Вопросы по Сивухину.

[amon]

peripatetik в сообщении #1084741 писал(а):

значит потенциал $\varphi_1$, как и ожидалось, в случае двух сфер уменьшится.

Да, похоже, Вы правы. Дмитрий Васильевич тут соврал. (Хорошо бы на его решение посмотреть...)

[peripatetik]

Со всеми бывает, учебник все равно очень хороший, основательный.
Не сочтите за занудство, но все же, в чем проблема с подсчетом работы по перемещению заряда у проводящей плоскости? Если бы с другой стороны был настоящий заряд, то энергия поля $1/2\int \varphi dq$ (за вычетом энергии на создание точечных зарядов) была бы равна просто $Q^2/2x$ ($x$ -расстояние до плоскости), но когда мы заменяем заряд полупространством по методу изображений, то половина энергии поля пропадает, так как потенциал в полупространстве равен нулю и остается $U=Q^2/4x$ ($x$ -расстояние до плоскости), что дает правильную силу притяжения $F=-\frac{\partial U}{\partial x}.$ Извиняюсь за настойчивость, просто Ваш комментарий сильно противоречит моей картине мира, хотелось бы разобраться...

[amon]

Потенциал в точке, где стоит заряд равен равен $Q/2x$, а работа по перемещению этого заряда на бесконечность равна $Q/4x$. Это то, что я сказать хотел. Однако, прочитав еще раз то, на чем Вы настаивали начиная с первого поста, я "вдруг" сообразил, что связь работы и электростатического потенциала Вы ни где не использовали, и, похоже, Ваше рассуждение верное. Так что, мои извинения.

В свое оправдание могу сказать, что электростатическим потенциалом я в своей деятельности почти не пользуюсь. Перед началом трудовой деятельности я произношу страшное заклинание: "Выберем калибровку $\varphi=0$!" После чего во всей вселенной все потенциалы сразу зануляются, все вольтметры превращаются в тыквы, а эталон вольта становится эталоном нуля. Правда, в конце все приходится назад расколдовывать, а то экспериментаторы не понимают что вообще без вольтов можно измерять.

[peripatetik]

Ну что Вы, не нужно извинений, обсуждение для меня было очень поучительным, еще раз спасибо.

[мат-ламер]

Я решил задачу из Сивухина (стр.111) так. Рассмортим следующее сложное движение системы из двух проводников и одного положительного пробного заряда (находящегося на значительном удалении - будем считать на бесконечном). Это движение состоит из четырёх этапов. 1) Двигаем пробный заряд из бесконечности к заряженному проводнику. 2) Двигаем незаряженный проводник к заряженному. 3) Удаляем пробный заряд на бесконечность. 4) Возвращаем незаряженный проводник на своё место. Система вернулась в исходное состояние и сумма затраченной работы по всем этапам нулевая. На втором и четвёртом этапе ( в сумме) мы из системы получим энергию (потому как пробный заряд увеличивает заряд первого проводника и проводники притягиваются). Следовательно на первом и третьем этапе (в сумме) в систему надо вложить энергию. Следовательно на третьем этапе работа, затраченная на перемещение заряда в бесконечность (это потенциал двух проводников) будет больше, чем работа первого этапа (с обратным знаком - т.е. потенциал первого провода). Следовательно, у Сивухина всё правильно. Никаких ошибок нет.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1085134 писал(а):

Следовательно на первом и третьем этапе (в сумме) в систему надо вложить энергию. Следовательно на третьем этапе работа, затраченная на перемещение заряда в бесконечность (это потенциал двух проводников) будет больше, чем работа первого этапа (с обратным знаком - т.е. потенциал первого провода).

Работу на первом и третьем этапе обозначим как $A_1,A_3.$ (Пробный заряд считаем одноимённым с зарядом проводника.) Тогда имеем $A_1>0,\quad A_3<0,\quad A_1+A_3>0.$

Этому удовлетворяет соотношение $|A_1|>|A_3|.$

Замечая, что $A_1=\varphi_\mathrm{far},\quad A_3=-\varphi_\mathrm{near}$ (пробный заряд и заряд проводника считаем положительными), получаем, что $\varphi_\mathrm{far}>\varphi_\mathrm{near},$ то есть, этот способ рассуждений также приводит к выводу, что Сивухин неправ.

-- 23.12.2015 22:03:42 --

Перебрал все знаки зарядов, везде вывод одинаковый:
\begin{tabular}{|c||c|c|} \hline $\vphantom{\Bigl(}$&$q_\mathrm{cond}>0$&$q_\mathrm{cond}<0$\\ \hline \hline $\vphantom{\Bigl(}q_\mathrm{test}>0$& $\begin{gathered}\vphantom{\Bigl(}A_1>0,A_3<0,\\ A_1+A_3>0,\\ |A_1|>|A_3|,\\ A_1=\varphi_\mathrm{far},A_3=-\varphi_\mathrm{near},\\ |\varphi_\mathrm{far}|>|\varphi_\mathrm{near}|\vphantom{\Bigl(}\end{gathered}$& $\begin{gathered}\vphantom{\Bigl(}A_1<0,A_3>0,\\ A_1+A_3<0,\\ |A_1|>|A_3|,\\ A_1=\varphi_\mathrm{far},A_3=-\varphi_\mathrm{near},\\ |\varphi_\mathrm{far}|>|\varphi_\mathrm{near}|\vphantom{\Bigl(}\end{gathered}$\\ \hline $\vphantom{\Bigl(}q_\mathrm{test}<0$& $\begin{gathered}\vphantom{\Bigl(}A_1<0,A_3>0,\\ A_1+A_3<0,\\ |A_1|>|A_3|,\\ A_1=-\varphi_\mathrm{far},A_3=\varphi_\mathrm{near},\\ |\varphi_\mathrm{far}|>|\varphi_\mathrm{near}|\vphantom{\Bigl(}\end{gathered}$& $\begin{gathered}\vphantom{\Bigl(}A_1>0,A_3<0,\\ A_1+A_3>0,\\ |A_1|>|A_3|,\\ A_1=-\varphi_\mathrm{far},A_3=\varphi_\mathrm{near},\\ |\varphi_\mathrm{far}|>|\varphi_\mathrm{near}|\vphantom{\Bigl(}\end{gathered}$\\ \hline \end{tabular}

[amon]

мат-ламер в сообщении #1085134 писал(а):

работа, затраченная на перемещение заряда в бесконечность (это потенциал двух проводников)

Это стандартные грабли в таких задачах. Я уже показывал на примере заряда и плоскости, что работа по перемещению заряда в окрестности объёмных металлических тел не совпадает с разностью потенциалов, полученных из решения уравнения Лапласа с соответствующими гран. условиями. Связано это с перераспределением зарядов на поверхности проводников в процессе перемещения. ТС этих граблей избежал, поскольку считал не потенциалы, а энергии.

[peripatetik]

Интуитивно понятно, что когда мы таскаем большой заряд, то потенциалы начнут меняться. Собственно, половинка в энергии системы зарядов $1/2 \varphi_i Q_i $ и возникает из-за того, что мы одновременно и пропорционально заряжаем все проводники $dQ_i=Q_id\lambda$, меняя $\lambda$ от 0 до 1, и, из-за линейности уравнения Лапласа знаем, что $\varphi_i (\lambda)=\varphi_i \lambda$.

[мат-ламер]

После тщательного учёта знаков работы прихожу к выводу, что потенциал положительного заряженного проводника должен уменьшиться. Однако, всё равно остаётся чувство неудовлетворённости, поскольку задачу из Сивухина каждый год решают студенты на семинарских занятиях. Если что-то было бы не так, то уже бы исправили.