Максвелловская релаксация и нарушение СТО

[amon]

Для развлечения почтенной публики предлагаю такой предмет для размышления. Рассмотрим такую задачку. Пусть в металлическом теле (для простоты - шаре) в центре в начальный момент есть заряд $\rho_0(r)$ (тоже для простоты сферически симметричный). Какова его дальнейшая судьба?

Напишем пару-тройку уравнений

$$ \begin{align} \operatorname{div}\mathbf{D}&=4\pi\rho\\ \frac{\partial\rho}{\partial t}&=-\operatorname{div}\mathbf{j}\\ \mathbf{j}&=\sigma\mathbf{E}\\ \mathbf{D}&=\varepsilon\mathbf{E} \end{align} $$

Из последних трех уравнений я получу
$\operatorname{div}\mathbf{D}=-\frac{\varepsilon}{\sigma}\frac{\partial\rho}{\partial t}$
и подставив все это в первое получим
$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{4\pi\sigma}{\varepsilon}\rho=0,$ откуда $\rho(\mathbf{r},t)=\rho_0(r)e^{-\frac{4\pi\sigma t}{\varepsilon}}$.
Т.е. в безграничной металлической среде заряд "исчезнет на месте" не расплываясь и не меняя формы. Если среда ограничена (шар), то заряд за время $\tau=\frac{\varepsilon}{4\pi\sigma}$ исчезнет в центре и появится на поверхности сферы (это время называется Максвелловским временем релаксации, поскольку этот результат первым получил сам Джеймс Клерк Максвелл).

Это присказка, теперь собственно сказка. Возьмем металлический шар диаметром километров 20 или больше с таким зарядом в центре. Через время $\tau$ заряд окажется на поверхности. Время перемещения заряда - $\tau$, не зависящее от радиуса. Так что при достаточно большом радиусе "время перемещения" заряда окажется короче, чем время прохождения светового сигнала $R/c$. Так что, заряды в металле могут перемещаться со скоростью больше скорости света? Или я с такой скоростью могу таким способом передавать сигналы?

Мне эту задачку недавно напомнил один умный человек на семинаре. Лет 20 назад этот вопрос (чуть в другой формулировке) даже широко обсуждался, и на эту тему было кое-что опубликовано вполне почтенными учеными. Сразу отметается предположение, что я пользовался нерелятивистской наукой. Уравнения Максвелла вполне себе релятивистски инвариантны (в том числе, и в среде), и недописанная пара уравнения на вывод закона релаксации не влияет. Так в чем фокус?

[Munin]

I. 4-вектор тока может быть пространственноподобным, никто ему не мешает.

II. Вы рассматриваете не "перемещение заряда", а решение уравнения матфизики с заданными начальными и граничными условиями. Оно выглядит как синхронное исчезновение заряда "тут" и появление "там". Но это ничего ровным счётом не говорит о том, с какой скоростью этот заряд перемещается (перемещение тут такое: в него вовлечены все заряды металлического шара (а если их будет мало, то нарушится закон Ома); все заряды могут сместиться на чуть-чуть и с малой скоростью, и этого хватит для наблюдаемого эффекта).

Чтобы разобраться с тем, что и как здесь на самом деле перемещается, и с какой скоростью, надо:

1) Взять исходное решение (заодно проверить, что оно верное решение уравнений Максвелла).
2) Возмутить его начальные условия.
3) Посмотреть, куда и с какой скоростью пойдёт последствие возмущения.

Здесь есть проблема: мы не можем внести произвольный заряд $dq$ в произвольное место шара, не принеся с зарядом его электрического поля, и соответственно, не возмутив начальных условий во всём окружающем пространстве. (Либо можно нарушить сферическую симметрию задачи.) Но эта проблема - проблема постановки задачи, а не проблема нарушения теории СТО.

За задачу и формулы спасибо, красивые.

-- 27.06.2017 02:59:39 --

Интересная идея.
Возьмём заряд в центре, и окружим его щелью в металле - просто прослойкой вакуума. Ток снаружи от прослойки всё равно пойдёт, и заряд на внешней поверхности большого шара всё равно возникнет :-) amon, отвечайте!

[wrest]

amon в сообщении #1229886 писал(а):

Т.е. в безграничной металлической среде заряд "исчезнет на месте" не расплываясь и не меняя формы. Если среда ограничена (шар), то заряд за время $\tau=\frac{\varepsilon}{4\pi\sigma}$ исчезнет в центре и появится на поверхности сферы (это время называется Максвелловским временем релаксации, поскольку этот результат первым получил сам Джеймс Клерк Максвелл).

Интересно что же это за время в секундах.
Подскажите, а что такое эпсилон и чему он примерно равен если шар металлический?
Сигма это удельная электропроводность и для металлов порядок будет $\sigma \approx 10^7$ $\text{Ом}^{-1}\text{м}^-1$, верно?

Подскажите еще пож-ста насчет начальных условий. Правильно ли я понял, что вдруг откуда ни возьмись, в центре проводящего шара появился заряд, нарушив закон сохранения заряда?

-- 27.06.2017, 10:24 --

Munin в сообщении #1229896 писал(а):

Возьмём заряд в центре, и окружим его щелью в металле - просто прослойкой вакуума. Ток снаружи от прослойки всё равно пойдёт,

Правильно ли я понял что условие вашей задачи такое: есть заряд, потом внезапно из ниоткуда вокруг него вдруг появляется замкнутая металлическая оболочка, не касающаяся заряда?

[Taus]

Писать закон Ома в таком виде для непостоянного тока, поскольку мы решаем задачу Коши, нельзя. Необходимо учитывать время релаксации импульса электронов в металле, чтобы найти $\mathbf{j}(\mathbf{r},t)$. В качестве простой модели можно взять модель Друде, которая заменит закон Ома. В этом случае скорость распространения возмущения будет конечной и меньше скорости света.

[amon]

Ну вот, пришел Munin и вся интрига пропала.

Taus в сообщении #1229928 писал(а):

Необходимо учитывать время релаксации импульса электронов в металле

Не нужно, поскольку в металле время Максвелловской релаксации меньше времени импульсной релаксации. При этом, проводимость определяется обычным транспортным временем, поскольку каждый электрон сдвинется на длину меньше длины свободного пробега, но электронов много, и усреднение по ансамблю произойдет как обычно.

wrest в сообщении #1229920 писал(а):

Интересно что же это за время в секундах.

Для меди $\tau=1.5\cdot10^{-19}$c. $\varepsilon$ с хорошей точностью можно считать единицей.

Munin в сообщении #1229896 писал(а):

Возьмём заряд в центре, и окружим его щелью в металле - просто прослойкой вакуума. Ток снаружи от прослойки всё равно пойдёт, и заряд на внешней поверхности большого шара всё равно возникнет

Конечно возникнет. Если мы возьмем заряд, засунем его в металлическую сферу, или чего там, и законопатим дырочку, через которую мы этот заряд засовывали, то, пока мы этим занимались, поверхность и внутренняя полость зарядится (причем поверхность сферы - равномерно). Если заряд приложить к поверхности полости, то полость разрядится, а заряд поверхности не изменится. Т.е. сверхсветовой телеграф опять не получился.
2Munin, а так же всем любителям поломать голову.
Раз так, получите задачу, из-за которой лет 30 назад весь этот сыр-бор разгорелся (ссылок пока не дам, что бы интригу не разрушать, если кто читал - гусары, молчать!). Теперь у нас есть двумерная плоскость (прекрасным аналогом является электронный канал, заквантованный в одном направлении, например, в МДП-структуре при низких температурах). Мы решает такую же задачу. В начальный момент положим заряд (для простоты - $\delta$-функцию) на эту плоскость. Как она будет расплываться? И что там будет с релятивистской причинностью?

[wrest]

amon в сообщении #1229940 писал(а):

Для меди $\tau=1.5\cdot10^{-19}$c. $\varepsilon$ с хорошей точностью можно считать единицей.

Чего-то не сходится. Удельная проводимость меди $\sigma \approx 6\cdot10^8$ $\text{Ом}^{-1}\text{м}^-1$, если $\varepsilon = 1$ то подставляем в $\tau=\frac{\varepsilon}{4\pi\sigma}$ и получаем $\tau = \frac{1}{4\pi 10^8} \approx 1,3\cdot 10^{-9}$, куда делись ещё 10 порядков?

-- 27.06.2017, 15:24 --

amon в сообщении #1229940 писал(а):

Теперь у нас есть двумерная плоскость (прекрасным аналогом является электронный канал, заквантованный в одном направлении, например, в МДП-структуре при низких температурах). Мы решает такую же задачу. В начальный момент положим заряд (для простоты - $\delta$-функцию) на эту плоскость. Как она будет расплываться? И что там будет с релятивистской причинностью?

Применим метод зеркальных отображений. Пока мы будем подносить заряд к плоскости-зеркалу, с обратной стороны зеркала наше отражение будет подносить заряд противоположного знака. В начальный момент заряды соединятся и ничего особенного не произойдет.

[amon]

wrest в сообщении #1229965 писал(а):

куда делись ещё 10 порядков?

Диэлектрическую постоянную вакуума потеряли. У меня все в Гауссовой системе. На вопрос

wrest в сообщении #1229920 писал(а):

Подскажите еще пож-ста насчет начальных условий

отвечу позже.

[Munin]

amon в сообщении #1229940 писал(а):

Теперь у нас есть двумерная плоскость (прекрасным аналогом является электронный канал, заквантованный в одном направлении, например, в МДП-структуре при низких температурах). Мы решает такую же задачу.

У меня вечно путаница с двумерными аналогами: что именно там двумерно, а что остаётся трёхмерным? Так что пожалуйста, выпишите задачу явно. Включая н. у., если можно :-)

[wrest]

amon в сообщении #1229940 писал(а):

$\varepsilon$ с хорошей точностью можно считать единицей.

Это же относительная диэлектрическая проницаемость? Единица у воздуха. Разве медь похожа на воздух или вообще на диэлектрик?

[amon]

Munin в сообщении #1229972 писал(а):

Так что пожалуйста, выпишите задачу явно.

Имеется двумерная бесконечная металлическая плоскость в трехмерном пространстве с двумерной проводимостью $\sigma$. В начальный момент мы имеем на этой плоскости заряд $\delta(x,y)$. Какое будет распределение заряда $\rho(x,y,t)$ через время $t$. То есть, плотность заряда и токи двумерны, а поля трехмерны.

wrest в сообщении #1229920 писал(а):

Подскажите еще пож-ста насчет начальных условий. Правильно ли я понял, что вдруг откуда ни возьмись, в центре проводящего шара появился заряд, нарушив закон сохранения заряда?

В каком-то смысле - так. Как правильно заметил Munin, искусственность задачи в том, что непонятно как удалось создать этот заряд и поле от него (а в "моем" решении молчаливо предполагается, что все поля устроились как от привнесенного заряда, но при этом почему-то другие заряды в металле не сдвинулись).

wrest в сообщении #1229980 писал(а):

Это же относительная диэлектрическая проницаемость? Единица у воздуха. Разве медь похожа на воздух или вообще на диэлектрик?

Когда мы рассматривали релаксацию заряда, то писали его плотность в уравнение для $\mathbf{D}$, то есть мы выделили плотность заряда свободных электронов из диэлектрической проницаемости в $\sigma$, и то, что останется - это поляризуемость решетки, а у металлов она не шибко большая.

[wrest]

amon в сообщении #1229988 писал(а):

В каком-то смысле - так. Как правильно заметил Munin, искусственность задачи в том, что непонятно как удалось создать этот заряд и поле от него (а в "моем" решении молчаливо предполагается, что все поля устроились как от привнесенного заряда, но при этом почему-то другие заряды в металле не сдвинулись).

Так ведь уравнения Максвелла на такой случай (несохранения заряда) не рассчитаны...

[arseniiv]

wrest
Можно, например, считать, что до того момента пространственно-временного многообразия вообще нету.

[Munin]

amon
Что-то мне кажется, что соответствующие уравнения будут уже не дифференциальные, а интегральные (интегро-дифференциальные?) - оператор, обратный к трёхмерному кулоновскому потенциалу, не будет дифференциальным. Соответственно, я в этом дуб-дубом, и если на пальцах не соображу, то я пас.

Предлагаю пригласить математиков, типа Red Herring и g______d.

amon в сообщении #1229988 писал(а):

Как правильно заметил Munin, искусственность задачи в том, что непонятно как удалось создать этот заряд и поле от него

Ну, я понимал задачу так: до момента $t=0$ мы держим каждый электрон пинцетиком, и не даём ему никуда сдвинуться, а в $t=0$ отпускаем. Соответственно, н. у. для поля есть решение электростатической задачи для н. у. зарядов. Никаких волн не бежит.

[wrest]

arseniiv в сообщении #1230031 писал(а):

Можно, например, считать, что до того момента пространственно-временного многообразия вообще нету.

И чему тогда "в тот момент" станет равной $\frac{\partial\rho}{\partial t}$ ?
Уравнение непрерывности порвется же. Или $\frac{\partial\rho}{\partial t}$ предположить конечной, т.е. заряд как бы постепенно возникает так что бесконечностей нет?

-- 27.06.2017, 21:37 --

Munin в сообщении #1230038 писал(а):

Ну, я понимал задачу так: до момента $t=0$ мы держим каждый электрон пинцетиком,

То есть в нулевой момент меняется удельная проводимость шара и он становится из диэлектрика проводящим? (сигма растет на 20 порядков с $10^{-12}$ до $10^{8}$)

[amon]

wrest в сообщении #1230042 писал(а):

То есть в нулевой момент меняется удельная проводимость шара и он становится из диэлектрика проводящим? (сигма растет на 20 порядков с $10^{-12}$ до $10^{8}$)

"Такой способ мне тоже нравится" ((С) из когда-то любимого теоретиками анекдота о стеклянной палочке для предсказания погоды). А "статическая" $\varepsilon$ не меняется.

-- 27.06.2017, 22:09 --

Munin в сообщении #1230038 писал(а):

Что-то мне кажется, что соответствующие уравнения будут уже не дифференциальные, а интегральные

Подсказывать пока не хочется, поскольку я знаю как эту задачу когда-то решали, и глаз уже замыленный - а вдруг можно как-то покрасивше и поточнее. Пока могу предложить в первом приближении ограничится чистой электростатикой, как в предыдущем случае, а потом, если будет желание, обсудить когда электростатика ломается. Завтра, если гусаров не найдется, напишу известное мне электростатическое решение.