Вероятность вернуться домой за n шагов (случайное блуждание)

[svv]

ET в сообщении #1236181 писал(а):

Зачем тут считают число путей?

Т.к. вопрос повторяется, я спрошу: Вы заметили, что, начиная с post1235719.html#p1235719, решается другая задача?

По поводу исходной — её быстро решили. Здесь практически явные формулы.

Возможно, следовало начать новую тему.

[Dmitriy40]

Aether в сообщении #1236226 писал(а):

Интересно, сходится ли такой ряд и к чему: $\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n \frac{1}{3}(1-\frac{(-1)^n}{2^n})$

Нет, не сходится: выражение в скобках очень быстро становится почти равным $1$ и ряд в итоге практически вырождается в $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3}$ - а такой ряд является знакопеременным и никуда не сходится, а колеблется между значениями $\approx -\frac{1}{3}$ и $\approx -\frac{2}{3}$ (равенства примерные для исходного ряда конечно). Последний вопрос (сходимость знакопеременного ряда) кстати один из основных простейших "на засыпку" по рядам (и прямо следует из определения сходимости) и разбирается в любом учебнике - следовало бы потребовать от Вас его [попыток] решения.

[Aether]

Dmitriy40 в сообщении #1236236 писал(а):

Нет, не сходится: выражение в скобках очень быстро становится почти равным $1$ и ряд в итоге практически вырождается в $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3}$ - а такой ряд является знакопеременным и никуда не сходится, а колеблется между значениями $\approx -\frac{1}{3}$ и $\approx -\frac{2}{3}$ (равенства примерные для исходного ряда конечно).

Да, я как раз и обратил на это внимание, только не знал как такое явление называется, оказывается "ряд колеблется между значениями", спасибо. Я как раз и имел ввиду, что он сходится сразу к 2-м значениям, при четных $n$ к одному, при нечетных к другому, но видимо так выражаться нельзя.

[ET]

Dmitriy40
Я это не считаю геометрической прогрессией, я сказал, что это должно легко сводиться к ней (подразумевая константа плюс геометрическая прогрессия)

-- Чт июл 27, 2017 15:50:25 --

(Оффтоп)

svv в сообщении #1236235 писал(а):

Т.к. вопрос повторяется, я спрошу: Вы заметили, что, начиная с post1235719.html#p1235719, решается другая задача?

По поводу исходной — её быстро решили. Здесь практически явные формулы.

Возможно, следовало начать новую тему.

Ок, не заметил, да, наверное, стоило

[Dmitriy40]

Aether в сообщении #1236238 писал(а):

не знал как такое явление называется, оказывается "ряд колеблется между значениями", спасибо.

Скорее это должно называться "не сходится к единственному числу" или "не имеет конечного предела частичных сумм". Я не уверен на 100% в математической корректности своих формулировок, потому опираться на них не стоит.

[wrest]

Aether в сообщении #1236233 писал(а):

Частичная сумма до четных членов последовательности включительно равна самим этим четным членам, а члены последовательности стремяться к $\frac{1}{3}$.

Не является ли это каким-то особым видом сходимости?

Нет :)
Ну например ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 1$ расходится (сумма стремится к бесконечности)
Возможно, вы путаете последовательности частичных сумм ряда и последовательности слагаемых в частичных суммах. Последовательность $1;1;1;1...$ сходится к единице, но соответствующий ряд, т.е. сумма из бесконечного количества единиц, расходится.

[Aether]

wrest в сообщении #1236241 писал(а):

Нет :)
Ну например ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 1$ расходится (сумма стремится к бесконечности)
Возможно, вы путаете последовательности частичных сумм ряда и последовательности слагаемых в частичных суммах. Последовательность $1;1;1;1...$ сходится к единице, но соответствующий ряд, т.е. сумма из бесконечного количества единиц, расходится.

Нет, в данном случае более подходящей аналогией будет ряд:$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n$ и вопрос в том, как правильно назвать поведение частичных сумм такого ряда при $n\to\infty$.

И кстати, в свете вышесказанного вот это:

wrest в сообщении #1236230 писал(а):

Расходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{3}(1-\frac{(-1)^n}{2^n})$ -- последовательность его частичных сумм стремится к бесконечности

мне кажется неверным, хотя я не уверен.

[wrest]

Aether в сообщении #1236242 писал(а):

и вопрос в том, как правильно назвать поведение частичных сумм такого ряда при $n\to\infty$.

Правильно назвать так: "последовательность частичных сумм этого ряда не имеет предела, ряд является расходящимся".
К этому можно добавить "у последовательности частичных сумм этого ряда есть верхний предел и нижний пределы равные минус единице и нулю". Можно также говорить о частичных пределах (пределах некоторых подпоследовательностей), что они равны минус единице и нулю.

[Dmitriy40]

Aether в сообщении #1236242 писал(а):

И кстати, в свете вышесказанного вот это:

wrest в сообщении #1236230 писал(а):

Расходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{3}(1-\frac{(-1)^n}{2^n})$ -- последовательность его частичных сумм стремится к бесконечности

мне кажется неверным, хотя я не уверен.

И зря, это так и есть. Такая частичная сумма с увеличением верхнего предела всё меньше и меньше отличается от простой $\operatorname{const}+\sum\limits_{n=1}^k\frac{1}{3}$, члены которой просто арифметическая прогрессия длины $k$, при возрастании $k$ её сумма стремится к бесконечности (есть даже прямая формула для суммы арифметической прогрессии).

-- 27.07.2017, 13:23 --

PS. Мне кажется или мы действительно постепенно переписываем сюда весь учебник по рядам, начиная с определений?

[svv]

Aether в сообщении #1236152 писал(а):

svv в сообщении #1236139 писал(а):

А Вы можете на всякий случай уточнить, чему равно $m_1$ для случаев $n\operatorname{mod}3=0, 1, 2$ ?

0,2,1?

Да, верно. Вы видите, что $m_1$ не равно просто остатку. Определим функцию:
$m_1(n)=\begin{cases}0,&\text{если}\;n\operatorname{mod}3=0 \\1,&\text{если}\;n\operatorname{mod}3=2\\2,&\text{если}\;n\operatorname{mod}3=1\end{cases}$

Aether в сообщении #1236128 писал(а):

x(n)=$\sum_{i=1}^k\frac{({n}-3(n\operatorname{div}3)+3(i-1)+1)({n}-3(n\operatorname{div}3)+3(i-1)+2)}{2}$, где $k=\lfloor{\frac{n+2}{2}}\rfloor-\lfloor{\frac{n+2}{3}}\rfloor$

Тут, наконец, появился знак суммы. С только что определённой $m_1$ будет
$x(n)=\sum\limits_{i=1}^k \dfrac{(m_1(n)+3(i-1)+1)\;(m_1(n)+3(i-1)+2)}{2}$
Это — исключительно для положительных $p$. А если вместе с отрицательными (но пока без $p=0$)?

[Aether]

wrest
Спасибо. Я думал, что под частичными суммами Вы подразумеваете также как и я суммы всех членов до x_n, а не сумму положительной и сумму отрицательной подпоследовательностей.

-- 27.07.2017, 14:32 --

svv в сообщении #1236246 писал(а):

Это — исключительно для положительных $p$. А если вместе с отрицательными (но пока без $p=0$)?

Умножить на 2? Вы ведь говорили о том, что случай положительных и отрицательных $p$ симметричны?

[wrest]

(Aether)

Вы отклонились от темы, если у вас есть вопросы по рядам, лучше создать новую.
Отвечаю тут по рядам последний раз.

Aether в сообщении #1236248 писал(а):

Спасибо. Я думал, что под частичными суммами Вы подразумеваете также как и я суммы всех членов до

Именно это я и подразумеваю. И напомню, что здесь post1236243.html#p1236243 я отвечал на ваш вопрос

Aether в сообщении #1236242 писал(а):

Нет, в данном случае более подходящей аналогией будет ряд:$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n$ и вопрос в том, как правильно назвать поведение частичных сумм такого ряда

[Aether]

(wrest)

wrest в сообщении #1236250 писал(а):

Именно это я и подразумеваю

Простите, но я говорил о Вот этом Вашем сообщении:http://dxdy.ru/post1236230.html#p1236230.

[Deggial]

Aether заблокирован как злостный клон.