Вероятность падения частицы в одну из потенциальных ям

[realeugene]

amon в сообщении #1245706 писал(а):

Если все фиксировано - то можно.

Всё равно нельзя.

Мне уже сложно понять, где именно вы не понимаете, поэтому, вернёмся к исходной задаче. В этой задаче требуется задать некоторое вероятностное распределение начальных условий. Не существует никакого следующего из теормеханических соображений "естественного" их распределения. Почему? Потому что теоремы теормеха связывают различные точки фазового пространства для одной реализации случайного процесса, но никак не связывает начальные условия для различных реализаций. Как их задать - это целиком и полностью воля автора задачи.

[amon]

Munin в сообщении #1245708 писал(а):

Нет, правильный ответ озвучил ТС

Это ведь вопрос определений. С мерой уважаемого pogulyat_vyshel я сразу согласился и промолчал. А по негласным правилам нашего славного форума, если народ безмолвствует, то утверждение либо правильное, либо ни кто ничего не понял, и автор утверждения имеет возможность выбрать тот вариант, который ему больше нравится. Мне было интересно разобраться протаскивается ли стандартное статистическое определение равнораспределенности (одинаковое число состояний в ячейке $dp\,dq$) на одномерное многообразие, а заодно, в очередной раз, поиграть во фрика. Результат меня устраивает: протаскивается, но хрень получается.

Заодно повинюсь перед уважаемым realeugene. Из $\delta(H(p,q)-h)$ получается не моё $dl$, а аккурат мера ТС. Примерно так: вероятностная мера мера вводится как $\frac{\delta(H(p,q)-h)dp\,dq}{T}$, где $T$ - время движения по траектории. Тогда, переходя к канонически сопряженным переменным энергия-время, получим $\frac{\delta(E-h)dE\,dt}{T}$. Для равнораспределения (в этом смысле) по $E$ можно сразу проинтегрировать, и останется $\frac{dt}{T}$

[Munin]

amon

(Оффтоп)

amon в сообщении #1245948 писал(а):

а заодно, в очередной раз, поиграть во фрика.

Ох, поберегите нервы окружающих! :-)

[amon]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1245955 писал(а):

Ох, поберегите нервы окружающих!

А чего, я же ввел метрическую форму на симплектическом пространстве. Хреновую, зато свою! ;)

[pogulyat_vyshel]

Простая задача (сложная -- в теме про двойной маятник) Доказать, что в области $\frac{m}{2}\dot x^2+V(x)<h$ (по-прежнему $h>0$ и $\gamma>0$) система не имеет гладкого (даже непрерывного) первого интеграла $f(x,\dot x)$, который бы не был тождественной константой

[lel0lel]

pogulyat_vyshel
Если бы условии первой задачи прозвучало так: точка совершает периодическое движение, в произвольный момент времени включается сила трения. Найти вероятности обнаружить систему при $t\to\infty$ в точках экстремума потенциала. Думаю, что тогда не возникло бы этого многостраничного обсуждения. И хотя дальнейшие Ваши пояснения были как раз об этом, но было слишком поздно - задача так и осталась без решения, а Вы уже спешите в этой теме создать ещё одну задачу. Лучше дайте время - решить первую и обсудить решение.

[Munin]

amon в сообщении #1245969 писал(а):

А чего, я же ввел метрическую форму на симплектическом пространстве. Хреновую, зато свою! ;)

Ввести её немудрено ( я сам сколько раз вводил... ). Фокус в том, чтобы ввести её без произвола. А это не получится.

lel0lel
Остроумно!

[fred1996]

lel0lel в сообщении #1245987 писал(а):

pogulyat_vyshel
Если бы условии первой задачи прозвучало так: точка совершает периодическое движение, в произвольный момент времени включается сила трения. Найти вероятности обнаружить систему при $t\to\infty$ в точках экстремума потенциала. Думаю, что тогда не возникло бы этого многостраничного обсуждения. И хотя дальнейшие Ваши пояснения были как раз об этом, но было слишком поздно - задача так и осталась без решения, а Вы уже спешите в этой теме создать ещё одну задачу. Лучше дайте время - решить первую и обсудить решение.

Наверное такая постановка наиболее "физична". Хотя, не менее "физично" на мой взгляд, задать равновероятное распределение по длине кривой в начальный момент времени, или по оси $x$, или по оси $y$ с исключением множественной неопределенности. То же самое можно ввести и по начальному распределению скоростей. В общем сплошной волюнтаризм.

[arseniiv]

(И ещё о произволе)

Кстати, какую геометрию можно ввести на множестве всевозможных согласованных с нашей «формой площади» (пусть для простоты двумерный случай) метрическими? Это двумерное многообразие (зафиксируем одну из форм и параметризуем остальные длиной и направлением главной оси эллипсов, которыми являются с её точки зрения их единичные окружности), но что на нём есть ещё?

[lel0lel]

Потенциал $U(x)=a x^2(x-b)(x+c)$, где $a,b,c$ - положительные числа, имеет точку максимума при $x=0$ и две точки минимума, их координаты нам не пригодятся.
Рассмотрим случай бесконечно большого коэффициента трения $\gamma\to\infty$. Очевидно, что в этом случае, как только включается трение, частица практически сразу останавливается. Далее, если она остановилась не в точке экстремума, то частица бесконечно медленно сползает в одну из потенциальных ям. В противном случае частица так и остается в точке экстремума. Таким образом, вероятность обнаружить частицу в левой яме $\omega_{-}=t_{-}/T$, в правой $\omega_{+}=t_{+}/T$, здесь $t_{-}$ и $t_{+}$ времена пребывания в ямах при движении без трения ($t_{-}+t_{+}=T$). Вероятность обнаружить частицу в точке максимума равна нулю, так как есть лишь два момента времени когда такое возможно, а именно при прохождении максимума слева-направо и справа-налево. Этим моментам соответствуют две точки на кривой $U(x)+mv^2/2=h$ в фазовом пространстве, которые разделяют ее на две кривые. Каждая из кривых это фазовая траектория в какой-то определённой яме. Дальше отступать некуда - решаем уравнение движения $m \ddot{x}=-U'(x)$ с начальными условиями $x(0)=0, \dot{x}(0)=\sqrt{2h/m}$. По-моему, аналитически такое не решается, впрочем, даже если и решается, то будут такие "крокодилы", что пока будем выражать период колебаний из найденного решения отпадёт желание решать задачу. Решаем численно (разумеется, задав числовые значения параметрам задачи) и находим интересующие нас $t_{-}$ и $t_{+}$.

Представим теперь, что $\gamma$ стало конечным, но всё ещё достаточно велико. Cколько есть таких моментов времени (за период), в которые необходимо включить трение, чтобы точка остановилась ровно в максимуме? Конечно, их по-прежнему два. Только теперь трение нужно включать не в моменты прохождения максимума, а немного заранее, так как будет хоть и маленький, но не нулевой тормозной путь. Можно строго показать, что при любом ненулевом $\gamma$ таких моментов будет два. Примерный ход доказательства такой: найдём асимптотику при $t\to\infty$ решений, соответствующих движению частицы с трением, которая на бесконечности останавливается в точке максимума. Конечно, уже догадываемся, что в асимптотике должны быть затухающие экспоненты, но стоит получить честно. Поскольку в таких решениях при $t\to\infty$ частица уже бесконечно близка к $x=0$, то для исследования асимптотики, мы смело убираем из диффура все степени $x(t)$ старше первой. Имеем $m \ddot{x}=2 a b c\, x-\gamma \dot{x}$ (почти осциллятор с затуханием, только совсем не осциллятор, так как точка максимума, а не минимума). Решению с затуханием соответствует $x(t)\to A \exp\left(-\frac{t}{2m} (\sqrt{8 a b c m+\gamma ^2}+\gamma)\right)$. Можно теперь проинтегрировать диффур с трением в противоположном по времени направлении, начальные данные возьмём из асимптотики. Неопределённая константа $A$ не внесёт существенной ошибки, если взять начальное значение t_{\infty}$ достаточно большим, мы всё равно выйдем на кривую соответствующую экспонециальному затуханию в точке максимума. Выбираем сначала $A>0$, затем $A<0$. Строим обе интегральные кривые до тех пор пока не станет выполняться $U(x)+mv^2/2=h$. Таким образом, будут найдены две точки на фазовой кривой, в которых необходимо включать трение, чтобы остановка произошла в точке максимума. Дальше всё также как в случае бесконечного трения.

P.S. захотелось какие-нибудь цифры привести в этой задаче, а то ни каких вероятностей так и не посчитал. Но все же напишу! При $b=c$ и любом ненулевом $\gamma$ имеем $\omega_{+}=\omega_{-}=1/2$