Об определении дифференцируемости в точке

[gefest_md]

Здравствуйте, участники форума. Пытаюсь записать определение по-другому, чем в учебнике. Участие о-малого вызывает затруднения. Подскажите, пожалуйста, правильно ли я это делаю?

Пусть

$\mathcal{F}=\{f\mid f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\}$, $\mathcal{B}$ - база $x\to 0$

$o(g)=\left\{f\in\mathcal{F}\mid\exists B\in\mathcal{B}\exists\alpha\in\mathcal{F}\left(\lim\limits_{\mathcal{B}}\alpha(x)=0\wedge\forall x\in B\left(f(x)=\alpha(x)\cdot g(x)\right)\right)\right\}$

$e\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ e(x)=x$

$P(x,E) : =$ $x$ предельная точка для $E$


Тогда $f\colon E\to \mathbb{R}$ назывется диференцируемой в точке $x$, $E\subseteq\mathbb{R}$, если

$\forall h\in\mathbb{R}\left[x\in E\wedge x+h\in E\wedge P(x,E)\to\exists A\in\mathbb{R}\exists\beta\in o(e)\left\{f(x+h)-f(x)=A\cdot h+\beta(h)\right\}\right]$

[demolishka]

gefest_md в сообщении #1108283 писал(а):

$\forall h\in\mathbb{R}\left[x\in E\wedge x+h\in E\wedge P(x,E)\to\exists A\in\mathbb{R}\exists\beta\in o(e)\left\{f(x+h)-f(x)=A\cdot h+\beta(h)\right\}\right]$

Я правильно понимаю, что у Вас $A$ зависит и от $x$ и от $h$?

[gefest_md]

demolishka в сообщении #1108290 писал(а):

Я правильно понимаю, что у Вас $A$ зависит и от $x$ и от $h$?

А так?
$\exists A\in\mathbb{R}\exists\beta\in o(e) \forall h\in\mathbb{R}\left[x\in E\wedge x+h\in E\wedge P(x,E) \to \left\{f(x+h)-f(x)=A\cdot h+\beta(h)\right\}\right]$

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Одного не пойму: зачем и без того не самое простое определение доводить до умопомрачения, записывая его таким ужасным способом?

[DeBill]

gefest_md в сообщении #1108294 писал(а):

А так?
$\exists A\in\mathbb{R}\exists\beta\in o(e) \forall h\in\mathbb{R}\left[x\in E\wedge x+h\in E\wedge P(x,E) \to \left\{f(x+h)-f(x)=A\cdot h+\beta(h)\right\}\right]$

Я правильно понимаю, что у Вас $\beta$ НЕ зависит от $x$? А $h$ попадает в область определения $\beta$?

[ewert]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1108307 писал(а):

Одного не пойму: зачем и без того не самое простое определение доводить до умопомрачения, записывая его таким ужасным способом?

а как тут лайки ставить?

[gefest_md]

DeBill в сообщении #1108340 писал(а):

gefest_md в сообщении #1108294 писал(а):

А так?
$\exists A\in\mathbb{R}\exists\beta\in o(e) \forall h\in\mathbb{R}\left[x\in E\wedge x+h\in E\wedge P(x,E) \to \left\{f(x+h)-f(x)=A\cdot h+\beta(h)\right\}\right]$

Я правильно понимаю, что у Вас $\beta$ НЕ зависит от $x$? А $h$ попадает в область определения $\beta$?

Зависит. Для любых свободных $f$ и $x$ будут свои $A$ и $\beta$. Дальше пишу для любого $h$ ... , т.е. все аргументы $\beta$ удовлетворяют условию в квадратных скобках.

[gefest_md]

demolishka в сообщении #1108290 писал(а):

Я правильно понимаю, что у Вас $A$ зависит и от $x$ и от $h$?

$A$ можно оставлять. Это следует из логики, кажется, или из теоремы о единственности предела. А $\beta$ надо выносить оттуда. Иначе получается, что различные подставленные $h$ дали бы возможно различные $\beta.$

Brukvalub в сообщении #1108307 писал(а):

Одного не пойму: зачем и без того не самое простое определение доводить до умопомрачения, записывая его таким ужасным способом?

Из-за о-малого с плюсом. Непривычно. В основном определении Зорич уже пишет $+\alpha(x;h)$, но и тут букву $x$ надо объяснять.

[gefest_md]

Пусть $f$ - функция, $x\in\operatorname{dom}f\subseteq\mathbb{R}$, $\operatorname{ran}f\subseteq\mathbb{R}$, $x$ - предельная для $\operatorname{dom}f$, $\mathcal{B}$ - база проколотых окрестностей нуля.

Определим множества:

1). $X := \{h\in\mathbb{R}\mid x+h\in\operatorname{dom}f\}$

2). $\mathcal{F}:=\{g\in\mathcal{P}(\mathbb{R}\times\mathbb{R})\mid\operatorname{dom}g=X\}$

3). $e:=\ $ тождественная функция на $X$

4). $S:=\{g\in\mathcal{F}\mid g\text{ есть }o(e)\text{ при базе }\mathcal{B}\}$

Определение 1. Функция $f\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ называется дифференцируемой в точке $x\in\operatorname{dom}f$, предельной для $\operatorname{dom}f$, тогда и только тогда, когда
$\exists A\in\mathbb{R}\exists\beta\in S\forall h\in X[f(x+h)-f(x)=Ah+\beta(h)]$.

Определение 2. Непустое множество $df(x):=\{\langle h,y\rangle\in X\times\mathbb{R}\mid\exists A\in\mathbb{R}[P(A)\wedge y=Ah]\}$, где $P(A):=\exists\beta\in S\forall t\in X[f(x+t)-f(x)=At+\beta(t)],$ называется дифференциалом функции $f$, в точке $x\in\operatorname{dom}f.$


Комментарии-вопросы:
I. В определении 2 уточнил "непустое", чтобы можно было доказать 1 из 2.
II. Из множества $X$ я не исключил $0$ и поэтому не могу делить на $dx(h)$.

[gefest_md]

gefest_md в сообщении #1176448 писал(а):

$\mathcal{B}$ - база проколотых окрестностей нуля.

Эту фразу удаляю и добавляю новый пункт 1') $\mathcal{B}:= X\ni x\to 0$

gefest_md в сообщении #1176448 писал(а):

Определение 1. Функция $f\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ называется дифференцируемой в точке $x\in\operatorname{dom}f$, предельной для $\operatorname{dom}f$, тогда и только тогда, когда
$\exists A\in\mathbb{R}\exists\beta\in S\forall h\in X[f(x+h)-f(x)=Ah+\beta(h)]$.

Есть вопрос, переписать ли формулу так: $\exists A\in\mathbb{R}\exists\beta\in S\exists B\in\mathcal{B}\forall h\in B[f(x+h)-f(x)=Ah+\beta(h)]$, т.е. для любого $h$ из некоторой окрестности? Только пока не знаю зачем.

[gefest_md]

Объясню последний вопрос. Зорич доказывет, что $a^{x+h}-a^x=a^x\ln a\cdot h+o(h)$ при $h\to 0.$ Он использует эквивалентность $e^x-1\sim x$ при $x\to 0$, которая равносильна тому, что в некоторой окрестности нуля $B$ имеет место $e^x-1=x+o(x).$

Цитата:

$a^{x+h}-a^x=a^x\left(a^h-1\right)=a^x\left(e^{h\ln a}-1\right)=a^x\left(h\ln a+o(h\ln a)\right)=\cdots$

На чём основано последнее равенство? Во время доказательства дифференцируемости по определению 1 я беру произвольный $h\in X=\mathbb{R}$. Но я не могу знать, если $h\ln a\in B$!

С другой стороны, кажется, мне удалось доказать, что определение 1 равносильно существованию предела $\lim_{X\ni h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$ И уже решить задачу из Зорича вроде можно.

gefest_md в сообщении #1176448 писал(а):

Определение 1. Функция $f\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ называется дифференцируемой в точке $x\in\operatorname{dom}f$, предельной для $\operatorname{dom}f$, тогда и только тогда, когда
$\exists A\in\mathbb{R}\exists\beta\in S\forall h\in X[f(x+h)-f(x)=Ah+\beta(h)]$.

[SomePupil]

gefest_md в сообщении #1176878 писал(а):

которая равносильна тому, что в некоторой окрестности нуля $B$ имеет место $e^x-1=x+o(x).$

Эээ... Почему в некоторой окрестности?

$e^x = x + o(x)$ выполняется везде, просто $o(x)$ падает до нуля быстрее линейной функции $x$, когда $x$ стремится к нулю.

[gefest_md]

SomePupil в сообщении #1176884 писал(а):

Почему в некоторой окрестности?

Цитата:

Определение 25 (Зорич). Если между функциями $f$ и $g$ финально при базе $\mathcal{B}$ выполнено соотношение $f(x)=\gamma(x) g(x)$, ..., то говорят ..., что $f$ эквивалентна $g$ при базе $\mathcal{B}$.

Тогда $f\underset{\mathcal{B}}{\sim} g\ \Leftrightarrow\ \exists h\in o(g)\exists B\in\mathcal{B}\forall x\in B[f(x)=g(x)+h(x)]$, или короче $f(x)=g(x)+o(g(x))$ финально при базе $\mathcal{B}$.

[SomePupil]

Пардон, забыл $-1$:

$$e^x - 1 = x + o(x) $$

gefest_md в сообщении #1176878 писал(а):

С другой стороны, кажется, мне удалось доказать, что определение 1 равносильно существованию предела $\lim_{X\ni h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

Жму Вам руку!

gefest_md в сообщении #1176878 писал(а):

Но я не могу знать, если $h\ln a\in B$!

Можно это потребовать. Фактически, тогда Вы рассмотрите две окрестности: одна поменьше (там, где дельфинчик $h$ будет плавать), а другая $-$ побольше (куда вылезет $h\ln a$). Причем большая окрестность будет окрестностью из определения.

[gefest_md]

SomePupil в сообщении #1176902 писал(а):

Причем большая окрестность будет окрестностью из определения.

Для примера из Зорича окрестность $X$ из определения 1 есть $\mathbb{R}$. Число $h\in\mathbb{R}$, есть окрестность $B$ и ... приехали.