Где можно почитать про метрику Пенлеве, у Вейнберга ее нет.
Но зато я обнаружил преобразование аналогичное моей идее, где координаты

свободно падающей частице

где в частности координаты

, могут быть декартовы см. текст после формулы (3.2.2), т.е. переходу к декартовой системе координат. см. Вейнберг формулы (3.2.2),(3.2.6). эта формула определяет декартовы координаты, локальна, но локальна в каждой точке

. Дело в том, что декартова система координат однозначно определяется по формуле

и хотя она не имеет физического смысла как координата в четырехмерном пространстве, являющимся поверхность тела в пятимерном пространстве. Имеет физический смысл приращение координаты. Эта система координат локальна в каждой части области. Т.е. нельзя записать

, так как декартова система координат справедлива только в окрестности точки, а можно записать

, так как скорость в поле гравитации всегда переменная. Но математически ее можно определить в каждой точке не плоского пространства.
Munin, имеется еще одно определение инерциальной системы отсчета, свободно двигающееся в поле гравитации тело определяет инерциальную систему отсчета. Для нее справедливо локальное преобразование Лоренца, так как локально она декартова. В случае одиночного тела для него локальная инерциальная система отсчета переходит в глобально инерциальную систему отсчета, так как скорость тела постоянна. И значит согласно параграфу 82 ЛЛ2 метрический тензор инерциальной системы отсчета является тензором Галилея. Т.е. и согласно Вейнбергу, и как получается и для ЛЛ метрический тензор определяется для каждого тела индивидуально, и не существует общего метрического тензора для всех тел. Одиночное тело можно рассматривать как точечное, не важно с какой массой, и для него пространство плоское.
Солнце движется в инерциальной системе отсчета, и значит согласно параграфу 82 ЛЛ его метрический тензор является тензором Галилея. Или и параграф 82, как и параграф 1 не применимы. Не слишком ли много исправлений для одной книги. Я попытаюсь найти свойства инерциальной системы координат и в других книгах, но боюсь результат будет тот же.