Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.

[shwedka]

cmpamer Ну, конечно не совсем формула Бинома, но некоторая ее перегруппировка. Все слагаемые, кроме крайних, переносятся в другую сторону. Но, в общем, не важно. И без Автора все знают, что формулу Бинома можно кувыркать по-всякому. А точные значения коэффициентов пока что и не важны.

[shwedka]

TPB!
Я склоняюсь к мнению, что Вы неправильно проинтерпретировали правило раздела,
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3

Вы же скопировали доказательство Эйлера, которое вряд ли может рассматриваться как Ваша
попытка доказательства. Поэтому, когда Вы станете Ваше доказательство излагать, начните все же со степени 3. Для этого сложные 'формулы разложения' в общем виде и излишни,
а для степени 3 они выглядят намного прозрачнее.

[ishhan]

TPB в сообщении #1165202 писал(а):

Универсальные формулы разложения.

Формула бинома Ньютона.

Уважаемый ТРВ!
Эти формулы хорошо известны.
Многие ВТФ любители их переоткрыли.
http://www.mathpages.com/HoME/kmath014/kmath014.htm
http://www.mathpages.com/HoME/kmath367/kmath367.htm
М.М. Постников,

(Оффтоп)

царство ему небесное,

в далёкие годы московской олимпиады, опубликовал брошюру посвящённую ВТФ и пустил ВТФ волну в массы.
К сожалению, на русском языке всё появляется уже неактуальным, читайте или смотрите формулы на английском

[TPB]

ishhan в сообщении #1165818 писал(а):

Эти формулы хорошо известны.
Многие ВТФ любители их переоткрыли. http://www.mathpages.com/HoME/kmath014/kmath014.htm

Благодарю за информацию! Если П. Ферма эти формулы знал, то у него могло быть полное элементарное доказательство!

[cmpamer]

Похоже, ТС самостоятельно нашёл ошибку в своём обещанном к публикации доказательстве и, в связи с этим, почёл за благо по-тихому покинуть дискуссионную площадку.
Если это и в самом деле так, то заметить надобно, что правила приличия предписывают в таких случаях обращаться к администрации Форума с просьбой о закрытии Темы...

[TPB]

Прошу прощения за длительные паузы. Я Вам забыл сказать, что у меня не так много свободного времени для участия в форуме. Когда я говорил, что дорогу осилит идущий, я имел ввиду именно это! Тем более, что дорога эта действительно не так уж коротка, как Вы думаете!

[cmpamer]

TPB в сообщении #1166371 писал(а):

Я Вам забыл сказать, что у меня не так много свободного времени для участия в форуме.

А ещё Вы забыли представить обещанное доказательство.
Времени, может, у Вас и действительно мало (это мы тут все бездельники), но, однако ж, его хватило Вам, чтобы просветить всех нас и насчёт пифагоровых троек, и всяких биномов; "передоказали" вслед за Эйлером ВТФ-3 и даже успели не торопясь покопаться в душе Уайлса.
Я, собственно, о соблюдении приличий речь веду. Не получилось доказать - так и скажите. Не Вы первый будете. Потом обязательно докажете. А вот вместо этого разводить "философию" про "длинную дорогу" - это неприлично выглядит. Смахивает на троллинг.

[Someone]

(cmpamer)

cmpamer в сообщении #1166367 писал(а):

правила приличия предписывают в таких случаях обращаться к администрации Форума с просьбой о закрытии Темы...

На этом форуме темы не закрывают по чьей-либо просьбе. Ну, может быть, в каких-то совершенно исключительных случаях…

[ishhan]

TPB в сообщении #1165841 писал(а):

Если П. Ферма эти формулы знал, то у него могло быть полное элементарное доказательство!

По этому поводу в статье из mathpages под названием "Почему Z не может быть простым" сделано предположение:

It's conceivable that Fermat in (say) 1638 might have momentarily assumed that any solution with composite z must be factorable into solutions with prime z, and since the latter cannot exist, he might have (rashly) concluded that neither can the former.
В переводе яндекс это выглядит следующим образом:)
Вполне вероятно, что Ферма в (скажем) 1638 бы на мгновение предположить, что любое решение с композитными Z должно быть разделяется на составляющие, в растворах с премьер-Z, и поскольку последняя не может существовать, он может иметь (сгоряча) пришли к выводу, что не может бывшего.


Вами, скорее всего сгоряча, был сделан тот же вывод.

[TPB]

Доказательство теоремы Ферма для четвёртой степени.

Докажем, что уравнению (1) при $n = 4$ не могут удовлетворять никакие три целых положительных числа $X$, $Y$ и $Z$.
Для этого допустим, что такие три целых положительных числа $X$, $Y$ и $Z$ существуют, и воспользуемся одной из универсальных формул разложения - второй формулой для разложения суммы двух чисел в одинаковых чётных положительных степенях (11):
$Z^4 = X^4 + Y^4 = (X-Y)^4 + 4 (X-Y)^2 X Y + 2 X^2 Y^2 = (X-Y)^4 + X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ (14)
Поскольку любое целое число в четвёртой степени одновременно является целым числом в квадрате, то, как и для второй степени, в этой формуле числа $X$ и $Y$ должны иметь разную чётность, а число $Z$ – должно быть нечётным. К тому же будем считать, что все три числа $X$, $Y$ и $Z$ попарно не имеют общих делителей, иными словами – они взаимно просты. Действительно, если бы они не были взаимно простыми, то, поделив их на общий делитель, все три числа $X$, $Y$ и $Z$ стали бы взаимно простыми.
Теперь заметим, что в правой части равенства (14) содержится уже готовое число в четвёртой степени: $(X-Y)^4$, а то выражение, что к нему прибавляется, является дополнением до величины числа $Z^4$. При этом нечётное число $(X-Y)$ дополняется до нечётного числа $Z$ путём добавления некоторого чётного числа $r$.
Если воспользоваться формулой бинома Ньютона (8), то для равенства $Z = (X-Y + r)$ число $Z$ в четвёртой степени запишется в виде:
$Z^4 = (X-Y + r)^4 = (X-Y)^4 + 4 (X-Y)^3 r + 6 (X-Y)^2 r^2 + 4 (X-Y) r^3 + r^4$,
откуда видно, что каждое слагаемое, кроме первого, делится на число $r$, поэтому число $r$ никак не зависит от числа $(X-Y)$, и его в качестве единственного общего множителя можно вынести за общие скобки:
$Z^4 = (X-Y + r)^4 = (X-Y)^4 + r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ (15)
Сравнивая имеющееся у нас равенство (14) с равенством (15), которые показывают, каким должно быть число $Z^4$, замечаем, что в исходном равенстве (14) выражение $X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ является тем же дополнением числа $(X-Y)^4$ до некоторого большего числа в четвёртой степени $Z^4$, что и выражение:
$r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ в равенстве (15). В исходном равенстве (14) имеется общий множитель $X Y$, который никак не зависит от разницы двух чисел $(X-Y)$ и выносится за общие скобки без вовлечения в это вынесение числа $(X-Y)^2$, а в равенстве (15) общим множителем является число $r$, которое так же, как и множитель $X Y$ в равенстве (14), никак не зависит от разницы двух чисел $(X-Y)$ и выносится за общие скобки без вовлечения в это вынесение числа $(X-Y)^3$.
Приравняем правые части равенств (14) и (15), и получим следующее равенство: $(X-Y)^4 + X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y) = (X-Y)^4 + r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$,
или, без первых слагаемых $(X-Y)^4$:
$X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y) = r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ (16)
Заметим, что поскольку числа $X$ и $Y$ не имеют общих делителей, то, следовательно, числа $X Y$ и $(X-Y)$ являются взаимно простыми. Взаимно простыми также будут числа $(X-Y)^4$ и $X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$, а значит, и числа $(X-Y)^4$ и
$r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$.
Независимо от того, является ли число $r$ делителем числа
$(4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ или нет, оно точно является целым делителем произведения двух чисел $X Y$, поскольку число
$X Y$ – это единственный делитель числа
$X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$, который никак не зависит от числа $(X-Y)$, с которым число $r$ не имеет ни одного целого делителя.
Точно так же, как и число, соответствующее выражению
$(4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$, может иметь один или несколько простых делителей, но ни один из них не будет числом $r$, дополняющим число $(X-Y)$ до некоторого большего целого числа $Z = (X-Y + r)$, число, соответствующее выражению $(4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$, может иметь один или несколько простых делителей, но ни один из них не будет числом $r$, дополняющим число $(X-Y)$ до некоторого большего целого числа $Z = (X-Y + r)$.
И поскольку мы допускаем, что существует целое чётное число $r$, которое никак не зависит от числа $(X-Y)$ и которое в качестве единственного общего множителя выносится за общие скобки из всего выражения: $r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ без вовлечения в это вынесение числа
$(X-Y)^3$, то оно точно не является целым делителем числа
$(4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$, так как число $(X-Y)^2$ не может быть вовлечено в вынесение этого целого делителя, и поэтому число $r$ обязано быть либо равно числу $X Y$, либо быть одним из его делителей, и вместе с тем, как и число $X Y$, быть взаимно простым с числом $(X-Y)$.
В том случае, если число $r$ равно числу $X Y$, мы, заменяя число $X Y$ на $r$, получаем равенство:
$(X-Y)^4 + X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y) = (X-Y)^4 + r (4 (X-Y)^2 + 2 r) = (X-Y)^4 + 4 (X-Y)^3 r + 6 (X-Y)^2 r^2 + 4 (X-Y) r^3 + r^4$,
или, после сокращения, имеем следующее равенство:
$4 (X-Y)^2 + 2 r = 4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3$ (17)
Очевидно, что при целых положительных числах $(X-Y)$ и $r$, равенство (17) никогда не может быть справедливо, так как его левая часть всегда будет меньше правой. Это означает, что число $X Y$ на самом деле больше, чем число $r$. И поэтому число $r$ должно быть лишь одним из делителей числа $X Y$.
Значит, можно записать, что $X Y = r X_1 Y_1$, где $X_1 Y_1$ – некий целый делитель числа $X Y$. После такой замены получим равенство (16) в следующем виде:
$r X_1 Y_1 (4 (X-Y)^2 + 2 r X_1 Y_1) = r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ (18)
или, после сокращения левой и правой частей равенства (18) на $r$:
$X_1 Y_1 (4 (X-Y)^2 + 2 r X_1 Y_1) = 4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3$ (19)
из которого видно, что у всей правой части этого равенства, как и у его левой части, должен быть общий целый делитель $X_1 Y_1$.
Заметим, что для существования целого делителя $X_1 Y_1$ необходимо, чтобы целое число $r$, так же, как и число $(X-Y)$, не являлось целым делителем числа $X_1 Y_1$, иначе сумма всех слагаемых выражения $(4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ не сможет нацело поделиться на число $X_1 Y_1$, так как все слагаемые этого выражения, кроме первого, делятся на число $r$, и, кроме последнего, делятся на число $(X-Y)$.
Поэтому для одновременного существования двух целых чисел $r$ и $X_1 Y_1$ необходимо, чтобы они между собой были взаимно простыми.
Поскольку для получения нечётного числа $Z$ число $r$ должно быть чётным, то примем, что $r = 2 f$, где $f$ – некоторое целое число. Перепишем равенство (19) с учётом такой замены:
$X_1 Y_1 (4 (X-Y)^2 + 4 f X_1 Y_1) = 4 (X-Y)^3 + 12 (X-Y)^2 f + 16 (X-Y) f^2 + 8 f^3$,
или, после деления левой и правой частей этого равенства на 4, получим следующее равенство:
$X_1 Y_1 ((X-Y)^2+ f X_1 Y_1) = (X-Y)^3 + 3 (X-Y)^2 f + 4 (X-Y) f^2 + 2 f^3$ (20)
Поскольку числа $X Y$ и $(X-Y)$ взаимно просты, а число $f$, как и число $r$ является целым делителем числа $X Y$, то числа $f$ и $(X-Y)$ также являются взаимно простыми, но помимо этого, они ещё и никак не зависят друг от друга, то есть в то время, как одно из чисел равно нулю, например, при $Y = 0$ или $X = Y$, другое может быть сколь угодно большим, и наоборот. А это значит, что невозможно за счёт одного числа $(X-Y)$ восполнить нехватку другого числа $f$, или за счёт второго числа $f$ восполнить нехватку первого числа $(X-Y)$. Поэтому все слагаемые левой части равенства (20) должны в точности повторять все слагаемые правой части этого равенства.
Для того, чтобы получить первое слагаемое $(X-Y)^3$ правой части равенства (20), необходимо, чтобы множитель $X_1 Y_1$ левой части равенства имел в качестве одного из своих слагаемых число $(X-Y)$. А поскольку без первого слагаемого в правой части равенства сумма всех оставшихся слагаемых делится на число $f$, то в качестве второго слагаемого, число $X_1 Y_1$ должно иметь число $s f$, где $s$ – некий множитель, дающий целое произведение $s f$, и вместе с тем обеспечивающий верное равенство (20). То есть $X_1 Y_1 = (X-Y) + s f$.
Действительно, если допустить, что число $X_1 Y_1$ состоит из других слагаемых, к примеру, $X_1 Y_1 = a + s f$, где $a$ не равно числу $(X-Y)$, или $X_1 Y_1 = (X-Y) + b$, где $b$ не равно числу $s f$, то в первом случае мы бы получили равенство:
$(a + s f) ((X-Y)^2+ f a + s f^2) = (X-Y)^3 + 3 (X-Y)^2 f + 4 (X-Y) f^2 + 2 f^3$, или, после раскрытия скобок и приведения подобных: $(X-Y)^2 (a-(X-Y)) = 3 (X-Y)^2 f + 4 (X-Y) f^2 + 2 f^3 -(a + s f) f a -((X-Y)^2+ f a + s f^2) s f$. Поскольку каждое слагаемое правой части этого равенства нацело делится на $f$, то и вся левая часть равенства обязана делиться на $f$, а так как число $f$ взаимно простое с числом $(X-Y)$, то это число $f$ должно быть целым делителем исключительно только числа $(a-(X-Y))$. Если принять, что $(a -(X-Y)) = w f$, где $w$ – некоторое целое число, то в таком случае $a = (X-Y) + w f$, и $X_1 Y_1 = (X-Y) + (w + s) f$, откуда видно, что всё равно в качестве одного из слагаемых числа $X_1 Y_1$ должно быть число $(X-Y)$.
Во втором случае, когда $X_1 Y_1 = (X-Y) + b$, где $b$ не равно числу $s f$, мы бы получили равенство: $((X-Y) + b) ((X-Y)^2 + f ((X-Y) + b)) = (X-Y)^3 + 3 (X-Y)^2 f + 4 (X-Y) f^2 + 2 f^3$, или, после раскрытия скобок и приведения подобных: $(X-Y)^3 - (X-Y)^3 = 3 (X-Y)^2 f + 4 (X-Y) f^2 + 2 f^3 -(X-Y) ((X-Y) + b) f - b ((X-Y)^2 + f ((X-Y) + b))$.
Поскольку левая часть этого равенства равна нулю, а в правой части все слагаемые, кроме последнего выражения $b ((X-Y)^2 + f ((X-Y) + b))$, делятся на число $f$, и так как число $f$ взаимно простое с числом $(X-Y)$, то в таком случае число $b$ обязано делиться на число $f$, и число $X_1 Y_1$ всё равно в качестве одного из своих слагаемых должно иметь число, делящееся на $f$.
В общем же случае число $X_1 Y_1$ всё равно должно иметь вид: $X_1 Y_1 = (X-Y) + s f$, где $s$ – некий множитель, дающий целое произведение $s f$, и вместе с тем обеспечивающий верное равенство (20). Поэтому наше утверждение, что все слагаемые левой части равенства (20) должны в точности повторять все слагаемые правой части этого равенства, можно считать доказанным.
Перепишем равенство (20) с учётом этой замены:
$((X-Y) + s f) ((X-Y)^2 + f (X-Y) + s f^2) = (X-Y)^3 + 3 (X-Y)^2 f + 4 (X-Y) f^2 + 2 f^3$, или:
$(X-Y)^3 + (X-Y)^2 s f + (X-Y)^2 f + (X-Y) s f^2 + (X-Y) s f^2 + s^2 f^3 = (X-Y)^3 + 3 (X-Y)^2 f + 4 (X-Y) f^2 + 2 f^3$, или, после упрощения:
$(X-Y)^2 s + (X-Y)^2 + (X-Y) s f + (X-Y) s f + s^2 f^2 = 3 (X-Y)^2 + 4 (X-Y) f + 2 f^2$;
$s ((X-Y)^2 + 2 (X-Y) f + s f^2) = 2 (X-Y)^2 + 4 (X-Y) f + 2 f^2$;
$s ((X-Y)^2 + 2 (X-Y) f + s f^2) = 2 (X-Y + f)^2$ (21)
Теперь выясним, какие значения может принимать число $s$, путём допущения, что одно из чисел $(X-Y)$ или $f$ равно нулю. При $(X-Y) = 0$ получаем, что $s = \sqrt{2}$, а при $f = 0$ получаем, что $s = 2$. В общем же случае, когда ни $(X-Y)$, ни $f$ не равны нулю, число $s$ имеет значение: $\sqrt{2} < s < 2$.
Кроме этого, для того, чтобы число $X_1 Y_1$, равное сумме чисел $(X-Y)$ и $s f$, при целых числах $(X-Y)$ и $f$ было целым числом, необходимо, чтобы нецелое число $s$, равное какому-нибудь отношению двух чисел: $s = \frac{V}{U}$ , где $\sqrt{2} U < V < 2 U$, при умножении на число $f$ давало целое число $s f = \frac{V}{U} f$. То есть число $U$, которое должно быть взаимно простым с числом $V$, не может быть больше числа $f$, и обязано иметь общие простые делители с этим числом $f$.
Последнее обстоятельство указывает на то, что в равенстве (21), где правая часть при целых положительных числах $(X-Y)$ и $f$ является целым положительным числом, его левая часть никогда не может быть целым положительным числом, поскольку если раскрыть скобки, перемножив число $\frac{V}{U}$, на каждое слагаемое: $(X-Y)^2$, $2 (X-Y) f$ и $s f^2$:
$\frac{V}{U} ((X-Y)^2 + 2 (X-Y) f + s f^2) = \frac{V}{U} (X-Y)^2 + \frac{V}{U} 2 (X-Y) f + \frac{V}{U} s f^2$,
то мы получим, что произведения со вторым и третьим слагаемыми дадут нам всегда целые положительные числа: $\frac{V}{U} 2 (X-Y) f$ и $\frac{V}{U} s f^2$, так как произведение $s f = \frac{V}{U} f$ всегда будет целым числом; а вот произведение числа $s = \frac{V}{U}$ с первым слагаемым $(X-Y)^2$, то есть число $\frac{V}{U} (X-Y)^2$, всегда будет нецелым, так как число $(X-Y)$ не имеет общих делителей с числом $f$, а следовательно, и не имеет общих делителей с числом $U$.
Поэтому мы приходим к выводу, что для того, чтобы число $X Y$ имело целый делитель - число $f$, то есть $X Y = 2 f X_1 Y_1 = 2 f ((X-Y) + s f)$, необходимо, чтобы одновременно числа $f$ и $X_1 Y_1$ были целыми. Однако, если число $X_1 Y_1$ – целое, то поскольку $X_1 Y_1 = (X-Y) + \frac{V}{U} f$, число $f$ должно полностью делиться на число $U$; но в то же время, если число $f$ полностью делится на число $U$, то на это число $U$ никак не может делиться число $(X-Y)$, так как оно с числом $f$, а значит, и с числом $U$ не имеет никаких общих делителей.
Прибавим к левой и правой части равенства (21) одно и то же выражение $4 (X-Y + f) f + 2 f^2$, в результате чего получим равенство:
$ s ((X-Y)^2 + 2 (X-Y) f + s f^2) + 4 (X-Y + f) f + 2 f^2 = 2 (X-Y + f)^2 + 4 (X-Y + f) f + 2 f^2$, или, после упрощения:
$s ((X-Y)^2 + 2 (X-Y) f + s f^2) + 4 (X-Y + f) f + 2 f^2 = 2 (X-Y + 2 f)^2$;
$s ((X-Y)^2 + 2 (X-Y) f + s f^2) + 4 (X-Y + f) f + 2 f^2 = 2 (X-Y + r)^2 = 2 Z^2$ (22)
При целых взаимно простых положительных числах $(X-Y)$, $f$ и $r = 2 f$, а также целом числе $s f = \frac{V}{U} f$, и нецелом числе $s (X-Y)^2 = \frac{V}{U} (X-Y)^2$, левая часть равенства (22) представляет собой нецелое число. Значит, и правая часть этого равенства: $2 (X-Y + r)^2 = 2 Z^2$ обязана быть также нецелым числом. В этом случае число $r$ в действительности оказывается нецелым числом. Но если число $2 Z^2$ - нецелое, то и число $Z$ также обязано быть нецелым числом при любых взаимно простых целых положительных числах $X$ и $Y$.
Следовательно, этим утверждением мы завершили доказательство Великой теоремы Ферма для четвёртой степени.

[shwedka]

До первой ошибки.

TPB в сообщении #1167377 писал(а):

В исходном равенстве (14) имеется общий множитель $X\cdot Y$, который никак не зависит от разницы двух чисел (X – Y)

Понятие независимости чисел не определено.
Число 7777 зависит или не зависит от числа 123456?

[TPB]

Читайте, пожалуйста, полностью! Дальше по тексту есть ответы на все интересующие Вас вопросы.

TPB в сообщении #1167377 писал(а):

Поскольку числа $X\cdot Y$ и (X – Y) взаимно просты, а число f, как и число r является целым делителем числа $X\cdot Y$, то числа f и (X – Y) также являются взаимно простыми, но помимо этого, они ещё и никак не зависят друг от друга, то есть в то время, как одно из чисел равно нулю, например, при $Y = 0$ или $X = Y$, другое может быть сколь угодно большим, и наоборот. А это значит, что невозможно за счёт одного числа (X – Y) восполнить нехватку другого числа f, или за счёт второго числа f восполнить нехватку первого числа (X – Y).

[shwedka]

TPB в сообщении #1167410 писал(а):

А это значит, что невозможно за счёт одного числа (X – Y) восполнить нехватку другого числа f, или за счёт второго числа f восполнить нехватку первого числа (X – Y).

Это 'невозможно' нужно доказать. Учтите, что ни одно из чисел выше не находится в Вашей власти. Это какие-то конкретные числа, выраженные через решения УФ4 (Уравнения Ферма степени 4). Вы не можете придавать им значения по Вашему выбору, ноль или еще что-то. Вы не можете положить $X=0$ или $X=Y$ Это конкретные числа, вне Вашей власти.

И все-таки, отдельным абзацем напишите четкое определение независимости чисел.
.ответьте на вопрос 7777, 127356 независимы или нет?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте формулы по всей теме, пожалуйста, и ответьте на все заданные Вам вопросы.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Великая теорема Ферма»