Вопросы по Сивухину.

[peripatetik]

Ну хорошо, $C_{12}$ отрицательно и при сближении проводников растет по модулю. Но ведь нам надо найти как меняется потенциал, то есть как меняется $V_{11}$ и $V_{12}$.

[amon]

peripatetik в сообщении #1082845 писал(а):

как меняется $V_{11}$ и $V_{12}$

Это кто такие? Почему не знаю!?

[peripatetik]

Потенциальные коэффициенты, они определяют потенциалы проводников. Так, $V_{12}$ больше нуля и убывает с расстоянием, значит потенциал незаряженного проводника вырастет. Можно ли как-нибудь понять в формализме потенциальных и емкостных коэффициентов как будет меняться $V_{22}$ (заряженный проводник)?

Кстати, несколько ранее Сивухин показывает что $C_{ii}$ положительно, заземляя все проводники кроме $i$-го. Тогда $\phi_i=V_{ii}q_i$ Но так ли очевидно, что в такой системе потенциал и заряд $i$-го проводника будут одного знака?

[AnatolyBa]

Да, коэффициенты с одинаковыми индексами тоже меняются. В этом то и проблема. Похоже действительно опечатка. И в задачник эта задача вроде не включена (остальные включены)

[peripatetik]

AnatolyBa в сообщении #1082854 писал(а):

Да, коэффициенты с одинаковыми индексами тоже меняются. В этом то и проблема. Похоже действительно опечатка. И в задачник эта задача вроде не включена (остальные включены)

Почему проблема? В старт-посте есть решение через энергию системы зарядов - потенциал заряженного проводника при приближении уменьшается ($V_{11}$ растет с расстоянием), незаряженного растет, ergo, разность потенциалов уменьшается. Задачка решена, отдельное спасибо amon.

[AnatolyBa]

С этим то я согласен. Неудачно выразился. Имел в виду что рассмотрение одного $C_{12}$ недостаточно

[Munin]

peripatetik в сообщении #1082837 писал(а):

Смотря как ставить задачу. По Сивухину задается геометрия, ро в диэлектрике и потенциал (или заряд) на проводниках. Я думаю, надо еще задавать и сигму на поверхности диэлектрика, так как из ро сигму не получить.

Вы этого, видимо, ещё не знаете, но под $\rho$ в физике подразумевается не просто какая-то функция, а именно плотность распределения зарядов, с учётом возможности того, что эти заряды не размазаны по объёму, а могут быть собраны на поверхностях, линиях или в точках. Записывать это принято в виде так-называемых "дельта-функций", например:
$\rho(x,y,z)=\sigma(x,y)\,\delta(z)$
$\rho(x,y,z)=\lambda(x)\,\delta(y)\,\delta(z)$
$\rho(x,y,z)=q\,\delta(x)\,\delta(y)\,\delta(z)$
(поверхностная и линейная плотности, и точечный заряд в начале координат). "Дельта-функция" - это плотность, собранная в бесконечно малый отрезок, то есть по сути, бесконечность в нуле, и нуль во всех остальных точках. Формально в матанализе такой функции не существует - потому что функция должна в каждой точке принимать значение из $\mathbb{R}=(-\infty,+\infty)\not\ni+\infty.$ Но более продвинутый раздел математики, функциональный анализ, позволяет такие фокусы под названием обобщённых функций (или более физично, распределений - distributions). Конкретнее, дельта-функция определяется не через значения самой функции в каких-то точках, а через интеграл, например:
$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{x}\delta(X)\,dX=\begin{cases}0,&x<0\\1,&x>0.\end{cases}$
Граница промежутка интегрирования не должна лежать на нуле, то есть, всегда следует уточнить, попадает ли дельта-функция внутрь промежутка интегрирования, или выпадает наружу. То же относится и к трёхмерным интегралам.

Таким образом, фразой "задаётся ро в диэлектрике" охватываются и все случаи более плотного расположения зарядов. Например, вполне можно задать несколько точечных зарядов в отдельных точках. Это всё не противоречит описанной постановке задачи.

-- 17.12.2015 14:21:53 --

peripatetik в сообщении #1082837 писал(а):

Что касается задачи, то у меня есть пример, подтверждающий решение в старт-посте. Если незаряженный проводник сфера, а заряженный очень маленький шарик, то методом изображений сразу получим, что вклад в потенциал на заряженном проводнике от сферы меньше нуля. Можно подобрать такой размер заряженного шарика, что сигма на нем практически не изменится из-за наведенных зарядов на сфере, то есть, потенциал на заряженном шарике уменьшится в этом примере. То есть, у Сивухина тут ошибка, насколько я понимаю.

Я рассуждал примерно так же, и получил тот же результат.

amon
Поясните, пожалуйста, ваше решение, если ваш ответ совпадает с данным у Сивухина.

[peripatetik]

Это все понятно, но по смыслу (да и технически) удобно разделять ро и сигма, кому охота, например, возиться с обобщенными функциями в конденсаторе? Проще считать что напряженность и смещение скачет при переходе через поверхность с зарядами. А в Вашем подходе такая простая штука как с однородно-поляризованный диэлектрик приобретает мрачноватый вид, хотя специалист по обобщенным функциям справится, конечно. Но, формально, Вы правы, сигму можно записать через ро, хотя очень сомневаюсь что Сивухин в параграфе 22 имел это ввиду.

[Munin]

peripatetik в сообщении #1082982 писал(а):

Это все понятно, но по смыслу (да и технически) удобно разделять ро и сигма, кому охота, например, возиться с обобщенными функциями в конденсаторе?

Когда у вас есть конкретная задача - да. А когда вы формулируете общий алгоритм решения при общей постановке задачи - то наоборот, удобнее всё свалить в одно слово. Иначе вам придётся перечислять кучу частных случаев, и для каждого доказывать свои теоремы существования и единственности...

peripatetik в сообщении #1082982 писал(а):

хотя очень сомневаюсь что Сивухин в параграфе 22 имел это ввиду.

Скорее, он вообще в такие нюансы не лез. Текст учебный, не забывайте.

[amon]

Munin в сообщении #1082959 писал(а):

Поясните, пожалуйста, ваше решение, если ваш ответ совпадает с данным у Сивухина.

Не совпадает, и вот по какой причине. Уважаемый Дмитрий Васильевич задачу сформулировал плохо. Ни где не сказано, что одно тело не находится внутри другого. Если же, скажем, незаряженное тело находится внутри заряженного, то от положения незаряженного тела вообще ничего не зависит. Видимо, в задаче молчаливо предполагается, что тела имеют какую-то не экзотическую форму типа слегка помятого шарика, и расстояние между ними больше их размера. В этих условиях в первом приближении $C_{11}$ и $C_{22}$ можно считать константами, и тогда из системы уравнений можно получить то, что хочет Сивухин. В общем случае это доказать ни как не получится.

[peripatetik]

Почему константами? $C_{11}$ это отношение заряда проводника к его потенциалу при условии, что незаряженный проводник заземлен. Интуитивно ясно (в Ваших предположениях), что после заземления на бывшем нейтральном проводнике появится заряд противоположный заряду другого проводника, значит потенциал уменьшится, то есть $C_{11}$ увеличится.

[amon]

peripatetik в сообщении #1083282 писал(а):

незаряженный проводник заземлен.

Не заземлен, а изолирован. Для заземленного проводника $C$ - бессмысленная величина. То, что порядок малости изменения диагональных элементов выше можно, как мне кажется (точно не проверял) получить из мультипольных разложений, но для этого надо, что бы размер тел был мал по сравнению с расстоянием между ними.

[Munin]

amon в сообщении #1083265 писал(а):

Видимо, в задаче молчаливо предполагается, что тела имеют какую-то не экзотическую форму типа слегка помятого шарика, и расстояние между ними больше их размера. В этих условиях в первом приближении $C_{11}$ и $C_{22}$ можно считать константами, и тогда из системы уравнений можно получить то, что хочет Сивухин.

Всё равно, не получается у меня общего увеличения потенциала.

[peripatetik]

amon в сообщении #1083284 писал(а):

peripatetik в сообщении #1083282 писал(а):

незаряженный проводник заземлен.

Не заземлен, а изолирован. Для заземленного проводника $C$ - бессмысленная величина. То, что порядок малости изменения диагональных элементов выше можно, как мне кажется (точно не проверял) получить из мультипольных разложений, но для этого надо, что бы размер тел был мал по сравнению с расстоянием между ними.

Изолирован это для задачи в старт-посте, но в ней лучше искать потенциальные коэффициенты, а не емкостные. Если искать $C_{11}$, то незаряженный проводник можно заземлить бесконечно тонкой проволокой, чтобы не поменять геометрию системы. Тогда $Q_1=C_{11}\varphi_1$, потенциал при сближении уменьшается, значит $C_{11}$ растет.

-- 19.12.2015, 01:20 --

Munin в сообщении #1083293 писал(а):

amon в сообщении #1083265 писал(а):

Видимо, в задаче молчаливо предполагается, что тела имеют какую-то не экзотическую форму типа слегка помятого шарика, и расстояние между ними больше их размера. В этих условиях в первом приближении $C_{11}$ и $C_{22}$ можно считать константами, и тогда из системы уравнений можно получить то, что хочет Сивухин.

Всё равно, не получается у меня общего увеличения потенциала.

У меня тоже, так как проводники притягиваются и один незаряжен, то энергия при сближении уменьшается, значит и потенциал $\varphi_1 $ уменьшается вместе с $V_{11}$. Меня, правда, смущает то, что по Ле Шателье-Брауну $V_{11}$ должен расти...

[amon]

Munin в сообщении #1083293 писал(а):

Всё равно, не получается у меня общего увеличения потенциала.

Пусть размеры тел малы по сравнению с расстояниями между ними. Тогда недиагональные члены $V_{12}$ увеличиваются при уменьшении расстояния (наведенный дипольный момент пропорционален напряженности, а она растет). Кроме того, разность потенциалов $\varphi_1-\varphi_2$ уменьшается, поскольку тела притягиваются, и работа по их сближению отрицательна. Тогда $\varphi_2=V_{12}Q$ увеличится из-за увеличения $V_{12}$, а значит увеличится и $\varphi_1$, поскольку $\varphi_1-\varphi_2$ должно уменьшится.