Критерий истинности в математике

[Anton_Peplov]

Перечислимое еще называют эффективно счетным. Т.е. существует не просто биекция на $\mathbb{N}$, а вычислимая биекция.

[arseniiv]

Rasool
Так понимаю, предполагается не просто поравняться, а обойти математика-человека? Если первое, что мешает написать программу для самого обычного вычислительного устройства. (Кроме громадной затраты ресурсов.) Голова однозначно моделируется — весь вопрос в том, как и что повыкидывать из физиологически точной модели, чтобы ей можно было пользоваться, хотя сначала пока ещё остаётся досоставить её немного.

-- Ср июн 29, 2016 01:04:56 --

А, нет, не весь вопрос, конечно. Ещё надо обучить эту модель головы правильно. Чтобы она вдруг не стала артачиться и говорить «я гуманитарий и не понимаю». И чтобы у неё сформировалась нужная интуиция, да и чтобы ей просто было интересно.

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

А потом она скажет "сдавайтесь, людишки!"

А если серьезно, у нас без всяких компьютерных моделей вокруг семь миллиардов голов, из которых очень немногие могут доказать что-то нетривиальное. Я, например, не могу.

[arseniiv]

Ну, тут рабочая гипотеза именно о том, что это из-за не совсем подходящей истории того, что голова читала и т. п., и что к много какой неподходящей истории можно приписать что-то, чтобы она стала подходящей; и даже если не только, в модель это «не только» можно засунуть.

[Anton_Peplov]

В общем, чтобы научиться делать математиков из машины, нужно сначала научиться делать математиков из людей:)

[Rasool]

Anton_Peplov в сообщении #1134524 писал(а):

В общем, чтобы научиться делать математиков из машины, нужно сначала научиться делать математиков из людей:)

Как говорил Ландау: "Я не встречал мыслящих людей, а вы мне говорите про мыслящие машины".

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1134524 писал(а):

В общем, чтобы научиться делать математиков из машины, нужно сначала научиться делать математиков из людей:)

Тут полностью согласен!

[vicvolf]

У нас как в басне: лебедь, рак и щука. Каждый тянет тему туда, куда ему интересней. Давайте по порядку.

maximk в сообщении #1132015 писал(а):

Интересует вопрос о полной гарантии отсутствия ошибок в математическом доказательстве. Как по вашему, что годится в качестве такого критерия?

Таких критериев может быть много: вероятность ошибки в доказательстве - $P$, вероятность отсутствия ошибки в доказательстве - $Q=1-P$, количество ошибок в доказательстве и.т.д.
Я думаю, что лучшим критерием является вероятность отсутствия ошибки в доказательстве, так как $Q=\prod_i {Q_i}$, где $Q_i$- вероятность отсутствия шибки в компоненте доказательства (в одной из лемм, теорем и.т.д). В данном случае считается, что доказательство разбито на независимые компоненты. В случае отсутствия ошибок во всех компонентах, все $Q_i=1$ и $Q=\prod_i {Q_i}=1$, т.е. доказательство верно. В противном случае, если один из компонентов доказательства не верен - $Q_i<1$ получаем $Q=\prod_i {Q_i}<1$, т.е. доказательство не верно.

[epros]

Xaositect в сообщении #1134476 писал(а):

epros в сообщении #1134473 писал(а):

Если я правильно понимаю Гёделя, модель, в которой истинны те и только те высказывания, которые выводимы,

Такой модели же не существует.

Точно. Это я, не подумав, какую-то ерундень ляпнул.

Xaositect в сообщении #1134476 писал(а):

Для любой модели арифметики множество истинных утверждений неперечислимо.

Это вывод моделирующей теории? Вообще, теория моделей - это нечто. Вот, я так понимаю, есть моделирующая теория, которая доказывает, что "построила модель" арифметики. При этом есть утверждения, про которые моделирующая теория не может сказать, истинны они или ложны в этой модели. Да уж, какая тут перечислимость, если с принадлежностью этому множеству не всё однозначно.

[Xaositect]

epros в сообщении #1134631 писал(а):

Это вывод моделирующей теории? Вообще, теория моделей - это нечто. Вот, я так понимаю, есть моделирующая теория, которая доказывает, что "построила модель" арифметики. При этом есть утверждения, про которые моделирующая теория не может сказать, истинны они или ложны в этой модели. Да уж, какая тут перечислимость, если с принадлежностью этому множеству не всё однозначно.

Да, все так.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1134624 писал(а):

вероятность ошибки в доказательстве - $P$

Откуда берется случайность, чтобы говорить о вероятности? Вы предлагаете какой-то вероятностный proof verifier взять?

vicvolf в сообщении #1134624 писал(а):

количество ошибок в доказательстве

А его как измерять? Я могу доказательством, в котором всего один переход неверен, доказать, что я - Папа Римский.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1134659 писал(а):

vicvolf в сообщении #1134624 писал(а):

вероятность ошибки в доказательстве - $P$

Откуда берется случайность, чтобы говорить о вероятности? Вы предлагаете какой-то вероятностный proof verifier взять?

Полное обоснование утверждения об истинности какого-либо высказывания назовем доказательством этого высказывания. Частичное обоснование утверждения об истинности некоторого высказывания назовем его подтверждением.
Доказательство является предельным случаем подтверждения. Однако это такой предельный случай, который в процессе подтверждения никогда не достигается. Подтверждение повышает степень вероятности того, что подтверждаемое утверждение истинно. Но эта вероятность может сколь угодно приближаться к единице, никогда ее не достигая. Вероятность, равную единице, дает только доказательство.

[epros]

vicvolf в сообщении #1134666 писал(а):

Частичное обоснование утверждения об истинности некоторого высказывания назовем его подтверждением.

Пурга.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1134666 писал(а):

Полное обоснование утверждения об истинности какого-либо высказывания назовем доказательством этого высказывания. Частичное обоснование утверждения об истинности некоторого высказывания назовем его подтверждением.

Что такое "полное/частичное обоснование"? (и у понятие "доказательство" уже есть очень хорошее определение - вы предлагаете его заменить, или хотите ввести эквивалентное?)

[Anton_Peplov]

Мне кажется, тут vicvolf говорит о чем-то вроде индукции. Есть у нас, допустим, миллион хрямзиков и гипотеза, что все они кузявые. Доказать эту гипотезу индукцией мы можем, только перебрав весь миллион и убедившись, что каждый хрямзик кузявый. Может быть, у нас нет возможности перебрать миллион. Но чем больше хрямзиков мы переберем, убедившись, что они кузявые, тем больше шансов, что мы не ошиблись. На самом деле, конечно, все сложнее, и об этом "сложнее" существует целая наука статистика - ну там репрезентативность выборки и прочая маета. Собственно, примерно так и поступает экспериментальная наука.

В математике эксперименты тоже проводятся (проверка гипотезы Римана для триллиона частных случаев, а ранее - проверка теоремы Ферма, и т.д.), но результат "не удалось опровергнуть!" за доказательство не считается, считается только за аргумент в пользу того, что доказательство существует. Могут быть и другие аргументы - например, что удалось доказать похожие/связанные теоремы. Все это лишь косвенные аргументы, которые говорят математику, стоит ли начинать статью словами "допустим, гипотеза Таниямы-Шимуры верна" (как делали очень многие до того, как она была доказана - правда, в основном из-за ее соблазнительности, а не обоснованности). Однако же все мы помним о кривой Пеано, множествах Витали и Суслина и прочих ужасах, поэтому аргументы аргументами, но если доказательства нет, то на нет и суда нет.

Штука в том, что в математике доказательства именно что есть, причем они дедуктивны, т.е. не являются полным перебором частных случаев, что и невозможно по тривиальной причине: интересующие математиков множества, как правило, бесконечны (NB: "метод математической индукции" тоже на самом деле дедуктивный, ведь мы не перебираем "вручную" частные случаи, а рассуждаем в общем виде). Так что все эти разговоры об индукции, вероятности ошибки, утверждениях, обоснованных больше или меньше других, и прочих интересных вещах к математике относятся мало.