2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Максвелловская релаксация и нарушение СТО
Сообщение27.06.2017, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
wrest в сообщении #1230042 писал(а):
То есть в нулевой момент меняется удельная проводимость шара и он становится из диэлектрика проводящим?

Например, фазовый переход. Лёд изолятор, вода проводник.

-- 27.06.2017 22:39:03 --

amon
Спасибо за подсказку!

-- 27.06.2017 22:39:51 --

А, уже вижу, что мои первоначальные мысли глупые :-)

-- 27.06.2017 22:49:45 --

Грубо говоря, "на пальцах", происходит следующее:
1) в электростатическом режиме $\nabla_3\mathbf{E}=4\pi\rho$ приводит к кулоновскому полю $\sim 1/r^2$ вокруг заряда;
2) когда заряд помещают на плоскость и "включают" проводимость, то начинает течь ток. так как он привязан к плоскости, и к электрическому полю, то в гальвано-статическом режиме (постоянный ток) $\nabla_2\mathbf{E}=4\pi\rho$ и поле вокруг заряда $\sim 1/r$;
3) в целом картина получается такая: при включении тока, вокруг исходного заряда по плоскости расходится "волна" "запирания" поля в плоскости: внутри круга $\nabla_2,$ вне круга $\nabla_3,$ на гребне волны начинается ток - подобно телеграфному уравнению со "ступенькой по времени". Скорость волны $\leqslant c.$
Точное решение похоже в цилиндрической системе координат и нерешаемо. Оценки "по порядку величины" можно сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максвелловская релаксация и нарушение СТО
Сообщение27.06.2017, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #1230056 писал(а):
Точное решение похоже в цилиндрической системе координат и нерешаемо. Оценки "по порядку величины" можно сделать.
Так Вы уже практически всё решили. Уравнения линейные, а заряд (начальный) - $\delta$-функция, а кто-то про функции Грина рассказывал, а они считаются через...

 Профиль  
                  
 
 Re: Максвелловская релаксация и нарушение СТО
Сообщение28.06.2017, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Нет, линейности я там не вижу.

-- 28.06.2017 00:17:55 --

amon в сообщении #1230060 писал(а):
Уравнения линейные

Вот это, кстати, у меня было такое заблуждение раньше, потом разобрался. Что мол, раз уравнения Максвелла линейные, то и всё будет линейным. Нифига. Если есть какие-то гранусловия, а всякие проводники, границы сред, материальные коэффициенты - это они и есть; - то перед нами система со связями. А связи могут сделать из линейной задачи нелинейную. Даже простейшая электростатика с проводниками - требует считать наведённые заряды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максвелловская релаксация и нарушение СТО
Сообщение28.06.2017, 00:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #1230075 писал(а):
Если есть какие-то гранусловия
Так ведь нет в этой задаче гран. условий - плоскость бесконечная, а все связи линейны.

-- 28.06.2017, 00:35 --

Точнее, есть линейное же условие - всё убывает на бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максвелловская релаксация и нарушение СТО
Сообщение28.06.2017, 02:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Одна проводящая плоскость чего стоит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максвелловская релаксация и нарушение СТО
Сообщение28.06.2017, 10:43 


05/09/16
9451
Парселл об этом пишет так (конец 4-й главы)
Цитата:
По-видимому дело в том, что для быстро протекающих явлений мы вообще не можем пользоваться значением удельного сопротивления для постоянного тока $\rho$. Тем самым ставятся под сомнение всякие количественные оценки времени релаксации.
Существует, однако, еще более глубокое основание подозревать, что история не окончена. Это -- тот любопытный факт, что наше время электрической релаксации $\tau = \rho /4\pi$, по-видимому, не зависит от размеров участвующей в релаксации области. Все это прекрасно, покуда область достаточно мала, но если при некотором конечном времени релаксации $\tau$ наша область хотя бы в одном направлении больше произведения $\tau$ на скорость света, тогда релаксация должна означать распространение перестройки зарядов со скоростью, большей $c$. Это несовместимо с теорией относительности. Таким образом, сразу видно, что если поведение электрических зарядов и полей должно согласоваться с постулатами специальной теории относительности, то в картину следует включить кое-что новое. Это и будет темой следующих глав.


Но в следующих главах конкретно к вопросу релаксации Парселл не возвращается.

Таким образом выходит, что вы воспользовались нерелятивистской наукой, хоть и отрицаете это. :roll:

К сожалению, у Парселла нет ответов на задачи и вопросы для обсуждения, а вопросы там как раз те, что хочется задать. Например вопрос 4.19, задача 5.8 и вопрос 5.10 имеют непосредственное отношение к этой вашей теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максвелловская релаксация и нарушение СТО
Сообщение28.06.2017, 11:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
6165
wrest в сообщении #1230122 писал(а):
релаксация должна означать распространение перестройки зарядов со скоростью, большей $c$. Это несовместимо с теорией относительности
Ну вот этот-то вывод ("это несовместимо с теорией относительности") неверен же. Возьмём магнитное поле и множество магнитных стрелок в нём, первоначально закреплённых. Если стрелки в какой-то момент отпустить, то получим "распространение перестройки стрелок с бесконечно большой скоростью", которое однако же явно не противоречит СТО.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максвелловская релаксация и нарушение СТО
Сообщение28.06.2017, 11:20 


05/09/16
9451
Есть еще мысль что $\tau$ можно вычислять по-другому -- как произведение емкости шара на его сопротивление, а и в емкость и в сопротивление войдет размер (радиус шара). Емкость шара с радиусом будет расти линейно, сопротивление (между центром и поверхностью) тоже будет расти (но не уверен что линейно). Так что и время релаксации будет расти по крайней мере пропорционально радиусу шара, а может и быстрее.

-- 28.06.2017, 11:41 --

warlock66613 в сообщении #1230128 писал(а):
Если стрелки в какой-то момент отпустить, то получим "распространение перестройки стрелок с бесконечно большой скоростью",

Очевидно, имеет место терминологическая неясность "распространения".

 Профиль  
                  
 
 Re: Максвелловская релаксация и нарушение СТО
Сообщение28.06.2017, 14:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
wrest в сообщении #1230122 писал(а):
К сожалению, у Парселла нет ответов на задачи и вопросы для обсуждения

Это значит, что читатель должен самостоятельно решить задачу правильно, и убедиться, что решил правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максвелловская релаксация и нарушение СТО
Сообщение28.06.2017, 15:39 


05/09/16
9451
Munin в сообщении #1230160 писал(а):
Это значит, что читатель должен самостоятельно решить задачу правильно, и убедиться, что решил правильно.

Конечно. Я, кстати, нашел решения (как я понял -- их написал сам Парселл).

(Оффтоп)

Решение задачи 5.10 меня разочаровало. Суть ее такая -- внезапно из ниоткуда возник заряд, что будет? Ответ: или из заряда мгновенно в бесконечность станут торчать линии напряженности что противоречит СТО т.к. вся Вселенная мгновенно узнает о событии, или не выполнится теорема Гаусса если линии будут расти с конечной скоростью.
Ну так это и так понятно, а я ожидал что разрушится Вселенная обсуждаются какие-нибудь бесконечности, а не просто "интеграл по сфере до которой не доросли линии будет нулевой, хотя сфера и содержит заряд".

 Профиль  
                  
 
 Re: Максвелловская релаксация и нарушение СТО
Сообщение28.06.2017, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #1230094 писал(а):
Одна проводящая плоскость чего стоит.
У нас Вы можете приобрести бесконечную проводящую плоскость по рекордно низкой цене - два тугрика за квадратную версту. Кроме того, Вам, как заслуженному участнику предоставляется любая конечная скидка! Плоскость заряжается за счет заведения!

Так вот, о плоскости. Решим сначала задачу в рамках электростатики. Опять танцуем от
$$
\begin{align}
&\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}\mathbf{j}=0\\
&\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E}
\end{align}
$$
только теперь проводимости, плотности и дивергенции двумерные (всё происходит в плоскости $XY$), и от $\mathbf{E}$ нас интересуют только две компоненты $E_x$ и $E_y$. Посему введем электростатический потенциал $\varphi$ и, поскольку на бесконечности все убывает, воспользуемся функцией Грина для $\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\rho$, сиречь, потенциалом точечного заряда. Тогда потенциал в плоскости будет
$$
\varphi(\mathbf{r})=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx'dy'\frac{\rho(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}
$$
Напуская на все это преобразование Фурье по координатам получим
$$
\begin{align}
\frac{d^2\rho(k,t)}{dt^2}+\sigma k^2\varphi(k,t)&=0\\
\varphi(k,t)=\frac{2\pi}{\varepsilon k}\rho(k,t)&
\end{align}
$$
После чего всё благополучно решается в Фурье-компонентах, и получается $\rho=e^{-\frac{2\pi\sigma k}{\varepsilon}t}$. Теперь обратным Фурье имеем искомое (там по дороге встретится противный интеграл вида $\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{1}{(vt+ir\cos(\varphi))^2}d\varphi$, где за $v$ обозначено $\frac{2\pi\sigma}{\varepsilon}$). Итого, ответ:
$$
\rho(r,t)=\frac{vt}{2\pi(v^2t^2+r^2)^{3/2}}
$$

Вот такая незатейливая задачка. Удивительно в ней то, что, по всей видимости, ее ни кто не решил до 1987 года, когда М.И.Дьяконов с А.С. Фурманом опубликовали это решение в ЖЭТФе (ЖЭТФ 92, 1012-1020 (March 1987)). Чем занимался народ предыдущие двести с лишним лет - непонятно. В этой статье есть опечатка (пропущено время в числителе последней формулы), которая ныне забавным образом кочует по другим работам. Кроме того, авторы сами обратили внимание на такое обстоятельство. У нас опять ни куда не вошла скорость света. А в данном случае ситуация серьёзнее, чем с релаксацией в объёме, но об этом чуть ниже. Если взять какие-нибудь рекордные подвижности в металлах или полупроводниковых гетерострукрурах, то $v$ окажется больше скорости света. Поэтому данная формула ограничена областью $v<c$. На эту тему возник легкий бум, и был исследован вопрос что же с этим делать (А.В.Чаплик, Письма в ЖЭТФ, том 101, вып.8, с.602–605; В.И Фалько, Д.Е. Хмельнцкий ЖЭТФ 95,1988-1992 (June 1989)), но про это я не буду, а то уже и так надоел.

Теперь последнее. О том, почему в трёхмерном случае мы не беспокоились о причинности, а тут вдруг заволновались. В первом случае результат был такой. Стоит длинная очередь, причем интервалы между стоящими везде одинаковые, кроме как в конце, где все стоят чуть по-плотнее. В какой то момент все посмотрели на часы и сделали одновременно один шаг, в конце - чуть побольше, в начале - чуть поменьше, а первый - вообще не сдвинулся. Вопрос - за какое время "плотность очереди" переместится на 100500 километров? Ответ - за время одного шага, какая бы не была длина очереди. Вопрос - могу я передавать таким способом сигналы? Ответ - естественно, не могу.

Теперь про двумерию. Возьмем металлический шар диаметром те самые 100500 километров, поднесем к нему заряд и будем наблюдать за результатом, сидя на противоположном конце диаметра шара. Внутри шара поле пропадет практически мгновенно, и когда я приложу заряд к поверхности, по поверхности побежит волна поверхностного заряда со скоростью $v$. Если все манипуляции с зарядами проделаны быстро, а шар большой, то электромагнитная волна еще долго будет его огибать, и поверхностная волна заряда имеет возможность прибежать раньше. Значит это решение, в отличии от Максвелловского, неточное. Все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максвелловская релаксация и нарушение СТО
Сообщение28.06.2017, 16:44 


05/09/16
9451
amon в сообщении #1230187 писал(а):
Вопрос - за какое время "плотность очереди" переместится на 100500 километров? Ответ - за время одного шага, какая бы не была длина очереди. Вопрос - могу я передавать таким способом сигналы? Ответ - естественно, не могу.

Это на случай когда заряд в центре диэлектрического шара был, все заряды по объему шара уже напряглись, а потом в шаре повсеместно и внезапно включили электропроводность.

Но в случае если внезапно включили заряд в центре металлического шара, поверхность шара узнает об этом самое раннее через $r/c$ так что раньше этого времени заряд на поверхности не всплывёт (а до этого интеграл напряженности по поверхности будет нулевой, хотя внутри поверхности заряд уже есть ;) ), а ваш первый пост был, как я понимаю, все-таки об этом.

-- 28.06.2017, 16:51 --

amon в сообщении #1230187 писал(а):
Внутри шара поле пропадет практически мгновенно,

Это что значит? Тот кто сидит внутри шара получит сверхсветовой сигнал о том что заряд коснулся поверхности шара? :shock:

amon в сообщении #1230187 писал(а):
Если все манипуляции с зарядами проделаны быстро, а шар большой, то электромагнитная волна еще долго будет его огибать, и поверхностная волна заряда имеет возможность прибежать раньше. Значит это решение, в отличии от Максвелловского, неточное. Все.

Туманно как-то, можете пояснее написать? Заранее спасибо.
Здесь кстати шар это или сфера -- значения не имеет? Или имеет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максвелловская релаксация и нарушение СТО
Сообщение28.06.2017, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
amon в сообщении #1230187 писал(а):
Значит это решение, в отличии от Максвелловского, неточное.

Дык в чём же неточность? Всё рассказали, кроме отгадки :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Максвелловская релаксация и нарушение СТО
Сообщение28.06.2017, 20:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #1230205 писал(а):
Дык в чём же неточность? Всё рассказали, кроме отгадки :-)
Дык, если в двух словах, в первом случае использовались релятивистски инвариантные уравнения Максвелла, а во втором - черте что и сбоку бантик, - потенциал в неинвариантной кулоновской калибровке, кусок уравнения непрерывности и прочее безобразие. Могло, конечно, и так получиться, но не повезло. Ещё о причинах недовольства ученых вторым результатом. В первом (трехмерном) случае параметром было время (в Гауссовой системе трехмерная проводимость имеет размерность обратного времени), то, что мы, поделив радиус на это время, получим скорость, так что поделим, то и получим. Если поделить среднее перемещение электрона, то получим более чем разумную цифру. В двумерии параметр - скорость (двумерная проводимость имеет размерность скорости), значит есть нечто материальное, распространяющееся со скоростью больше предельной, что не есть хорошо. Как улучшить ситуацию я пока не готов рассказывать - это поведет в дебри всяких плазмонов и дисперсий, а первую и вторую задачки могут решить все. Подобные поправки есть и для Максвелловской релаксации (так что, строго говоря, я слегка соврал, сказав что Максвелловское решение точное), но там сразу видно, что они малы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максвелловская релаксация и нарушение СТО
Сообщение28.06.2017, 20:59 


05/09/16
9451
amon
Так в итоге, если шар из меди радиусом одна световая секунда, гравитацией пренебрегаем. То какое будет время релаксации если в центре шара самовозникнет заряд?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 57 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group