Критерий истинности в математике

[Rasool]

arseniiv в сообщении #1134514 писал(а):

Rasool
Так понимаю, предполагается не просто поравняться, а обойти математика-человека? Если первое, что мешает написать программу для самого обычного вычислительного устройства. (Кроме громадной затраты ресурсов.) Голова однозначно моделируется — весь вопрос в том, как и что повыкидывать из физиологически точной модели, чтобы ей можно было пользоваться, хотя сначала пока ещё остаётся досоставить её немного.

-- Ср июн 29, 2016 01:04:56 --

А, нет, не весь вопрос, конечно. Ещё надо обучить эту модель головы правильно. Чтобы она вдруг не стала артачиться и говорить «я гуманитарий и не понимаю». И чтобы у неё сформировалась нужная интуиция, да и чтобы ей просто было интересно.

Технически смоделировать работу головного мозга человека, конечно, очень сложно. 87 миллиардов нейронов - это не шутка. Нехитрая экстраполяция закона Мура дает теоретическую возможность смоделировать работу мозга на мощных суперкомпьютерах примерно к 2042 году. Но это только теоретически. На практике для этого придется подробно изучить функционирование всех 87 миллиардов нейронов (пока умеют отследить функционирование только сотни нейронов одновременно), а это займет многие десятилетия.

[arseniiv]

Ну, это, во-первых, про слишком детальную модель — никто не говорит, что нельзя будет что-нибудь упростить — и, во-вторых, просто про потенциальную возможность. Даже если мы не будем никогда моделировать мозг человека, это говорит о том, что необходимость делать для ИИ какую-то особенную модель вычислений не обязательно есть.

[vicvolf]

В качестве математических доказательств привлекаются также методы, не дающие формального доказательства, но обеспечивающие практическую применимость результата. К таким методам относятся доказательство с определенной вероятностью близкой к 1.

[Xaositect]

vicvolf, определите в конце концов эту "вероятность". О вероятностях можно говорить только если есть вероятностное пространство.

[Brukvalub]

Xaositect, подозреваю, что vicvolf упоминает вероятностные тесты проверки нат. чисел на простоту.

[vicvolf]

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0 ... 0%BE%D0%B4

[Xaositect]

Вероятностный метод - это не то. Это вполне себе строгая теорема: $\mu(X) > 0 \Rightarrow X \neq \varnothing$. То есть если мы задали на множестве объектов структуру вероятностного пространства и доказали, что вероятность того, что объект имеет некоторое свойство $X$, больше $0$, то из этого следует, что объекты, обладающие этим свойством, существуют.

[epros]

vicvolf в сообщении #1134812 писал(а):

...не дающие формального доказательства...

Примеры из статьи википедии по указанной ссылке - про формальный (хотя неконструктивный) вывод. Это значит, что наша аксиоматика позволяет вывести утверждение о существовании без предъявления объекта.

[Anton_Peplov]

Xaositect в сообщении #1134822 писал(а):

То есть если мы задали на множестве объектов структуру вероятностного пространства и доказали, что вероятность того, что объект имеет некоторое свойство $X$ больше $0$, то из этого следует, что объекты, обладающие этим свойством, существуют.

Причем мы доказали гораздо более сильное утверждение - что такие объекты "встречаются достаточно часто" (мера множества таких объектов, она же вероятность встретить такой объект, больше нуля). Очень много ситуаций, когда отнюдь не пустое (и даже в каком-то смысле самое нужное и интересное!) множество имеет меру нуль. Например, множество всех вычислимых последовательностей нулей и единиц имеет на множестве всех последовательностей нулей и единиц меру нуль (при введении меры стандартным образом, применяемым в теории колмогоровской сложности). Это несмотря на то, что указать невычислимую последовательность - та еще задачка, для начала придется придать точный смысл этому "указать" (но с ней справились - константа Хайтина и все такое).

Впрочем, это я, конечно, говорю не для Вас (Вы все это знаете). А вот vicvolf, похоже, просто слышал звон.

[Aritaborian]

(Anton_Peplov)

Anton_Peplov в сообщении #1134865 писал(а):

Очень много ситуаций, когда некоторое отнюдь не пустое множество имеет меру нуль.

Вот нафига такие общие вещи упоминать. Только зашумляете то, что, собственно, хотели сказать.

[vicvolf]

Да, я был не точен. Вы конечно знаете, что в теории чисел исследуются такие свойства арифметических функций, как ее среднее значение и отклонение от среднего значения.
Оказывается, при выполнении определенных допущений (эвристических), некоторые арифметические функции можно считать случайными величинами. Тогда среднее значение арифметической функции рассматривается, как математическое ожидание соответствующей случайной величины аналога, а отклонение от среднего значения характеризуется дисперсией данной случайной величины.
Для аддитивных или мультипликативных арифметических функций данный подход реализован в работе Й. Кубилюс "Вероятностные методы в теории чисел", Вильнюс, 1962 г. Однако я думаю, что класс таких арифметических функций шире.
В этом случае, заданное отклонение от среднего значения арифметическая функция принимает с определенной вероятностью, которая стремится к 1 при увеличении этого отклонения (для произвольной случайной величины на основании неравенства Чебышева). Вот эту вероятность, например, я предлагаю взять за $Q$. Это конечно очень частный случай.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1135059 писал(а):

В этом случае, заданное отклонение от среднего значения арифметическая функция принимает с определенной вероятностью, которая стремится к 1 при увеличении этого отклонения (для произвольной случайной величины на основании неравенства Чебышева).

Не представляю себе, как это можно извлечь из неравенства Чебышева. Данное неравенство позволяет только оценить сверху вероятность того, что отклонение НЕ ПРЕВЫСИТ чего-то там, но чтобы была возможность оценить именно "заданное отклонение от среднего значения", и чтобы вероятность заданного отклонения стремилась к 1 при увеличении этого отклонения - это фантастический результат! Срочно публикуйте!!!

[vicvolf]

Brukvalub Публикую.
Одна из форм неравенства Чебышева:
$P[(x-M(x))<C\sqrt {D(x)}]>1-1/C^2$,
где $x$ - случайная величина, $M(x),D(x)$ - соответственно мат. ожидание и дисперсия случайной величины, $C$-постоянная величина.
С ростом $C$ растет заданное отклонение $C\sqrt {D(x)}$, а величина вероятности $P$ стремится к 1.

[Brukvalub]

vicvolf, попробуйте вникнуть в разницу между словами

vicvolf в сообщении #1135059 писал(а):

заданное отклонение от среднего значения арифметическая функция принимает с определенной вероятностью

Brukvalub в сообщении #1135065 писал(а):

Данное неравенство позволяет только оценить сверху вероятность того, что отклонение НЕ ПРЕВЫСИТ чего-то там

[vicvolf]

Разница есть. Для однозначного понимания я и привел формулу.