задачами. Решается она достаточно straightforward. То есть изюминки в ней не вижу. Ну кроме того чтобы побазарить на тему о вероятностных мерах.

[realeugene]

amon в сообщении #1245252 писал(а):

То есть длину параболы $y=x^2$ вычислять категорически запрещено ;)?

В физике - да, категорически запрещено, если $x$ и $y$ - это пространственные координаты. Потому что уравнение пространственной параболы $y=a x^2$, где коэффициент $a$ размерный и зависящий от выбора единиц измерения длины. Которые, кстати, по разным осям могут быть разными, мили, например, и футы. В авиации до сих пор так.

amon в сообщении #1245252 писал(а):

Ведь там $dl^2=1+(2x)^2,$

Ну а это и в математике запрещено. Точнее, ложно, так как в математике запрещены только выражения, записанные с нарушением правил языка логических выражений. Но левая часть у вас - это бесконечно малая, а правая - нет. В стандартных обозначениях это равенство невозможно.

-- 05.09.2017, 08:38 --

fred1996 в сообщении #1245257 писал(а):

Строго говоря я бы не отнес эту задачу к тому что подразумевается под "олимпиадными" задачами. Решается она достаточно straightforward. То есть изюминки в ней не вижу.

Поэтому её никто и не решает, а занимаются более интересными обсуждениями физических размерностей. Впрочем, изюминка в исходной задаче ещё может оказаться, вдруг, если потери энергии за петлю выразятся как-то просто. Скорость потери энергии пропорциональна кинетической энергии, так что, а вдруг? Но сомневаюсь, а иначе нужно просто уметь интегрировать дифур и строить ряд из петель от нуля до нуля. Что скучновато.

[Munin]

fred1996 в сообщении #1245257 писал(а):

если в одних случаях вероятностная мера задается естественным образом (см. мои задачи)...

О да, а вы весь в белом. Надо ещё посмотреть, что у вас там естественно, а что противоестественно.

[pogulyat_vyshel]

Munin в сообщении #1245186 писал(а):

pogulyat_vyshel в сообщении #1245158 писал(а):

причем любые начальные условия $x(0),\dot x(0)$, удовлетворяющие (1) считаются равновероятными.

Как-то некорректно после вашего пафоса.

mea culpa, давайте так: если бы диссипативной силы не было ($\gamma=0$), то в гамильтоновой системе на уровне интеграла энергии можно ввести каноническую инвариантную меру. В нашем случае это делается так. Замкнутая кривая уровня энергии $h$ это проекция периодического решения c периодом $T$ (пока считаем что $\gamma=0$). Параметризуем нашу кривую временем этого решения. Инвариантная мера на кривой следующая:$dt/T$
Вот будем считать. что в диссипативной системе распределение равномерно в смысле этой меры (Которая, конечно теперь в диссипативном случае неинвариантна, да и энергия не сохраняется)

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1245323 писал(а):

Которая, конечно теперь в диссипативном случае неинвариантна, да и энергия не сохраняется

Иными словами, это мера на кривой, пересекающей различные уровни энергии, а по условию задачи рассматривается мера на кривой, соответствующей одному уровню энергии.

Если вы это всё серьёзно, а не из вредности, то незачёт.

[dsge]

realeugene в сообщении #1245328 писал(а):

Иными словами, это мера на кривой, пересекающей различные уровни энергии, а по условию задачи рассматривается мера на кривой, соответствующей одному уровню энергии.

Нет, эта мера будет на одном уровне энергии; другое дело, что этот уровень уже не будет инвариантным множеством, как был в консервативном случае.

[Munin]

realeugene в сообщении #1245328 писал(а):

Если вы это всё серьёзно, а не из вредности, то незачёт.

Не, а меня устраивает.

[amon]

realeugene в сообщении #1245284 писал(а):

Но левая часть у вас - это бесконечно малая, а правая - нет.

Ну, на описки можно было бы и не обращать такого внимания - ну, забыл $dx^2$, ну - идиот, сути дела это не меняет. За это Вам и искренне уважаемому Munin'у вопрос в порядке легкого троллинга.

realeugene в сообщении #1245284 писал(а):

В физике - да, категорически запрещено, если $x$ и $y$ - это пространственные координаты.

Вот, взял я лист бумаги, курвиметр, нарисовал оси, разметил их курвиметром (в сантиметрах) и нарисовал параболу $y=x^2$. Посчитал длину параболы по "неправильной" формуле $l=\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+(2x)^2}dx,$ а потом сравнил с длиной, измеренной курвиметром. Результаты неожиданно совпали. Это я запрещенной физикой занимался? Если с этим справились, то тогда другой вопрос. Я тем же способом нарисовал кривую $\frac{m\dot{x}^2}{2}+V(x)=h$ и проделал те же манипуляции. Чем этот случай отличается от предыдущего?

-- 05.09.2017, 17:30 --

realeugene в сообщении #1245284 писал(а):

Впрочем, изюминка в исходной задаче ещё может оказаться

IMHO, самый простой способ решения исходной задачи такой. Выберем в качестве начального условия положение точки в максимуме потенциала и $\dot{x}=0$ и решим уравнение движения в обращенном времени (заменим $t\to-t$). Такое решение будет сепаратрисой решений, падающих в разные минимумы. Осталось найти пересечение этого (этих) решений с кривой $h=\operatorname{const}$ и сосчитать соответствующие длины дуг.

[fred1996]

amon в сообщении #1245390 писал(а):

realeugene в сообщении #1245284 писал(а):

Впрочем, изюминка в исходной задаче ещё может оказаться

IMHO, самый простой способ решения исходной задачи такой. Выберем в качестве начального условия положение точки в максимуме потенциала и $\dot{x}=0$ и решим уравнение движения в обращенном времени (заменим $t\to-t$). Такое решение будет сепаратрисой решений, падающих в разные минимумы. Осталось найти пересечение этого (этих) решений с кривой $h=\operatorname{const}$ и сосчитать соответствующие длины дуг.

Ну да, мне тоже пришел в голову такой вариант. В нем сила трения становится разгоняющей.
В каких-то задачах я даже применял этот прием.
Кстати, в изначальной задачке можно сосчитать и максимальное число пересечений точки $x=0$ при заданной нулевой начальной скорости. Просто для достаточно больших высот можно для каждой точки траектории вычислить свою терминальную скорость, которая будет равна:
$U=\frac{Mg}{\gamma}\frac{\dot{V}}{\sqrt{1+\dot{V}^2}}$
Здесь $\dot{V}=\alpha x(4x^2-3(b_- +b_+)x+2b_-b_+)$

[realeugene]

amon в сообщении #1245390 писал(а):

Результаты неожиданно совпали. Это я запрещенной физикой занимался?

Кто же вам уже что-либо запретит? Вы уже в школе отучились. Можете делать теперь что угодно. Двойку вам за это больше никто уже не поставит. Но не видеть в этой "неправильной" формуле спрятанные размерности, которые вы просто не написали, нехорошо.

amon в сообщении #1245390 писал(а):

Я тем же способом нарисовал кривую $\frac{m\dot{x}^2}{2}+V(x)=h$ и проделал те же манипуляции. Чем этот случай отличается от предыдущего?

Простите, но "тем же способом" у вас не получится. У вас по осям написаны сантиметры, а в формуле джоули, или, может быть, эрги, или ещё что-нибудь. Вам нужно выбрать какой-то переводный коэффициент из джоулей в сантиметры, чтобы отобразить график этой функции на вашем листе бумаги. И, в зависимости от этого произвольно выбираемого коэффициента, вы по вашей обезразмернной формуле будете получать различную "длину кривой", и, даже, различное отношение длин между равными долями кривой по оси абсцисс. Какую из длин вы произвольно выберете в качестве правильной?

Если от вашего произвольного выбора координат изменяется измеримый ответ физической задачи, то, простите, но это уже не физика. Результат эксперимента не может зависеть от того, в каких именно единицах размечена ваша линейка. До тех пор, пока потенциально наблюдаемый результат получается одинаковым, делайте что угодно, но не далее.

-- 05.09.2017, 20:51 --

amon в сообщении #1245390 писал(а):

Выберем в качестве начального условия положение точки в максимуме потенциала и $\dot{x}=0$ и решим уравнение движения в обращенном времени (заменим $t\to-t$).

Да, конечно, но с одной поправкой. С вашими начальными условиями решение $x(t)=0$. Нужно брать в качестве начальных точки вблизи максимума потенциала, но не на самом максимуме, устремив предел к максимуму. Точки слева и справа дадут два различных раздела решений для двух вариантов конечного направления скорости.

[arseniiv]

(Про длины.) Иначе говоря, на таком условном листе бумаги среди эллипсов нельзя выделить окружности, а среди параллелограммов ромбы и прямоугольники (и квадраты), можно только находить площади-скаляры (в отличие от совсем уж скучного аффинного пространства, где площади можно брать только псевдоскалярные (в смысле бивекторные); форма объёма говорит, какая из них принимается единичной). Симметриями такого листа являются только преобразования, оставляющие такие площади на месте и имеющие вид $a_1\mathbf v_1 + a_2\mathbf v_2\mapsto ca_1\mathbf v_1 \pm c^{-1}a_2\mathbf v_2$, где $(\mathbf v_1,\mathbf v_2)$ — какой-нибудь базис.

[amon]

realeugene в сообщении #1245418 писал(а):

Простите, но "тем же способом" у вас не получится.

Что значит "не получится"? Ответ, полученный с помощью интеграла, не совпадет с результатом измерения курвиметром, или я нарушу некие религиозные запреты, запрещающие добропорядочным людям заниматься такой ерундой и господь меня за это покарает прежде чем мне удастся закончить это занятие? И Вы не ответили на вопрос почему в первом случае всё сошлось, хотя под корнем складывались величины разной размерности (напоминаю, что $x$ я мерил в сантиметрах, и $\sqrt{1+(2x)^2}$ по наивным соображениям величина бессмысленная).

[realeugene]

amon в сообщении #1245423 писал(а):

Что значит "не получится"?

Не удастся нарисовать график функции.

amon в сообщении #1245423 писал(а):

И Вы не ответили на вопрос почему в первом случае всё сошлось, хотя под корнем складывались величины разной размерности (напоминаю, что $x$ я мерил в сантиметрах, и $\sqrt{1+(2x)^2}$ по наивным соображениям величина бессмысленная).

Ответил. Вы, просто, не написали размерный коэффициент в своей формуле. У вас исходная формула $y=a x^2$, где $a=1/cm$. Элемент длины такой кривой равен $dl=\sqrt{1+\left(2ax\right)^2}dx$. То, что вы забыли про коэффициент $a$ не означает, что его можно опускать, если писать всё аккуратно.

Возьмите миллиметровку и нарисуйте свой график в миллиметрах, а не в сантиметрах. Он будет выглядеть иначе. Нарисуйте и положите графики рядом для сравнения, если мне не верите.

[amon]

realeugene в сообщении #1245427 писал(а):

Не удастся нарисовать график функции.

Это потому, что господь покарает за богохульство? Мне всегда казалось, что график $y=\pm\frac{2}{m}\sqrt{h-V(x)}$ я в состоянии нарисовать. Видимо переоценивал свои возможности.

[realeugene]

amon в сообщении #1245430 писал(а):

Мне всегда казалось, что график $y=\pm\frac{2}{m}\sqrt{h-V(x)}$ я в состоянии нарисовать.

А нарисуйте-ка. В сантиметрах.