2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Доказательство из топологии
Сообщение29.12.2016, 15:39 


11/12/16
403
сБп
Я тут решил самостоятельно позаниматься топологией :). И встрял! Начало интересное, по сути это какая-то специализированная теория множеств, так объяснил один лектор. Со множествами я знаком.

Посмотрел видеолекции, начал читать литературу. И запнулся на такой задаче. Доказать что если одно множество $A$ включается в другое $B$, то внутренность $A$ включается во внутренность $B$ и замыкание $A$ включается в замыкание $B$.

Я и так все вроде понял на словах. Я даже нарисовал картинки с кругами Эйлера. У меня получился круг $A$ внутри $B$. Очевидно что все внутренние точки (без границы) круга $A$ содержаться внутри круга $B$, а именно внутри внутренней области круга $B$ без его границы (окружности). Но доказать как не знаю!

Я придумал кое-что но не знаю пока как это правильно написать.

Помогите с доказательством, плиз!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство из топологии
Сообщение29.12.2016, 15:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Давайте по порядку, с наводящими вопросами. Что такое внутренняя точка множества $A$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство из топологии
Сообщение29.12.2016, 15:46 


11/12/16
403
сБп
Было такое определение: эта точка множества окрестность которой лежит внутри этого множества. Спасибо что помогаете!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство из топологии
Сообщение29.12.2016, 15:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Правильно. Итак, пусть $x$ - внутренняя точка множества $A$. По определению, у нее есть окрестность $O_x$ такая, что $O_x \subset A$. Но по условию $A \subset B$. Что из этого следует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство из топологии
Сообщение29.12.2016, 15:51 


11/12/16
403
сБп
Я думаю что из этого следует что окрестность точки принадлежит и множеству $B$. Это мне очевидно. А как сделать переход во внутренность самого $B$, ведь $B$ это не внутренность, а что то больше (внутренность с границей)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство из топологии
Сообщение29.12.2016, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
gogoshik в сообщении #1180794 писал(а):
Я думаю что из этого следует что окрестность точки принадлежит и множеству $B$.
Правильно. Итак, мы получили, что у точки $x$ есть окрестность, целиком лежащая в $B$. Что из этого следует по определению внутренней точки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство из топологии
Сообщение29.12.2016, 16:00 


11/12/16
403
сБп
По определению из этого следует что эта точка является внутренней точкой и для $B$. Но это же еще не полное доказательство! Или полное доказательство? В задаче говорится про внутренность $B$, а там может и не быть точки из $A$, есть такая часть внутренности $B$ которая не содержит точек $A$. Может я чего то не понимаю!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство из топологии
Сообщение29.12.2016, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
gogoshik в сообщении #1180788 писал(а):
Доказать что если одно множество $A$ включается в другое $B$, то внутренность $A$ включается во внутренность $B$
Это мы доказали или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство из топологии
Сообщение29.12.2016, 16:53 


11/12/16
403
сБп
Думаю нет. Мы доказали что внутренность $A$ включена просто в $B$!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство из топологии
Сообщение29.12.2016, 17:01 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
gogoshik в сообщении #1180788 писал(а):
Я даже нарисовал картинки с кругами Эйлера.
На одних кругах Эйлера не получится показать, т. к., понимаемые обычным образом, они иллюстрируют только структуру булевой алгебры на множествах, а «топологические отношения» через неё невыразимы. Чтобы с ними можно было что-то сделать, надо будет рисовать вместе и множества, и их, например, замыкания, внутренности или границы. Но этого недостаточно, т. к. без теорем, подобных той, которую вы доказывали здесь, результаты можно будет получить только слишком общие.

Вообще надо определиться, исходите ли вы из аксиом (и каких) топологии или чего-то другого, а то так можно будет намотать кругов и выводить что-то неявно из себя самого. Если начинать от аксиом Куратовского: $$\begin{array}{ll} 1.& \overline\varnothing = \varnothing, \\ 2.& A\subset\overline A, \\ 3.& \overline{A\cup B} = \overline A\cup\overline B, \\ 4.& \overline{\overline A} = \overline A \end{array}$$и определения $A^\circ = X\setminus\overline{X\setminus A}$, где $X$ — всё пространство, доказательство будет весьма незатейливым:
$$A\subset B \Leftrightarrow B = A\cup B \Rightarrow \overline B = \overline{A\cup B} = \overline A\cup\overline B \Leftrightarrow \overline A\subset\overline B.$$Ну а с внутренностью сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство из топологии
Сообщение29.12.2016, 17:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
gogoshik в сообщении #1180808 писал(а):
Думаю нет. Мы доказали что внутренность $A$ включена просто в $B$!
А что такое внутренность $B$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство из топологии
Сообщение29.12.2016, 17:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
gogoshik в сообщении #1180788 писал(а):
Я тут решил самостоятельно позаниматься топологией :). И встрял! Начало интересное, по сути это какая-то специализированная теория множеств, так объяснил один лектор.

Есть две топологии. Одна называется "общая топология", а другая - по-разному: "алгебраическая топология", "дифференциальная топология", иногда упоминается "комбинаторная топология", "гомотопическая", "гомологическая" - это всё подразделы алгебраической.

То, что рассказывают в популярных книжках про ленту Мёбиуса и бутылку Клейна - это алгебраическая топология. Обычно именно после этого людям интересно, а что это за топология вообще, и хочется её почитать.

А "по сути специализированная теория множеств" - это общая топология.

Общая топология как курс идёт перед алгебраической. Но некоторые вещи, если вы понимаете их "на пальцах" (например, что означает "не рвать и не склеивать", и наоборот, "склеить"), можно просто пропустить, и читать сразу алг. топологию. Лучше всего "книжку с картинками", где побольше наглядных пояснений.

Если не пропускать, то можно "утонуть" в общей топологии, и так и не добраться до желанной алгебраической.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство из топологии
Сообщение29.12.2016, 17:13 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Munin
Я вас удивлю, но иногда желанна общая топология. Впрочем, статистика, видимо, не на моей стороне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство из топологии
Сообщение29.12.2016, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ок. Я только пояснил, что это две разные науки, в разных учебниках (и в разных курсах видеолекций).

Например, в алгебраической топологии обычно рассматриваются множества, не задействующие весь мощный аппарат общей топологии, а локально устроенные как $\mathbb{R}^n$ - то есть, то, что вполне известно со школы. Или как склейки или разрезы над этими $\mathbb{R}^n.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство из топологии
Сообщение29.12.2016, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО

(Оффтоп)

В книжечке воспоминаний А.А. Болибруха рассказывается про забавный эпизод.
Александров (кажется, он) на экзаменах в аспирантуру алгебраического тополога Болибруха спросил про компактности, а общих топологов, напротив, стал спрашивать про всякое гомологическое.
Ну, результат был немного предсказуем ;)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 82 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group