Как распределятся падающие шарики

[arseniiv]

Ну ладно, я по слову вытягивать из вас не собираюсь. Может, кто-то другой снизойдёт до чтения намёков.

[upgrade]

Наверное будет что-то зеркальное для стенки (хвост нормального распределения для соответствующей точки начала полета шариков).
Значит будет смесь нормальных распределений, которую можно смоделировать в могучем экселе.

[tolstopuz]

vamoroz в сообщении #1160376 писал(а):

2. Есть две различные гипотезы, описывающие природу данного процесса. Есть расчеты, сделанные на основании этих гипотез.

Простите, но гипотеза одна - на основании принципов и формул теории вероятностей. Она связывает итоговые вероятности попадания в накопители с данными в условии вероятностями отражения на отдельных колышках, тем самым описывая природу процесса.

Ваша же "гипотеза" о равновероятности путей высосана из пальца, не описывает природу процесса, не выдерживает никакой критики и рушится при соприкосновении с экспериментом.

Все остальные пункты - попытка спрятать неудобное для вас правильное решение задачи, смешав его с мусором. И не смешите своей "статистикой" на $800$ шариках.

[vamoroz]

tolstopuz в сообщении #1160794 писал(а):

... на основании принципов и формул теории вероятностей.

Уважаемый tolstopuz
На данный момент множество элементарных исходов для доски Гальтона на DxDy(4 темы) не определено. Может быть, Вы определите его?

[tolstopuz]

vamoroz в сообщении #1160983 писал(а):

На данный момент множество элементарных исходов для доски Гальтона на DxDy(4 темы) не определено.

Ответ неверный. В одной из тем вам предложили несколько подходящих вариантов.

vamoroz в сообщении #1160983 писал(а):

Может быть, Вы определите его?

Так как мы изучаем распределение шариков по накопителям, я считаю наиболее естественным множество элементарных исходов "шарик попал в накопитель $i$" ($i=1,\cdots,N$). Если у вас есть другое мнение, выскажите его и обоснуйте.

[vamoroz]

Кроме накопителей, в которых, в конечном итоге собираются падающие шары, доска Гальтона состоит из нескольких рядов гвоздиков, от которых шарик, прежде чем попасть в накопитель отскакивает. Процесс попадания шарика в накопитель можно разложить на последовательность таких отскоков.
Для доски Гальтона типа «треугольник» множество элементарных исходов состоит всего из двух элементов :
- шарик от гвоздя ушел вправо
- шарик от гвоздя ушел влево.
Для доски Гальтона типа «домик» множество элементарных исходов дополняется еще двумя событиями :
- шарик отскочил от левой стенки
- шарик отскочил от правой стенки
Предложенное tolstopuz-ом множество элементарных исходов нельзя использовать в вероятностной модели доски Гальтона.
Уважаемый tolstopuz
О каких подходящих вариантах идет речь?

tolstopuz в сообщении #1161003 писал(а):

вам предложили несколько подходящих вариантов

[Someone]

vamoroz в сообщении #1161260 писал(а):

Для доски Гальтона типа «треугольник» множество элементарных исходов состоит всего из двух элементов :
- шарик от гвоздя ушел вправо
- шарик от гвоздя ушел влево.
Для доски Гальтона типа «домик» множество элементарных исходов дополняется еще двумя событиями :
- шарик отскочил от левой стенки
- шарик отскочил от правой стенки

Бред. Вы просто не понимаете, что такое элементарные исходы, и для чего они нужны, поэтому излагаете безграмотную чушь.

vamoroz в сообщении #1161260 писал(а):

Предложенное tolstopuz-ом множество элементарных исходов нельзя использовать в вероятностной модели доски Гальтона.

Как раз прекрасно можно. Независимо от того, "треугольник" у нас или "домик".
Либо можно элементарным исходом считать всю траекторию шарика.

[Лукомор]

vamoroz в сообщении #1161260 писал(а):

Для доски Гальтона типа «треугольник» множество элементарных исходов состоит всего из двух элементов :
- шарик от гвоздя ушел вправо
- шарик от гвоздя ушел влево.

Хм!.. Это вы Лукомора начитались!
На самом деле, то что я писал во всех четырех Ваших темах - все неправильно.
Я до конца недели обещаю исправиться, дать правильные варианты своих сообщений, во всех темах, а пока только замечу, что в вашей задаче, там где 8 уровней гвоздиков, там где домик, множество элементарных исходов состоит, cоответственно, из $2^8=256$ элементарных исходов, но поля этого форума слишком узки, для того, чтобы я перечислил их всех.
При сём, ровно 184 ваших пути совпадают со 184 элементарными исходами, и ровно 36 путей, кратных, с кратностью два, совпадают с еще 72 элементарными исходами.
Итого: $184+36=220$ уникальных путей - это из области комбинаторики,
$184+72=256$ элементарных исходов - это из области теории вероятностей.

[vamoroz]

Someone в сообщении #1161264 писал(а):

Вы просто не понимаете, что такое элементарные исходы, и для чего они нужны, поэтому излагаете безграмотную чушь.

Уважаемый Someone
Буду очень признателен, если Вы объясните, что такое множество элементарных исходов для вероятностной модели доски Гальтона.
С уважением, vamoroz

[Лукомор]

vamoroz в сообщении #1161476 писал(а):

Буду очень признателен, если Вы объясните, что такое множество элементарных исходов для вероятностной модели доски Гальтона.

Я объясню.
Может быть завтра, или послезавтра.
Пока можете подумать над такой аналогией:
Парабола, описываемая уравнением $y=x^2-2x+1$ имеет одну общую точку с осью абсцисс: $(1, 0)$
В то же время уравнение $y=x^2-2x+1$ имеет 2 корня: $x_1=1, x_2=1$
Аналогично, от крайнего гвоздика траектория только одна, "вовнутрь" доски Гальтона, но считать нужно два раза:шарик отразившийся от гвоздика, и шарик отразившийся от стенки, формально эти два пути у Вас совпадают, но слегка отодвиньте стенку от гвоздика в сторону "наружу", и Вы увидите две разных траектории, уходящие: одна, сразу от гвоздика "вовнутрь", другая - сначала от гвоздика "наружу", потом, после отражения от экрана, тоже "вовнутрь". Вы придвинули экран вплотную к гвоздику, и эти две траектории у вас совпали в одну, но для правильного определения вероятностей надо считать, что их две. А для подсчета различных траекторий - одна.

[Someone]

vamoroz в сообщении #1161476 писал(а):

множество элементарных исходов для вероятностной модели доски Гальтона

А что такое вообще элементарные исходы в вероятностной модели? Не обязательно для доски Гальтона. Когда с этим разберётесь, можно будет вернуться к доске Гальтона.

[vamoroz]

В сообщении #1161260 определено множество из 4-х событий
«a» - отскок шарика от гвоздя влево
«b» - отскок шарика от гвоздя вправо
«c» - отражение шарика от левой стенки
«d» - отскок шарика от правой стенки
На основании данного множества, которое было ошибочно названо множеством элементарных исходов, сформируем множество элементарных исходов (множество возможных траекторий).
Элемент множества элементарных событий изобразим, как некую совокупность из $n$ элементов множества $\{a,b,c,d\}$, где $n$ – количество рядов с гвоздиками, через которые проходит шарик.
Например, для варианта падения шарика из накопителя A1 при его проходе через 4 ряда гвоздиков множество элементарных исходов состоит из 6-ти элементов.

$$\{(c,a,c,a),(c,a,b,b),(c,b,a,a),(c,b,a,b),(c,b,b,a),(c,b,b,b) \}$$

Так как правая стенка доски находится относительно далеко, то событие «d» в приведенном примере отсутствует. Для того, что бы в последовательности событий присутствовало и событие «c» и событие «d», надо рассматривать падение шарика на доске Гальтона определенной ширины и с определенным количеством рядов гвоздиков. Для доски Гальтона шириной в 5 накопителей события «c» и «d» происходят в случае прохождения шарика не менее чем через 6 рядов гвоздиков, причем падение шарика должно начинаться с участка Е1.
Уважаемый Someone
Принимая во внимание на Ваше активное участие в теме, буду очень признателен, если Вы дадите свои критические замечания по данному сообщению.

[vamoroz]

С молчаливого согласия Someone продолжаю.
В сообщении #1161854"] определено множество элементарных исходов, которое для рассматриваемого случая равно 6-ти элементам.

$$\Omega = \{ \omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5,\omega_6 \} $$

$\omega_1=(c,a,c,a)$
$\omega_2= (c,a,b,b)$
$\omega_3= (c,b,a,a)$
$\omega_4= (c,b,a,b)$
$\omega_5= (c,b,b,a)$
$\omega_6= (c,b,b,b)$
Согласно классической схеме определения вероятности элементарного исхода, его вероятность равна $P(\omega)=1/n=1/6$
Определим множество интересующих нас событий. Таких событий 5
A - шарик попал а накопитель A, $A=\omega_1\bigcup\omega_3 $
C - шарик попал а накопитель C, $C=\omega_2\bigcup\omega_4 \bigcup\omega_5 $
E - шарик попал а накопитель E, $D=\omega_6$
G - шарик попал а накопитель G, $G=\varnothing$
I - шарик попал а накопитель I, $I=\varnothing$
Определяем вероятности наступления событий $A, C, D, G, I$
$P(A)=P(\omega_1 )+ P(\omega_3 )=2/6=1/3$
$P(C)=P(\omega_2 )+P(\omega_4 )+P(\omega_5 )= 3/6=1/2$
$P(E)=P(\omega_6 )=1/6$
$P(G)=P(I)=0$
Таким образом, функция плотности распределения шаров по 5-ти ячейкам, при условии начала движения из А1 при прохождении 4-х рядов гвоздиков составит $\{1/3,1/2,1/6,0,0\}$
Описанную выше вероятностную модель доски Гальтона назовем «классической вероятностной моделью доски Гальтона».
Следует отметить, что существует так же «марковская вероятностная модель доски Гальтона». В ее основу положено более «бедное» множество элементарных исходов, которое состоит из 5-ти событий $A, C, E, G, I$ (случай доски Гальтона с 5-ю накопителями). При одних и тех же исходных данных (падение из A1) марковская случайная модель дает распределение $\{3/8,1/2,1/8,0,0\}$
Абсолютные значения вероятностей, найденных с помощью классической и марковской моделями при небольшом количестве рядов с гвоздиками $n$ очень близки. Различия наблюдаются при достаточно больших $n$. Они существенны и их можно увидеть даже зрительно. Графики данных распределений приведены в сообщении #1149479
Классическая модель дает распределение в виде «горба». Марковская модель в пределе $(n\to \infty )$ дает равномерное распределение (за исключением крайний участков).
И для классической и для марковской модели доски Гальтона можно построить алгоритмы имитационного моделирования. Наиболее полно алгоритм имитационного моделирования для марковской модели представлен tolstopuz-ом. Кроме кода программы на питоне представлена статистика расчета по данному алгоритму. Сомнения в том, что алгоритм tolstopuz-а дает статистику в виде «равномерного» распределения нет. Стоит вопрос о соответствии алгоритма самой доске Гальтона.
Согласно выложенному коду, можно утверждать, что tolstopuz моделирует падение шарика только по нечетным рядам гвоздиков. Его модель не позволяет учитывать перемещение шарика по всей доске Гальтона (нахождение шарика на четном ряду не учитывается).
В результате моделирования tolstopuz учитывает следующие 7 типов случайных событий
1. Уход шарика на соседний левый участок
2. Шарик остался на том же участке, где и был
3. Шарик переместился на соседний правый участок
4. Шарик остался на крайнелевом участке
5. Шарик с крайнего, левого участка переместился вправо
6. Шарик остался на крайнеправом участке
7. Шарик с крайнеправого участка переместился влево.
Сравнивая 7типов событий, моделируемых на каждом шагу алгоритма tolstopuz-а, с 4-мя типами событий, происходящих в самой доске Гальтона, и учитывая невозможность алгоритма моделировать падение шарика на четных рядах гвоздиков, приходишь к выводу, что алгоритм tolstopuz-а не соответствует доске Гальтона.
В свою очередь tolstopuz считает, что классическая вероятностная модель

tolstopuz в сообщении #1160794 писал(а):

не описывает природу процесса, не выдерживает никакой критики и рушится при соприкосновении с экспериментом.

Уважаемый tolstopuz
О каком эксперименте идет речь?

В связи с помещением темы в карантин, сообщением Someone в теме «Сообщение в карантине исправлено»

Someone в сообщении #1163938 писал(а):

Не исправлены, как минимум, сообщения post1161854.html#p1161854
, post1163664.html#p1163664
. Более ранние не смотрел. Исправить надо всё, включая однобуквенные формулы.

-- Пт окт 28, 2016 22:23:00 --

И Вы так и не объяснили, что такое элементарные исходы.

требованием модератора

Lia в сообщении #1163959 писал(а):

Обратите внимание на пост перед Вашим, пожалуйста. И сделайте все перечисленное

привожу в теме определение пространства элементарных исходов, взятое с
http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node4.html

Цитата:

Пространством элементарных исходов $\Omega$ называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой $\omega$ .

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

vamoroz
Исправьте формулы, пожалуйста.
И ники. Во избежание искажения ников для вставки ника кликайте на нужный над аватарой пользователя.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»