Производная кубического корня из куба в точке ноль

[Brukvalub]

Matio в сообщении #1104451 писал(а):

Как тогда грамотно записывать производные функций подобного типа, ведь их обычно находят именно, представляя корень в виде степени?

ewert в сообщении #1104443 писал(а):

Попросту удобнее уговориться о различении чётных и нечётных степеней -- и потом со всем удовольствием и всем колхозом этим уговором пользоваться.

[Mikhail_K]

Matio в сообщении #1104408 писал(а):

Ведь $\sqrt[3]{-8}=-2$, а $\((-8)}^{1/3} $ не определено? Так?

То, что Вы здесь привели - не абсолютная истина, а одно из возможных соглашений. И, по-моему, оно актуально не только для школы: мне тоже удобнее считать, что $(-8)^{1/3}$ не определено (как вещественная степень). Но это именно соглашение. Каждый выбирает сам, что ему удобнее - считать, что $(-8)^{1/3}$ не определено (и тогда не придётся думать о том, чему равно $(-8)^{2/6}$), либо же считать, что $(-8)^{1/3}=(-8)^{2/6}=-2$, но тогда придётся уточнить, что когда показатель степени - сократимая дробь, её нельзя представлять в виде корня $(-8)^{2/6}\neq \sqrt[6]{(-8)^2}$, а нужно сначала сокращать дробь. Это вопрос удобства, и обычно к каким-то непоняткам это не приводит.

Matio в сообщении #1104451 писал(а):

Скажем, запись $(\sqrt [3] {x}) '=(x^{1/3}) '=\frac {1}{3} x^{-2/3} $ выходит
является неверной, так как происходит сужение области определения?
А если результат переписать обратно в виде $\frac {1}{3 \sqrt [3] {x^2}} $, то всё снова хорошо? Как тогда грамотно записывать производные функций подобного типа, ведь их обычно находят именно, представляя корень в виде степени?

Обычно такими вещами "не заморачиваются". За этой схоластикой, как что лучше записать, теряется суть. Ясно, что формула для производной может не работать в каких-то отдельных точках, и если это понятно, то не стоит искать формулу, которая работала бы во всех точках.

[Matio]

Mikhail_K в сообщении #1104506 писал(а):

Каждый выбирает сам, что ему удобнее - считать, что $(-8)^{1/3}$ не определено (и тогда не придётся думать о том, чему равно $(-8)^{2/6}$), либо же считать, что $(-8)^{1/3}=(-8)^{2/6}=-2$, но тогда придётся уточнить, что когда показатель степени - сократимая дробь, её нельзя представлять в виде корня $(-8)^{2/6}\neq \sqrt[6]{(-8)^2}$, а нужно сначала сокращать дробь. Это вопрос удобства, и обычно к каким-то непоняткам это не приводит.

Как сказать...Вот вообще просто школьный пример: решить уравнение $x^{1-3x}=x^{x+3}$. Является ли число $-1/2$ его корнем? А число $-1$ ? А число $ 1 $ ? Даже в опубликованных пособиях я встречал разные подходы и соответственно ответы. Каков правильный на Ваш взгляд? Что должен написать школьник на экзамене, получив такое задание? Вопрос это не праздный. Большинство учителей, даже неплохих, не знают чёткого ответа на него.

Mikhail_K в сообщении #1104506 писал(а):

За этой схоластикой, как что лучше записать, теряется суть. Ясно, что формула для производной может не работать в каких-то отдельных точках, и если это понятно, то не стоит искать формулу, которая работала бы во всех точках.

Как практически вычислять производные и применять их к решению задач мне в целом вполне ясно.
Но отчётливо понимать смысл и область применения используемых записей и обозначений, на мой взгляд тоже важно.

Ещё я вот до сих пор считал, что для выяснения того, например, дифференцируема ли функция $y=\sqrt[3]{x^2-4}$ в точках $2$ и $-2$ достаточно найти по формулам её производную $y'=\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2-4)^2}}$ и сказать, что полученное выражение не имеет смысла при этих значениях. Получается - нет, и дифференцируемость в этих точках в подобных случаях необходимо проверять отдельно по определению?

[ewert]

Matio в сообщении #1104510 писал(а):

Получается - нет, и дифференцируемость в этих точках в подобных случаях необходимо проверять отдельно по определению?

В данном случае такой необходимости нет, т.к. есть теорема: производная в предельной точке равна пределу производной, если этот предел (конечный или бесконечный) существует. Т.е. в данном случае в тех точках производные существуют, но бесконечные.

[Brukvalub]

Matio в сообщении #1104510 писал(а):

Вот вообще просто школьный пример: решить уравнение $x^{1-3x}=x^{x+3}$. Является ли число $-1/2$ его корнем? А число $-1$ ? А число $ 1 $ ? Даже в опубликованных пособиях я встречал разные подходы и соответственно ответы. Каков правильный на Ваш взгляд?

Корнем является только третье число.

Matio в сообщении #1104510 писал(а):

Что должен написать школьник на экзамене, получив такое задание?

Достаточно написать, что область определения такого уравнения , как учат в школе, определяется условием $x>0$.

[Matio]

ewert в сообщении #1104512 писал(а):

В данном случае такой необходимости нет, т.к. есть теорема: производная в предельной точке равна пределу производной, если этот предел (конечный или бесконечный) существует. Т.е. в данном случае в тех точках производные существуют, но бесконечные.

Вот с этим теперь стало ясно. Сошлись отдельные части понимания воедино. Спасибо! Хотя, может я невнимательно читал, но в каких учебниках матанализа есть эта теорема? Хочу прочитать полностью. В Фихтенгольце сейчас нашёл подобный случай - он доказывает по определению.

Brukvalub в сообщении #1104537 писал(а):

Корнем является только третье число.

Brukvalub в сообщении #1104537 писал(а):

Достаточно написать, что область определения такого уравнения , как учат в школе, определяется условием $x>0$.

Да, но в учебнике (например, Макарычева) даётся определение, что "корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство". А если подставить $-1$, получим верное равенство $(-1)^4=(-1)^2$. При этом целая степень для отрицательных чисел определяется, так почему здесь надо вводить ограничение $x>0$?
С корнем $1$ тоже могут быть вопросы - ведь обычная показательная функция определяется для основания, не равного 1. Получается, в школе должны отдельно определять функции вида ${f(x)}^{g(x)}$? У меня всё равно пока не выстроилась окончательная картина...

[Brukvalub]

Matio в сообщении #1104551 писал(а):

Да, но в учебнике (например, Макарычева) даётся определение, что "корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство". А если подставить $-1$, получим верное равенство $(-1)^4=(-1)^2$. При этом целая степень для отрицательных чисел определяется, так почему здесь надо вводить ограничение $x>0$?

Согласно определению вещественной степени вещественного числа, функция $f(x)^{g(x)}$ определена только на пересечении областей определения функций $f(x) , g(x)$ и решения неравенства $f(x)>0$, поэтому "если подставить $-1$", то подставившему нужно ремня дать двойку поставить. И в учебнике, наверняка, перед определением корня уравнения оговаривается, что все разговоры о корнях ведутся в предположении, что эти корни берутся из области определения уравнения.

[ewert]

Matio в сообщении #1104551 писал(а):

в каких учебниках матанализа есть эта теорема? Хочу прочитать полностью.

Не надо ничего читать -- это практически прямое следствие теоремы Лагранжа о конечных приращениях.

[Dmitriy40]

Brukvalub в сообщении #1104558 писал(а):

Matio в сообщении #1104551 писал(а):

Да, но в учебнике (например, Макарычева) даётся определение, что "корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство". А если подставить $-1$, получим верное равенство $(-1)^4=(-1)^2$. При этом целая степень для отрицательных чисел определяется, так почему здесь надо вводить ограничение $x>0$?

Согласно определению вещественной степени вещественного числа, функция $f(x)^{g(x)}$ определена только на пересечении областей определения функций $f(x) , g(x)$ и решения неравенства $f(x)>0$, поэтому "если подставить $-1$", то подставившему нужно ремня дать двойку поставить.

Хочу тоже уточнить, а если решать данное уравнение исключительно в целых числах? Тогда ответ $-1$ становится допустим? Можно ли тогда задать вопрос учителю, решать на множестве действительных или целых чисел или первое подразумевается автоматически если не оговорено иное?

[Brukvalub]

Dmitriy40 в сообщении #1104608 писал(а):

первое подразумевается автоматически если не оговорено иное.

[Mikhail_K]

Matio в сообщении #1104510 писал(а):

Как сказать...Вот вообще просто школьный пример: решить уравнение $x^{1-3x}=x^{x+3}$. Является ли число $-1/2$ его корнем? А число $-1$ ? А число $ 1 $ ? Даже в опубликованных пособиях я встречал разные подходы и соответственно ответы. Каков правильный на Ваш взгляд? Что должен написать школьник на экзамене, получив такое задание? Вопрос это не праздный. Большинство учителей, даже неплохих, не знают чёткого ответа на него.

Это схоластика, говорить, какой ответ здесь правильный, какой неправильный. Зависит от принятых соглашений. В случае ученика - зависит от того, какое соглашение приведено в учебнике.
$-1/2$ однозначно не является корнем, $1$ однозначно является. Что касается $-1$ - зависит от того, как понимать степень: как вещественную или как с целым показателем. Вообще говоря, это две разные задачи.
То есть, резонно различать даже три вида степеней: комплексную, вещественную (только для неотрицательных оснований) и с целым показателем (для любых оснований). Если хочется строгости, в каждой задаче надо оговаривать, о какой степени идёт речь.

[Matio]

ewert в сообщении #1104573 писал(а):

Не надо ничего читать -- это практически прямое следствие теоремы Лагранжа о конечных приращениях.

Да, конечно. Всё ясно.

Brukvalub в сообщении #1104558 писал(а):

Согласно определению вещественной степени вещественного числа, функция $f(x)^{g(x)}$ определена только на пересечении областей определения функций $f(x) , g(x)$ и решения неравенства $f(x)>0$, поэтому "если подставить $-1$", то подставившему нужно ремня дать двойку поставить. И в учебнике, наверняка, перед определением корня уравнения оговаривается, что все разговоры о корнях ведутся в предположении, что эти корни берутся из области определения уравнения.

Mikhail_K в сообщении #1104644 писал(а):

Это схоластика, говорить, какой ответ здесь правильный, какой неправильный. Зависит от принятых соглашений. В случае ученика - зависит от того, какое соглашение приведено в учебнике.
$-1/2$ однозначно не является корнем, $1$ однозначно является. Что касается $-1$ - зависит от того, как понимать степень: как вещественную или как с целым показателем. Вообще говоря, это две разные задачи.

Похоже, даже на форуме мнения уже разделяются...А как быть тогда ученику? Понять, сколько корней и каких есть у вполне конкретного уравнения - разве это совсем схоластика?

Получается выражение $(-1)^2$ само по себе имеет смысл, но функция $y=x^{x+3}$ не определена в точке $-1$?
Но тогда возникает такая проблема.
Понятие корня уравнения (приводившееся мной выше) определяется в 7 классе (или даже раньше) часто даже ДО введения понятия функции. А область определения уравнения определяется тогда же как "множество значений переменной, при которых обе части уравнения имеют смысл". Значит, эти определения неверны, если считать, что $(-1)^2$ и $(-1)^4$ имеют смысл, а уравнение $x^{1-3x}=x^{x+3}$ не имеет корня $-1$?

[Brukvalub]

Matio в сообщении #1104651 писал(а):

Понятие корня уравнения (приводившееся мной выше) определяется в 7 классе (или даже раньше) часто даже ДО введения понятия функции.

Для каких уравнений в 7-м классе определяется понятие корня?

Matio в сообщении #1104651 писал(а):

А область определения уравнения определяется тогда же как "множество значений переменной, при которых обе части уравнения имеют смысл".

Да, а выражение $f(x)^{g(x)}$ по определению вещественного числа в вещественной степени считается имеющим смысл... (см. мое сообщение выше).

Matio в сообщении #1104651 писал(а):

Значит, эти определения неверны

Нет, все определения верны, первое - для уравнений из программы 7-го класса, второе - из общего школьного курса математики.

[arseniiv]

Matio в сообщении #1104651 писал(а):

Похоже, даже на форуме мнения уже разделяются...А как быть тогда ученику? Понять, сколько корней и каких есть у вполне конкретного уравнения - разве это совсем схоластика?

Не совсем разделяются. Подобная тема не раз уже здесь всплывала, имея одинаковые результаты:
1. Понятно, что в «математике вообще» мы можем определить функции как нам удобно — главное, по ходу дела рассказать остальным. Если определить функцию двух аргументов $(x, y)\mapsto x^y$ на самом большом подмножестве вещественной плоскости, на котором это возможно, решения того уравнения будут включать $-1$.
2. Школьная математика же имеет некоторые ограничения (откинем вопрос о том, есть ли у них и какие обоснования). В случае ЕГЭ надо смотреть требования к ответам ЕГЭ и т. д.. Возможно, в задачах, где требуется написать полное решение, как-то и можно написать «лишние» корни, предупредив перед этим о том, какая функция рассматривается и как она определена там, где учебники иногда считают её неопределённой, но надо смотреть требования к таким типам задач. Иначе проверяющие могут быть даже если и согласны, но по требованиям вынуждены не зачесть сколько-то баллов.

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

Не уверен что так правильно, но в своё время в школе возникала мысль дополнить область допустимых значений функции $x^y$ отрицательными целыми числами когда и $x$ и $y$ целые (а при $x=1$ и $x=0$ даже и любыми действительными $y$, конечно кроме $0^0$). Тогда функция остаётся по виду одной, но включает в себя все возможные решения на всей действительной оси (хм, даже плоскости). Просто при $x<0$ функция определена лишь в отдельных точках полуплоскости. Ничего принципиально страшного в этом нет, т.к. в школьной математике полно и других таких функций, например $\sqrt{\sin(x)-1}$.
И тогда $-1$ будет являться вполне себе правильным ответом для исходного уравнения. Чисто по школьному, без всякой строгости.
Повторю, видимо это неправильно/неудобно, потому в офтопе.