Вероятность падения частицы в одну из потенциальных ям

[realeugene]

Munin в сообщении #1245230 писал(а):

Любую фигуру можно разбить на прямоугольники, пусть и бесконечное количество бесконечно уменьшающихся.

И на кривой поверхности?

[fred1996]

Чтобы примирить всех спорящих предлагаю следующий алгоритм.
Переформулируя условия задач, надо найти все точки на оси $x$, стартуя из которых наше тело за бесконечное время забирается на локальный максимум $x=0$. Таким образом ось $x$ разбиавется на чередующиеся отрезки, стартуя из которых тело попадает в одну из ям. Ну а дальше предоставляем ТС самому посчитать веса этих отрезков в фазовом пространстве по метрике, угодной ТС.

[amon]

2 Munin,
realeugene
Я так понимаю, что школьные соображения размерности не дают покоя? А каноническое преобразование $Q=r+2\alpha p,\;P=p-2\alpha r$ вас не смущают? (Если что - $\alpha$ это угол поворота, величина безразмерная). Вообще, классическая механика учит проще относится к школьным соображениям размерности. Касательно задачи. Поместим шарики в фазовом пространстве на кривую $h=\operatorname{const}$ и проследим за их судьбой. С разных участков кривой шарики прилетят в разные минимумы. Число шариков пропорционально, если вам так больше нравится, формальной длине участка кривой, с которой они прилетели: $N=\int dl$, где $dl=\sqrt{1+\left(\frac{d \dot{x}}{dx}\right)^2}dx$. Какие претензии к такому рассуждению? При фиксированных единицах, IMHO, никаких. К стати, автор про кривые ничего не говорил, он сказал, что

pogulyat_vyshel в сообщении #1245158 писал(а):

любые начальные условия $x(0),\dot x(0)$, удовлетворяющие (1) считаются равновероятными.

Так что все претензии с метрикой это не к нему, а ко мне. По-моему, задача вполне корректно поставлена, включая утверждение о заданности всех констант, фиксирующее систему единиц.

[realeugene]

amon в сообщении #1245233 писал(а):

Вообще, классическая механика учит проще относится к школьным соображениям размерности.

А теорвер учит ровно обратному. Равномерное распределение подразумевает, что вероятностная мера пропорциональна лебеговой.

realeugene в сообщении #1245238 писал(а):

А каноническое преобразование $Q=r+2\alpha p,\;P=p-2\alpha r$ вас не смущают? (Если что - $\alpha$ это угол поворота, величина безразмерная).

Вообще-то смущает. А вы всё правильно поняли в первоисточнике этой формулы?

amon в сообщении #1245233 писал(а):

школьные соображения размерности

Они не только школьные. Без размерностей жить нельзя.

[amon]

realeugene в сообщении #1245238 писал(а):

Равномерное распределение подразумевает, что вероятностная мера пропорциональна лебеговой.

Так это самое $\frac{1}{N}dl$ и есть вероятностная мера. Если очень хочется, её можно получить из интеграла $\int dx\,d\dot{x}\,\delta( \frac{m}{2}\dot x^2+V(x)-h)$

[realeugene]

amon в сообщении #1245239 писал(а):

Так это самое $\frac{1}{N}dl$ и есть вероятностная мера.

Если она зависит от выбора единиц измерения, то нет. Пространство событий не может зависеть от единиц измерения. Единицы измерения бывают только у случайных величин. И в зависимости от выбора единицы измерения времени, по вашей формуле получаются различные распределения по $x$ для одного и того же уровня энергии (выраженного в соответствующих единицах измерения).

-- 04.09.2017, 23:08 --

amon в сообщении #1245239 писал(а):

Если очень хочется, её можно получить из интеграла $\int dx\,d\dot{x}\,\delta( \frac{m}{2}\dot x^2+V(x)-h)$

Хочется. Покажете, как?

[Munin]

realeugene в сообщении #1245231 писал(а):

И на кривой поверхности?

Нет, на кривой теория более сложная. Но если на ней определена форма объёма (в двумерном случае имеющая смысл площади), то интегрируя с ней, можно тоже определять площади любых фигур.

Скобка Пуассона - это как раз форма объёма в случае двумерного фазового пространства. А вот в $2n$-мерном случае - ей нельзя уже придать такой смысл. Она является симплектической формой. Теория симплектических пространств - подобна теории римановых пространств, с той поправкой, что вместо метрической формы задаётся симплектическая - не симметрическая, а кососимметрическая. Есть книжки Арнольда на эту тему, впрочем, я их не одолел.

-- 04.09.2017 23:23:06 --

fred1996 в сообщении #1245232 писал(а):

Чтобы примирить всех спорящих

Кого примирять? Сначала на форум влезает человек, и всем хамит, что правильно надо задавать распределение вероятности. А потом лепит задачу, в которой не справляется именно это и сделать.

По-моему, пора всем давно пойти пить чай.

[realeugene]

Munin в сообщении #1245242 писал(а):

А потом лепит задачу, в которой не справляется именно это и сделать.

А мне показалось, что он это специально сделал, из вредности, так сказать. Возможно, хотел проиллюстрировать важность задания исходного распределения вероятностей. Но получилось плохо.

[Metford]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1245230 писал(а):

Любую фигуру можно разбить на прямоугольники, пусть и бесконечное количество бесконечно уменьшающихся.

Извините, что вмешиваюсь в этом месте. Может чего-то не понял просто... А зачем же тогда понятие квадрируемости вводят?..

[Munin]

amon в сообщении #1245233 писал(а):

Я так понимаю, что школьные соображения размерности не дают покоя?

Какие школьные? Аксиоматика многообразий со структурами, знаете ли.

amon в сообщении #1245233 писал(а):

А каноническое преобразование $Q=r+2\alpha p,\;P=p-2\alpha r$ вас не смущают?

Они сохраняют симплектическую форму. А должны - метрическую. Разница в том, что симплектическая форма - антисимметрическая (и в канонической форме состоит из клеток $\left(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}\right)$), а метрическая - симметрическая (и в канонической форме $\operatorname{diag}(1,\ldots,1)$). В симплектическом пространстве размерности "спарены" между собой, так что $2n$ измерений делятся на $n$ пар, и каждая пара "вращается" симплектической формой сама с собой.

amon в сообщении #1245233 писал(а):

Вообще, классическая механика учит проще относится к школьным соображениям размерности.

Однако, она ни разу не говорит, что размерности обобщённых координат и обобщённых импульсов равны между собой. Она говорит другое: что произведение этих размерностей должно быть равно размерности действия ($\hbar$). То есть, ровным счётом, что можно считать 2-мерные площади, натянутые на "спаренные" направления обобщённых координат и импульсов. И полный фазовый объём, размерности $[\hbar]^n.$

amon в сообщении #1245233 писал(а):

$N=\int dl$, где $dl=\sqrt{1+\left(\frac{d \dot{x}}{dx}\right)^2}dx$. Какие претензии к такому рассуждению?

$\tfrac{d \dot{x}}{dx}$ имеет размерность обратного времени, и её квадрат нельзя складывать с единицей.

amon в сообщении #1245233 писал(а):

Так что все претензии с метрикой это не к нему, а ко мне.

К нему тоже. Потому что, что значит "равновероятные", надо было доуточнить, а он решил нахамить.

-- 04.09.2017 23:56:37 --

realeugene в сообщении #1245243 писал(а):

А мне показалось, что он это специально сделал, из вредности, так сказать.

Возможно.

Metford в сообщении #1245244 писал(а):

Извините, что вмешиваюсь в этом месте. Может чего-то не понял просто... А зачем же тогда понятие квадрируемости вводят?..

Собственно, мою фразу при математической придирчивости надо читать как "достаточно хорошую фигуру (на достаточно хорошей поверхности)". Например, фигуру, ограниченную кусочно-гладкой линией. Физики при слове "фигура" представляют себе именно что-то такое. А вот математики - извращенцы, они мыслят контрпримерами, и выдумывают всякие сапоги Шварца и т. п. - лишь бы посадить в лужу собеседника, который пытался сказать что-то вполне невинное. Так что считайте, что все нужные оговорки я произнёс.

[Metford]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1245248 писал(а):

Физики при слове "фигура" представляют себе именно что-то такое. А вот математики - извращенцы, они мыслят контрпримерами, и выдумывают всякие сапоги Шварца и т. п. - лишь бы посадить в лужу собеседника, который пытался сказать что-то вполне невинное. Так что считайте, что все нужные оговорки я произнёс.

Да я не пытался посадить никого в лужу... И в таких вопросах я против деления на физиков и математиков. Я за корректность и уважительное к ней отношение. Кстати, не я первый здесь о чём-то подобном сказал. Ушёл.

[Munin]

Metford в сообщении #1245249 писал(а):

И в таких вопросах я против деления на физиков и математиков.

Да я не в смысле закорючки в дипломе, а скорее в смысле modus operandi. Для физика важна корректность физическая, а математическая ему побоку, математика для него инструмент. Как отвёртка: то она нужна, а то отложил в сторону.

[amon]

Munin в сообщении #1245248 писал(а):

$\tfrac{d \dot{x}}{dx}$ имеет размерность обратного времени, и её квадрат нельзя складывать с единицей.

То есть длину параболы $y=x^2$ вычислять категорически запрещено ;)? Ведь там $dl^2=1+(2x)^2,$ а $x$ - размерная величина. IMHO, тут вопрос в другом. Останется ли мера $dl$ инвариантной при разумной замене единиц измерения. Их ведь произвольно менять нельзя, поскольку одновременно меняются и $\alpha$ и $h$ и ещё много чего. Сей секунд мне в этом некогда разбираться, но надеюсь на днях это посмотреть. Да и уважаемый pogulyat_vyshel где-то гуляет, а я за него отдуваюсь.

[arseniiv]

По идее, размерности $dx, dy$ в случае с длиной параболы одинаковые, и $2x$ должно получиться безразмерным. Но что-то меня в этом рассуждении не устраивает.

-- Вт сен 05, 2017 03:16:12 --

Кажется, всё действительно должно быть правильно в том, что $x, y$ безразмерны. О чём-то подобном уже писалось.

А, ну и $dl^2 = dx\otimes dx + dy\otimes dy$ — это ведь симметрическая кв. форма. В случае с параболой она у нас есть, потому что пространство евклидово. А в обсуждаемом пространстве, действительно, её нет, а вместо неё упоминавшаяся выше форма, скажем, $\omega = dx\otimes d\dot x - d\dot x\otimes dx$. Можно ввести множество разных скалярных произведений, согласованных с данной формой в том смысле, что мы будем получать площадь параллелепипеда, натянутого на векторы, выраженную через угол между ними и длины, получаемые с помощью этого скалярного произведения — достаточно любые два вектора $\mathbf u,\mathbf v$, для которых $\omega(\mathbf u,\mathbf v) = 1$, назвать ортонормированным базисом. Если не путаю.

[Munin]

amon в сообщении #1245252 писал(а):

То есть длину параболы $y=x^2$ вычислять категорически запрещено ;)?

Нет, не запрещено, если нарисовать её на листе бумаги. Потому что он - метрический. Оси $x$ и $y$ имеют одинаковую размерность, отрезок вдоль $x$ можно повернуть вдоль $y.$

А вот если эта парабола - отражение физического закона с разными размерностями $x$ и $y,$ и вы её просто чертите на миллиметровке, то - нет, нельзя. Потому что вы произвольно выбрали масштабы по разным осям, могли бы выбрать другие, и тогда длина получилась бы другой. Что нелепость.

-- 05.09.2017 02:20:44 --

Метрическая и симплектическая формы - в каком-то смысле дополнительные друг к другу идеи. Их можно задать обе сразу - и тогда они дадут кэлерову (Kähler) форму (может быть, ещё с каким-то условием), которая есть аналог римановой метрики на комплексном многообразии. Кэлеровы многообразия имеют тензоры кривизны Римана и Риччи, аналогично римановым, а если они риччи-плоские, то называются многообразиями Калаби-Яу - уж это-то название, надеюсь, все слышали, из популярщины про суперструны.