Объясните смысл дифференциала как такового

[tremor]

Первокурсник. На матане ещё не объясняли, а учебники ясности не вносят. При том, что препод по физике хочет, чтобы мы оперировали хотя бы элементарными понятиями диффуров. А тем временем я (да и не только я на потоке) не понимаю смысл дифференциала как такового кроме того, что я слышал от преподавателя "так описываются бесконечно малые величины" или "это линейная часть приращения". При попытке разобраться не могу уловить тонкую грань между производной и дифференциалом. Когда вижу запись вида

$\frac{dV}{dt}$

Начинаю нервничать, хотя пока с нас строго не дерут, мол "привыкайте".

В общем, кто-может объяснить данное понятие или пнуть в нужном направлении. Извиняюсь за большое количество воды

[Munin]

На физике с дифференциалами надо обращаться проще. На математике - наводить строгость.

"По-физически" дифференциал - это разность, но такая маленькая, что квадратом этой разности можно пренебречь. Например, выражение $(a+db)^2$ раскрывается как $a^2+2a\,db.$

А про "линейную часть приращения" вам объяснят на матане позже. Если по учебникам разобраться не можете - не торопитесь.

Тонкая грань между производной и дифференциалом - в том, что производная - это частное двух дифференциалов. Вы же не путаете, скажем, километры, и километры в час? (Впрочем, некоторые путают.)

[kp9r4d]

What is the practical difference between a differential and a derivative?
What does dx mean?
Is dy/dx not a ratio?

[Munin]

P. S. Понятие производной может быть лучше пытаться освоить без дифференциала. Производная - это наклон касательной к графику. (Тангенс угла наклона, но это заклинание замучаешься произносить...) И только когда вы это уже поняли, можно рисовать "бесконечно малые треугольники", и обнаруживать, что у них катеты равны $dy$ и $dx,$ и тангенс будет как раз отношением $dy/dx.$

[Mihr]

tremor, хотя Вам уже ответили, я попробую сформулировать ответ чуть-чуть иначе. Считайте, что дифференциал - это очень малое приращение некоторой физической величины. То есть, не любая разность, а именно разность конечного и начального значений данной величины. По-другому говоря, $dx$ - это та же $\Delta x$, но очень маленькая (ещё не успела вырасти ). А уже отношение "двух очень маленьких дельт", величина $\dfrac{dy}{dx}$, есть производная. По смыслу - скорость роста функции.

[Munin]

По ссылкам от kp9r4d - по меньшей мере, замечательное упражнение по чтению "математического английского" языка. На них стоит потратить время и силы. Кроме того, там больше пояснений, чем здесь, и часто от профессионалов в математике и в преподавании.

[Ruben]

Mihr в сообщении #1151116 писал(а):

tremor, хотя Вам уже ответили, я попробую сформулировать ответ чуть-чуть иначе. Считайте, что дифференциал - это очень малое приращение некоторой физической величины.

IMHO, вредная формулировка, т.к. величина дифференциала может быть любой. Конечно, можно считать...но можно и запутаться.

[Munin]

Ruben в сообщении #1151122 писал(а):

величина дифференциала может быть любой.

В математике - да.

В физике - это вредно так думать. И пока речь идёт о том, чтобы научиться ориентироваться на физике.

[Mihr]

Ruben в сообщении #1151122 писал(а):

величина дифференциала может быть любой

Может, конечно. Однако я пытался объяснить, как это понятие используется в физике:

Mihr в сообщении #1151116 писал(а):

Считайте, что дифференциал - это очень малое приращение некоторой физической величины.

Из сообщения ТС вроде бы следует, что его интересует именно это:

tremor в сообщении #1151109 писал(а):

При том, что препод по физике хочет, чтобы мы оперировали хотя бы элементарными понятиями диффуров.

Для того, чтобы составить дифуравнение по тексту физической задачи, требуется, по-моему, именно такое представление о дифференциале, какое я попытался изложить. Впрочем, возможно, Вы ответите на вопрос ТС более удачно. Пожалуйста, предложите свой вариант ответа.

[Karan]

Сообщение wrest удалено по просьбе автора, его обсуждение удалено по причине отсутствия контекста.

-- 14.09.2016, 17:54 --

Похожие темы на форуме уже несколько раз обсуждались, см. напр. Что такое дифференциал?

[Karan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Munin]

И вглубь времён: «дифференциал и производная».

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1151110 писал(а):

Тонкая грань между производной и дифференциалом - в том, что производная - это частное двух дифференциалов.

[gefest_md]

Дифференциал в точке. Выглядит как грузинская граммота. Но я бы ее порекомендовал и физикам, да не только.

[Metford]

Ruben в сообщении #1151122 писал(а):

IMHO, вредная формулировка, т.к. величина дифференциала может быть любой.

Munin в сообщении #1151125 писал(а):

В физике - это вредно так думать.

"Не согласен с обоими" (с)
Всегда был против такого рода раздвоения: вот тут думать так, а здесь - эдак. Как всегда, дьявол в мелочах. Поэтому саму формулировку о дифференциале как о непременно малом приращении без уточнений я бы назвал не "вредной", но и не полезной. Меня (как, полагаю, и многих других) учили именно в таком духе, как сказал Mihr. И вот так вдолбилось. А потом (на старших курсах где-то) я начал подозревать, что меня где-то обманули - когда столкнулся с определением дифференциала как отображения касательных пространств. Полез в учебник анализа и понял, что это не обманули, а просто товарищи физики рубили сермяжную правду, а математики тихо-тихо дали корректное определение, к которому больше ни разу не возвращались. Ничем бы мне не помешало, если бы тогда же, на первом курсе, было внятно и громко сказано то, что приведено в цитате Ruben. Причём сказано именно физиками да с пояснением, почему в физике так дифференциал обычно не воспринимают.