2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Производная кубического корня из куба в точке ноль
Сообщение05.03.2016, 14:01 


05/03/16
11
Добрый день!
Возник такой, наверное глупый, вопрос, с которым хочу всё-таки разобраться.
Дифференцируема ли функция $ y=\sqrt[3]{x^3} $ в точке 0?
С одной стороны, она вроде бы совпадает со всюду дифференцируемой функцией y=х.
С другой стороны, её производная, найденная непосредственно,
есть $ \frac{x^2} {\sqrt[3]{x^6}}$ и она не определена в нуле.
Как же обстоит дело?
Заранее благодарен за ответы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная кубического корня из куба в точке ноль
Сообщение05.03.2016, 14:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Matio в сообщении #1104391 писал(а):
С другой стороны, её производная, найденная непосредственно,
есть $ \frac{x^2} {\sqrt[3]{x^6}}$ и она не определена в нуле.

Если Вы получили для производной какую-то формулу, не определённую в нуле, то это ещё вовсе не означает, что не определена в нуле сама производная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная кубического корня из куба в точке ноль
Сообщение05.03.2016, 14:17 


05/03/16
11
Спасибо! Правильно ли я понимаю, что тогда это означает, что данная формула для производной композиции функций в нуле не работает, то есть в нуле дифференцируемость надо определять отдельно? В чём причина этого? Почему и в каких случаях так происходит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная кубического корня из куба в точке ноль
Сообщение05.03.2016, 14:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Matio в сообщении #1104395 писал(а):
В чём причина этого? Почему и в каких случаях так происходит?
Потому что в условиях формулы дифференцирования сложной функции требуется, чтобы и внешняя, и внутренняя функции были дифференцируемы в соответствующих точках. А $\sqrt[3]{x}$ не является дифференцируемой в нуле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная кубического корня из куба в точке ноль
Сообщение05.03.2016, 14:27 


05/03/16
11
Xaositect в сообщении #1104397 писал(а):
А $\sqrt[3]{x}$ не является дифференцируемой в нуле.

Да, этот факт сам по себе понятен. То есть получается, дело в том, что просто не выполняется "привычное" достаточное условие - и внешняя и внутренняя функции дифференцируемы - но при этом сама композиция вполне может быть дифференцируема, что здесь и происходит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная кубического корня из куба в точке ноль
Сообщение05.03.2016, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная кубического корня из куба в точке ноль
Сообщение05.03.2016, 16:08 


05/03/16
11
Понял. Спасибо за разъяснения. Значит, $y=\sqrt[3]{x^3} $ и $y=x$ - это одна и та же функция $ f(x) $, которая дифференцируема на всей действительной оси?
А что насчёт функции $y=\((x^3)}^{1/3} $ ? Я правильно понимаю, что она не определена для отрицательных x и совпадает с функцией f(x) для неотрицательных x. Тогда в нуле она ведь дифференцируема только справа?
У меня всё равно вызывает трудности понимание того, что выражения $\sqrt[3]{x^3} $ , $x$ и $\((x^3)}^{1/3} $ - вроде бы почти одно и тоже, но и не совсем...
Ведь $\sqrt[3]{-8}=-2$, а $\((-8)}^{1/3} $ не определено? Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная кубического корня из куба в точке ноль
Сообщение05.03.2016, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Да, все верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная кубического корня из куба в точке ноль
Сообщение05.03.2016, 17:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
Matio в сообщении #1104408 писал(а):
Ведь $\sqrt[3]{-8}=-2$
И всё?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная кубического корня из куба в точке ноль
Сообщение05.03.2016, 17:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Matio в сообщении #1104408 писал(а):
Тогда в нуле она ведь дифференцируема только справа?

Нет. Потому что

Matio в сообщении #1104408 писал(а):
а $(-8)^{1/3} $ не определено? Так?

-- это только в школе так, из сугубо педагогичных соображений. После же школы все немедленно отбрасывают этот бессмысленный пуризм и считают, что это одно и то же.

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1104415 писал(а):
И всё?

Да, это всё. А почему всё и какой контекст -- угадайте сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная кубического корня из куба в точке ноль
Сообщение05.03.2016, 18:09 


05/03/16
11
ewert в сообщении #1104417 писал(а):
-- это только в школе так, из сугубо педагогичных соображений.


Да, известно, что всегда существует n корней n-й степени из комплексного числа. Получается, здесь для приобретения общего понимания ситуации необходим только выход в С?
А во множестве действительных чисел всё выглядит не очень ясно...
Знаю обычное объяснение, что рациональные степени отрицательных чисел не определяются, так как получаются противоречия вроде ${(-8)}^{1/3}=-2$ и одновременно ${(-8)}^{1/3}={(-8)}^{2/6}=2$. Противоречие. Значит нельзя. Но это всё равно оставляет чувство неудовлетворённости. Как-то хочется понять в чём тут дело, оставаясь в действительных числах...

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная кубического корня из куба в точке ноль
Сообщение05.03.2016, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Matio, получается, что вы все знаете и просто хотите утешений? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная кубического корня из куба в точке ноль
Сообщение05.03.2016, 19:18 


19/05/10

3940
Россия
ewert в сообщении #1104417 писал(а):
...-- это только в школе так, из сугубо педагогичных соображений. После же школы все немедленно отбрасывают этот бессмысленный пуризм и считают, что это одно и то же...
Кто-то может и отбрасывает, но многие продолжают придерживаться этого очень удобного соглашения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная кубического корня из куба в точке ноль
Сообщение05.03.2016, 19:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Matio в сообщении #1104420 писал(а):
Получается, здесь для приобретения общего понимания ситуации необходим только выход в С?

Нет, не получается. Тут дело вовсе не в выходе в комплексный случай. А попросту в удобстве. Попросту удобнее уговориться о различении чётных и нечётных степеней -- и потом со всем удовольствием и всем колхозом этим уговором пользоваться.

Выход же в комплексную плоскость -- это уже совсем другая тема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная кубического корня из куба в точке ноль
Сообщение05.03.2016, 20:53 


05/03/16
11
Brukvalub в сообщении #1104435 писал(а):
Matio, получается, что вы все знаете и просто хотите утешений? :shock:

Нет, совсем не всё знаю. У меня получаются какие-то противоречия, которые хотелось бы разрешить.
Скажем, запись $(\sqrt [3] {x}) '=(x^{1/3}) '=\frac {1}{3} x^{-2/3} $ выходит
является неверной, так как происходит сужение области определения?
А если результат переписать обратно в виде $\frac {1}{3 \sqrt [3] {x^2}} $, то всё снова хорошо? Как тогда грамотно записывать производные функций подобного типа, ведь их обычно находят именно, представляя корень в виде степени?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group