Критерий истинности в математике

[A_Nikolaev]

(Оффтоп)

Eimrine в сообщении #1132601 писал(а):

Замените оператор сложения на оператор спаривания или смешивания, тогда поговорим.

Ладно, пойду учить матчасть.

[maximk]

Eimrine, попробуйте взглянуть на формулу $A\to \neg A$ так, чтобы она показалась вам "интуитивно" истинной.

-- 18.06.2016, 12:59 --

arseniiv,

(Оффтоп)

кстати, вообще говоря я не только мираж и галлюцинацию считаю связанными, но и вообще любые 2 взятых явления.

[epros]

A_Nikolaev, Вы как-то странно понимаете предназначение логики. Утверждение типа $1+1>2$ - это не нечто, "применимое к кроликам", а издевательство над здравым смыслом. Логика - это всего лишь набор правил манипулирования утверждениями. Стало быть, когда мы вводим в язык символ $>$, то чтобы от применения этого символа была какая-то польза, мы должны определить его значение посредством некоторого количества аксиом. Например, в арифметике натуральных чисел эта аксиоматика будет такова, что из нее будет выводиться опровержение Вашего утверждения. Смысл логики заключается как раз в том, чтобы обеспечить нам возможность вывести данное опровержение. Для этого логика обеспечивает нас необходимыми правилами вывода.

Когда же Вы говорите о верности данного утверждения применительно к кроликам, то Вы находитесь вне какой бы то ни было логики, ибо не предоставили нам ни аксиоматики, определяющей значение символа $>$, ни правил вывода следствий из данной аксиоматики.

maximk, Вы непонятно зачем усложняете вопрос. Смысл математической формализации заключается именно в том, чтобы избежать возможной неоднозначности понимания выводов. Поэтому формализация в крайней своей форме обычно сводится к простой подстановке подстрок в строки по предопределённым правилам. Если Вы и такой вывод способны понять неоднозначно (например, Вы как-то иначе, чем остальные, распознаёте символы), то тут уже вряд ли что-то поможет.

[Eimrine]

arseniiv в сообщении #1132443 писал(а):

Цитата:

А если такие вещи будет решать специальная заточенная на безошибочнось машина?

И как вы удостоверитесь, что всё в порядке? Надо ведь сформировать ощущение истинности в своей голове, а не в машине [...] голову можно обмануть.

Допустим, мы выносим этот ваш liable за скобки, нам как-то удаётся это сделать, например, мы программируем машину, которая заведомо не ошибается. Как задать/запрограммировать/объяснить ей этот самый критерий истинности? Чтобы она могла самостоятельно, например, закончить мехмат, участвовать в олимпиадах, проверять на вшивость всякие математические препринты?

maximk,
Я не знаю, что такое "интуитивно" и что значит стрелочка в формуле.

[maximk]

epros, это я не применительно к доказательству математических фактов, а скорее применительно к применению теорем в моделировании при отличной понимании импликации от импликации в математической логике.
А что касается корректности понимания вывода, то здесь тоже может быть совершена ошибка, конечно это тоже нужно учитывать.

-- 18.06.2016, 15:30 --

Eimrine в сообщении #1132622 писал(а):

arseniiv в сообщении #1132443 писал(а):

Цитата:

А если такие вещи будет решать специальная заточенная на безошибочнось машина?

И как вы удостоверитесь, что всё в порядке? Надо ведь сформировать ощущение истинности в своей голове, а не в машине [...] голову можно обмануть.

Допустим, мы выносим этот ваш liable за скобки, нам как-то удаётся это сделать, например, мы программируем машину, которая заведомо не ошибается. Как задать/запрограммировать/объяснить ей этот самый критерий истинности? Чтобы она могла самостоятельно, например, закончить мехмат, участвовать в олимпиадах, проверять на вшивость всякие математические препринты?

maximk,
Я не знаю, что такое "интуитивно" и что значит стрелочка в формуле.

Чтоб запрограммировать такую машину, программисту нельзя ошибаться настолько, что программа будет работать некорректно.

Стрелочка обозначает импликацию.

-- 18.06.2016, 15:35 --

И да, некорректный я привёл пример вообще. Ведь модель математическая. А что здесь сложного? Мы могли бы построить математику на основании другой аксиоматики, не менее "правдоподобной", тогда и при подходящему заданию аксиом среди бесчисленного множества теорем могла бы найтись теорема, которая противоречит теореме из нашей нынешней математики, но тем не менее способна быть примененной в некоторой модели. А если теорема выглядит "правдоподобно", то это не гарантирует её истинности, но тем не менее история математики показывает, что некоторые теормы со временем были исправлены. А моделирование не исключает правдоподобности теоремы как фактора для применения.

[epros]

maximk в сообщении #1132623 писал(а):

применительно к применению теорем в моделировании

Что Вы имеете в виду? По моим понятиям, теоретические представления могут иметь различные области применения, коими занимаются разного рода прикладные (например, инженерные) дисциплины. И "правильность" применения достигается посредством научения соответствующих специалистов, в ходе коего достигается определённый автоматизм связывания теоретических понятий (терминов) с образами конкретных восприятий и действий. Разумеется, неправильно или недостаточно обученный специалист наверняка применит какие-то теории "неправильно", за что наверняка получит по башке либо от коллег, либо непосредственно от объектов своей предметной области.

Но это не имеет ни малейшего отношения к "истинности в математике". В математике же истинность обосновывается исключительно рассуждениями, в случае неоднозначного понимания коих всегда можно опуститься до необходимого уровня формализации, вплоть до упомянутого мною ранее манипулирования строками символов.

maximk в сообщении #1132623 писал(а):

А что касается корректности понимания вывода, то здесь тоже может быть совершена ошибка, конечно это тоже нужно учитывать.

В чём именно может быть совершена ошибка? Символы перепутают? Или modus ponens не так применят? Насколько я понимаю, на уровне манипулирования строками символов ошибки могут быть связаны разве что:
- с невнимательностью (или со слабым зрением),
- с отсутствием ресурсов (времени) на проверку слишком длинных доказательств.

[Eimrine]

(Оффтоп)

maximk в сообщении #1132623 писал(а):

Чтоб запрограммировать такую машину, программисту нельзя ошибаться настолько, что программа будет работать некорректно.

Есть же TDD: сначала пишем тесты, потом код. Код это такое; мне бы хотелось получить полный набор тестов и соответствующий задаче язык программирования.

Есть ли в математике что-нибудь, что могло бы стать языком для полного и непротиворечивого описания остальной математики? Может быть, теория категорий или теория множеств?

(Оффтоп)

maximk в сообщении #1132623 писал(а):

Стрелочка обозначает импликацию.

Если от дырки (на штанах) отрезать (уменьшить количество материи), то площадь (дырки) не уменьшиться. Но тут всего лишь переопределение понятий.
Или если вы получаете от меня сигнал (например, голосом), что я сплю, то на самом деле (с) я НЕ сплю. Короче, ничего прикольнее жонглирования определениями я придумать не могу.

[arseniiv]

Eimrine в сообщении #1132622 писал(а):

Допустим, мы выносим этот ваш liable за скобки, нам как-то удаётся это сделать, например, мы программируем машину, которая заведомо не ошибается. Как задать/запрограммировать/объяснить ей этот самый критерий истинности? Чтобы она могла самостоятельно, например, закончить мехмат, участвовать в олимпиадах, проверять на вшивость всякие математические препринты?

Тут не вопрос как, а вопрос, почему это не годится. В текущей постановке вопрос о людях, а они всегда найдут повод для сомнения или ложной уверенности. «А вдруг эта машина ошибается?» — спросят они. Или вдруг им микрометеорит аккуратно подправит структуру мозга так, что…

Вопрос был про критерий. Это такая вещь, которая однозначно сопоставляет какой-то штуке ответ «да» или «нет», согласующийся с наличием или отсутствием у этой штуки заданного свойства. Мы выходим из математики в реальный мир, но на самом деле в модель реального мира. И уже в достаточно точной модели этого реального мира оказывается, что человеческая голова не непогрешима, и критерий, если ответ предполагается образовываться в этой самой голове, не получится. Она всегда может сделать что-то не так в неподходящий момент. Я не понимаю, что тут можно пытаться опровергнуть.

-- Сб июн 18, 2016 19:33:26 --

epros в сообщении #1132634 писал(а):

Насколько я понимаю, на уровне манипулирования строками символов ошибки могут быть связаны разве что:
- с невнимательностью (или со слабым зрением),
- с отсутствием ресурсов (времени) на проверку слишком длинных доказательств.

Ну, если, скажем, падение метеорита прямо на проверяющего назвать невнимательностью… А, нет, это отсутствие ресурсов. (Но вообще я с вами согласен, мы просто по-разному поняли вопрос ТС.)

-- Сб июн 18, 2016 19:35:24 --

Eimrine в сообщении #1132637 писал(а):

Есть ли в математике что-нибудь, что могло бы стать языком для полного и непротиворечивого описания остальной математики? Может быть, теория категорий или теория множеств?

Сначала стоит определить, что значит «полное и непротиворечивое описание». А вообще пруд пруди формализмов (и чем варианты теории множеств не угодили). А вообще это предмет отдельного обсуждения.

[epros]

Eimrine в сообщении #1132637 писал(а):

Есть ли в математике что-нибудь, что могло бы стать языком для полного и непротиворечивого описания остальной математики? Может быть, теория категорий или теория множеств?

Вообще, есть целое направление исследований, посвящённых ответу на этот вопрос. Называется reverse mathematics.

[maximk]

epros, я имею в виду, что ложная теорема успешно работает на практике. Вот о какой правильности в приложениях идёт речь.
По большей части я о невнимательности, но конечно же не только.
Eimrine, ну да, за такие примеры философы накидываются с критикой.
Что за тест, что за TDD? Расскажите пожалуйста, а то в этом не разбираюсь.
arseniiv, почему это в достаточно точной модели этого реального мира оказывается, что человеческая голова не непогрешима? Почему это голова всегда может сделать что-то не так в неподходящий момент? А даже если и так, то мы это автоматически учитываем, если не отбрасывать ни один из возможных исходов в нашем критерии, о чём говорилось выше.

-- 18.06.2016, 19:36 --

arseniiv, вы метко указали на измененное состояние сознание. Конечно сложно придумать что-либо, что не должно опираться на восприятие (ведь при некоторых обстоятельствах его может и не быть), в таком случае остаётся придумывать что-либо, основываясь только на наличии комплекса ощущений (что будет полезно в случае, если ты являешься математической структурой ).
Всё же упростим ситуацию тем, что будем предполагать, что некое восприятие таки присутствует (пусть и искаженное).

[arseniiv]

maximk в сообщении #1132674 писал(а):

почему это в достаточно точной модели этого реального мира оказывается, что человеческая голова не непогрешима? Почему это голова всегда может сделать что-то не так в неподходящий момент?

А почему не может? В её устройстве есть механизм защиты от любых ошибок? С удовольствием послушаю, какой. Только не забывайте, что в объяснении придётся спускаться как минимум до физиологии.

-- Сб июн 18, 2016 20:41:33 --

maximk в сообщении #1132674 писал(а):

Всё же упростим ситуацию тем, что будем предполагать, что некое восприятие таки присутствует (пусть и искаженное).

Упрощайте, кто вам мешает. Без меня. В самом деле, что ж вы за моё участие так цепляетесь, как будто сами не можете развить и уточнить свои идеи и довести их до публикуемого вида или понять, что такого нет? Лично я за вас думать не собираюсь. Может, есть люди безрассуднее, а мне хватает уже того, что отвечаю здесь.

[Eimrine]

epros в сообщении #1132664 писал(а):

Называется reverse mathematics.

Вы открыли для меня новый мир, спасибо. Интересно, что тема очень как бы распорошенная и сложно искать новые ключевые слова - чего только стоит разнообразие названий в References статьи.

arseniiv в сообщении #1132660 писал(а):

чем варианты теории множеств не угодили

Тем, что я о них не знаю, и даже не уверен что знаю как правильно задать вопрос.

[A_Nikolaev]

(Пагубное влияние математики на науку)

Случайно нагуглилась речь одного математика и computer scientist под броским заголовком "Пагубное влияние математики на науку" ("The Pernicious Influence of Mathematics on Science")

Математик этот --- Jacob Theodore "Jack" Schwartz. (Вики о нем.) Основное содержание речи --- опасности, которые подстерегают ученых, необдуманно использующих математику. Отчасти пересекается с обсуждавшимися здесь вопросами, но полного соответствия нет, поэтому поместил в оффтопик.

В статье речь идет и о физике, и о социальных науках. Физическую часть я не понял. Там что-то о функции Дирака, уравнении Шредингера, теореме Биркгофа.

Текст на английском, PDF (460 КБ), качество плохое (возможно, где-то есть лучше, но я не искал), страницы повернуты. Но, может быть, кому-нибудь покажется интересным.

Ссылочка: http://www.the-rathouse.com/2010/Schwar ... matics.pdf

-- 20.06.2016, 07:34 --

(Пагубное влияние математики на науку)

Вот, в архиве есть текст в нормальном качестве (HTML): https://web.archive.org/web/20160312143 ... k/pern.asp

[Munin]

A_Nikolaev в сообщении #1132957 писал(а):

Там что-то о функции Дирака, уравнении Шредингера, теореме Биркгофа.

Неплохо, будет чем потроллить математиков в будущем.

[scwec]

(Оффтоп)

Повеяло чем-то родным.
"О Марксе,
Энгельсе...
Ни при какой погоде
Я этих книг, конечно, не читал."
С.А. Есенин