Эквивалентность счетных множеств

[mihaild]

yafkin в сообщении #1242926 писал(а):

нужно было писать что не функция является последовательностью а значение аргументов функции являются элементами последовательнасти

Что такое "значения аргументов функции" я не знаю. Элементы последовательности - это элементы ее образа. (тут возникает некоторый конфликт - с одной стороны, последовательность - это множество, и уже зафиксировано, что такое "элементы множества", с другой - "элементы последовательности" - это нечто другое; но на практике с этим проблем кажется не возникает)
Определение "последовательность - это функция, такая что ..." - вполне нормально.

[yafkin]

учебники мы не критикуем.
а вот как согласуется доказательства равномощности счетных множеств с ZF1 это интересно.

[mihaild]

yafkin в сообщении #1242933 писал(а):

а вот как согласуется доказательства равномощности счетных множеств с ZF1 это интересно.

Нормально согласуется (только в терминологии автора книги ТС всё же "равномощность бесконечных счетных множеств" - просто счетные множества могут быть неравномощны).

[Mikhail_K]

yafkin в сообщении #1242933 писал(а):

а вот как согласуется доказательства равномощности счетных множеств с ZF1 это интересно.

В чём конкретно Вы видите противоречие?

[Someone]

mihaild в сообщении #1242929 писал(а):

с одной стороны, последовательность - это множество, и уже зафиксировано, что такое "элементы множества", с другой - "элементы последовательности" - это нечто другое

По-моему, стандартный термин — "члены последовательности".

[Sinoid]

Т.е. вы хотите сказать, что вот это

Sinoid в сообщении #1242817 писал(а):

бесконечное множество значении $f$ состоит из элементов конечного множества, только записанных бесконечной последовательностью в каком-либо порядке

не будет бесконечным множеством? Иными словами, бесконечное множество (по крайней мере, в этой книге) - это не только то, которое записывается бесконечной последовательностью своих элементов, но и то, в котором бесконечно много различных элементов, иными словами, для любого натурального $n>0$ и любого подмножества $\{a_{1},\, a_{2},\,\ldots\,,a_{n}\}$ исходного бесконечного множества существует в исходном множестве такой элемент $b$, что $b\neq a_{i}$ при $i=1,\,2,\,\ldots\,,n$, хотя среди $a_{i}$ могу быть и совпадающие?
А вот все элементы множества $\rho_{f}$ попарно различны же?

_Y_ в сообщении #1242859 писал(а):

Sinoid,а скажите пожалуйста, какой учебник Вы цитировали?

Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической логики.

[Mikhail_K]

Sinoid в сообщении #1242961 писал(а):

бесконечное множество значении $f$ состоит из элементов конечного множества

- это бессмыслица.

Множество либо конечное, тогда в нём конечное число элементов. Либо бесконечное, тогда оно состоит из бесконечного количества (попарно различных) элементов. Фразу "попарно различных" можно не произносить, потому что в множестве всегда элементы попарно различные; в множестве не может быть двух одинаковых элементов.

-- 25.08.2017, 16:41 --

Последовательность может быть (и должна быть!) бесконечной - в том смысле, что в ней есть элементы с любыми номерами.
Но множество членов этой последовательности (или, что то же самое, множество значений соответствующей функции) вполне может быть конечным.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1242961 писал(а):

бесконечное множество значении $f$ состоит из элементов конечного множества

Вообще непонятно, что это значит. Есть множество значений $f$, оно либо конечно (и тогда непонятно, что значит "бесконечное множество значений $f$"), либо бесконечно (и тогда непонятно, что значит "оно состоит из элементов конечного множества").

Sinoid в сообщении #1242961 писал(а):

для любого натурального $n>0$ и любого подмножества $\{a_{1},\, a_{2},\,\ldots\,,a_{n}\}$ исходного бесконечного множества существует в исходном множестве такой элемент $b$, что $b\neq a_{i}$ при $i=1,\,2,\,\ldots\,,n$, хотя среди $a_{i}$ могу быть и совпадающие?

Упражнение: доказать, что формулировки этого утверждения, в которой для существования $b$ требуется, чтобы все $a_i$ были попарно различны, и в которой не требуется, эквивалентны.

Вообще, возможно, у вас сложность в том, что вы пытаетесь как-то "упорядочить" элементы множества. По умолчанию никакого порядка нет, и фраза "в множестве два одинаковых элемента" смысла не имеет. Что-то может либо принадлежать множеству, либо не принадлежать.
Если есть непустое множество - то можно построить последовательность из некоторых его элементов - что значит, что существует функция из $\mathbb{N}$ в наше множество. Образ этой функции - это подмножество нашего множества, он может как совпадать, так и не совпадать со всем множеством. И один и тот же элемент множества может быть образом сразу нескольких натуральных чисел - в образе функции никак не учитывается, образом скольких чисел является данный элемент, важно только чтобы он был образом хотя бы одного.
Например, образы функций $f(n) = n \mod 2$ и $f(n) = \mathbb{I}_{\{42\}}(n)$ совпадают.

[Sinoid]

Mikhail_K в сообщении #1242925 писал(а):

На приведенных скриншотах нет понятия эквивалентности множеств

Третий скрин. только в окончании того параграфа написано, что равномощные множества по-другому называются равномощными.

[Mikhail_K]

Sinoid, цитата не моя. И фразу "равномощные множества по-другому называются равномощными" наверное тоже надо поправить

[Sinoid]

Mikhail_K в сообщении #1242963 писал(а):

в множестве не может быть двух одинаковых элементов.

Почему считают, что

Sinoid в сообщении #1242833 писал(а):

$\{1,\,1,\,2\}=\{1.\,2\}$

?

[permutation]

Множество $S$ конечно $\iff |S| = n$ для $n \in \mathbb N \cup \{0\}.$

К примеру, пусть $A = \{a, b, c, d\}.$ Тогда $|A| = 4,$ но $4 \in \mathbb N \cup \{0\}.$ По определению, $A$ конечное множество.

[arseniiv]

Sinoid
Во-первых, скажите, есть ли в той книге определение бесконечного множества, и какое. К всевозможным записям, обозначающим множество, оно не должно иметь отношения.

Sinoid в сообщении #1242972 писал(а):

Почему считают, что $\{1,\,1,\,2\}=\{1.\,2\}$

Потому что множество определяется полностью предикатом принадлежности элемента ему (иначе это называется аксиомой экстенсиональности — если для каждого элемента принадлежность его $s_1$ эквивалентна принадлежности его $s_2$, то $s_1=s_2$). $x\in\{1,1,2\}$ — это короткая запись формулы $x=1\vee x=1\vee x=2$, а $x\in\{1,2\}$ — короткая запись формулы $x=1\vee x=2$, а они эквивалентны.

[Mikhail_K]

Sinoid в сообщении #1242972 писал(а):

Почему считают, что

Объясню ещё так. По определению равенства множеств, два множества равны, если любой элемент первого множества входит во второе и любой элемент второго множества входит в первое. Проверьте это для Ваших множеств и убедитесь, что они равны.

[arseniiv]

permutation в сообщении #1242973 писал(а):

К примеру, пусть $A = \{a, b, c, d\}.$ Тогда $|A| = 4,$

Из контекста должно быть известно, что $a,b,c,d$ попарно различны. Иначе мощность может оказаться и 3, и 2, и 1.