Производная кубического корня из куба в точке ноль

[mihailm]

Mikhail_K в сообщении #1104644 писал(а):

...Это схоластика, говорить, какой ответ здесь правильный, какой неправильный. Зависит от принятых соглашений. В случае ученика - зависит от того, какое соглашение приведено в учебнике...

Схоластика это не в математике. А в школьной математике все однозначно: просто тут на форуме учебники школьные читать не принято. Корни: плюс минус один.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1104660 писал(а):

конечно кроме $0^0$

Ну и зря кроме.

[Mikhail_K]

Matio в сообщении #1104651 писал(а):

Похоже, даже на форуме мнения уже разделяются...А как быть тогда ученику? Понять, сколько корней и каких есть у вполне конкретного уравнения - разве это совсем схоластика?

Matio в сообщении #1104510 писал(а):

решить уравнение $x^{1-3x}=x^{x+3}$.

Да не разделяются мнения. Просто разным людям комфортнее определять степень немного по-разному. Если они готовы каждый раз, когда возникает опасность различного понимания одной и той же записи разными людьми, специально оговаривать, что они имеют в виду, то всё нормально.

Удовлетворит вас такой ответ: та формулировка задачи, которую Вы дали, заведомо неточна и имеет разные толкования. То есть это некорректная формулировка, и нет смысла говорить о том, какой у этой задачи правильный ответ. Корректная формулировка может быть такой:

Цитата:

решить уравнение $x^{1-3x}=x^{x+3}$, где степень понимается в смысле вещественной степени

Тогда корень $x=1$.

Или формулировка может быть такой:

Цитата:

решить уравнение $x^{1-3x}=x^{x+3}$, где степень понимается в смысле степени с целым показателем

Тогда корни $x=\pm 1$.

Если же задача дана ученику, то формулировка

Цитата:

решить уравнение $x^{1-3x}=x^{x+3}$

может пониматься как сокращённая запись одной из этих двух корректных формулировок, или даже ещё каким-нибудь способом. Как именно её надо понимать - пусть ученик смотрит учебник.

-- 06.03.2016, 18:38 --

Повторяю, спор о том, какой ответ здесь правильный - бессмысленный спор. В математике вообще не бывает никакой правильности, пока точно не определены понятия, входящие в формулировку задачи. Так уж сложилось, что степень можно определять по-разному, и в зависимости от этого будут разные ответы. Обычно это не вызывает трудностей, потому что в спорных случаях принято уточнять, что именно имеется в виду. Такое уточнение, в частности, должен сделать учитель, готовящий к экзамену. Но если какой-то ответ считается правильным в школе и на экзамене, это не значит, что другие - неправильные и не имеют права на существование.

[Matio]

arseniiv в сообщении #1104655 писал(а):

Для каких уравнений в 7-м классе определяется понятие корня?

Определения даются в самом начале темы "Уравнения", никаких конкретных типов уравнений, к которым они должны применяться не указывается. А так понятно, что для линейных и квадратных уравнений, в основном решаемых в этих классах, можно и вообще ничего не говорить о допустимых значениях переменной.

arseniiv в сообщении #1104655 писал(а):

Нет, все определения верны, первое - для уравнений из программы 7-го класса, второе - из общего школьного курса математики.

Мне кажется, тогда это существенный недочёт учебников, в том числе и вузовских. Скажем, когда говорят, что у квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом нет корней, обычно указывается, что имеются в виду только действительные корни, да и все помнят об этом. И при переходе к комплексным числам никакого противоречия не возникает. А здесь новое определение фактически отменяет старое.

Mikhail_K в сообщении #1104667 писал(а):

Да не разделяются мнения. Просто разным людям комфортнее определять степень немного по-разному. Если они готовы каждый раз, когда возникает опасность различного понимания одной и той же записи разными людьми, специально оговаривать, что они имеют в виду, то всё нормально.

Но ведь это нигде как раз и не оговаривается(из известных мне учебников и пособий). Об этом и речь.

Mikhail_K в сообщении #1104667 писал(а):

Удовлетворит вас такой ответ: та формулировка задачи, которую Вы дали, заведомо неточна и имеет разные толкования. То есть это некорректная формулировка, и нет смысла говорить о том, какой у этой задачи правильный ответ. Корректная формулировка может быть такой:...

Да, в общем удовлетворит. Я собственно и выяснил главное - такая формулировка некорректна.

Mikhail_K в сообщении #1104667 писал(а):

Если же задача дана ученику, то формулировка

Mikhail_K в сообщении #1104667 писал(а):

Цитата:

решить уравнение $x^{1-3x}=x^{x+3}$

может пониматься как сокращённая запись одной из этих двух корректных формулировок, или даже ещё каким-нибудь способом. Как именно её надо понимать - пусть ученик смотрит учебник.

А вот это не получится. Я пока не видел учебника, где этот вопрос хоть как-то содержательно бы обсуждался.
Практически все школьники привыкли, что задача "Решить уравнение:..." всегда совершенно однозначная, и не подозревают о существовании таких различных трактовок.

[Mikhail_K]

Matio в сообщении #1104670 писал(а):

Практически все школьники привыкли, что задача "Решить уравнение:..." всегда совершенно однозначная, и не подозревают о существовании таких различных трактовок.

Ну, вообще возможны только два случая. 1) Школьники просто не встречаются с такими уравнениями, как Ваше. Тогда, может, и не обязательно что-то оговаривать. Оговаривать стоит только тогда, когда возникает опасность различного понимания. 2) Наоборот, школьники встречаются с такими примерами. Тогда - им показывают, как их решать. Почти наверняка, им при этом говорят что-то вроде "как мы знаем, основание показательной функции не может быть отрицательным" или что-нибудь в этом духе. (кстати, забавно! существует ещё одна трактовка, когда даже корень $x=1$ в Вашем уравнении не подходит - потому что основание показательной функции не может быть равно $1$. Тоже бессмысленно спорить, верно это или неверно - зависит от соглашения) Вот, когда учитель это произносит, это и есть необходимое пояснение.

Так что в обоих случаях всё нормально)

[Matio]

Mikhail_K в сообщении #1104672 писал(а):

Ну, вообще возможны только два случая. 1) Школьники просто не встречаются с такими уравнениями, как Ваше. Тогда, может, и не обязательно что-то оговаривать. Оговаривать стоит только тогда, когда возникает опасность различного понимания.

Встречаются. И даже на экзаменах. И опасность возникает.И ошибки идут пачками. Понимания у них чаще всего вообще нет. Потому что вопрос не разбирается ни в учебниках, ни (чаще всего, за всех учителей, конечно, не скажу) в классе. Хорошо, если учитель дал правильный алгоритм, что нужно написать в такой ситуации.

Mikhail_K в сообщении #1104672 писал(а):

2) Наоборот, школьники встречаются с такими примерами. Тогда - им показывают, как их решать. Почти наверняка, им при этом говорят что-то вроде "как мы знаем, основание показательной функции не может быть отрицательным" или что-нибудь в этом духе. (кстати, забавно! существует ещё одна трактовка, когда даже корень $x=1$ в Вашем уравнении не подходит - потому что основание показательной функции не может быть равно $1$. Тоже бессмысленно спорить, верно это или неверно - зависит от соглашения) Вот, когда учитель это произносит, это и есть необходимое пояснение.

О возможности этой указанной Вами трактовки я тоже упоминал выше. Проблема может возникнуть и здесь. Соглашение должно быть общеизвестно всем сторонам. А этого почему-то нет. Спорить здесь странно - в математике должна быть определённость, выраженная в чётких определениях, охватывающих все возможные случаи и с указанием области их применения. Это я и хотел прояснить для себя.

[B@R5uk]

Matio в сообщении #1104420 писал(а):

Знаю обычное объяснение, что рациональные степени отрицательных чисел не определяются, так как получаются противоречия вроде ${(-8)}^{1/3}=-2$ и одновременно ${(-8)}^{1/3}={(-8)}^{2/6}=2$. Противоречие.

Запись ${(-8)}^{2/6}$ не имеет смысла. Потому что в зависимости от порядка вычислений получатся разные результаты:

$${{\left( {{\left( -8 \right)}^{2}} \right)}^{{1}/{6}\;}}=\left\{ 2,1+i\sqrt{3},-1+i\sqrt{3},-2,-1-i\sqrt{3},1-i\sqrt{3} \right\}$$

$$\[{{\left( {{\left( -8 \right)}^{{1}/{6}\;}} \right)}^{2}}=\left\{ 1+i\sqrt{3},-2,1-i\sqrt{3} \right\}\]$$

поскольку

$${{\left( -8 \right)}^{{1}/{6}\;}}=\left\{ \sqrt{\frac{3}{2}}+i\sqrt{\frac{1}{2}},i\sqrt{2},-\sqrt{\frac{3}{2}}+i\sqrt{\frac{1}{2}},-\sqrt{\frac{3}{2}}-i\sqrt{\frac{1}{2}},-i\sqrt{2},\sqrt{\frac{3}{2}}-i\sqrt{\frac{1}{2}} \right\}$$

Между прочим, второй вариант вычислений приводит к тому же результату, что и исходное возведение в степень:

$$\[{{\left( -8 \right)}^{{1}/{3}\;}}=\left\{ 1+i\sqrt{3},-2,1-i\sqrt{3} \right\}\]$$

Как легко можно заметить, ваше противоречие весьма надуманно.

Надеюсь, я нигде не обсчитался в вычислениях, если что, поправьте меня.