Вопросы по Сивухину.

[Munin]

Буквой $V$ у вас изобретательно обозначена ёмкость? Где-то здесь горелая логика.

Пусть размеры тел малы по сравнению с расстояниями между ними. Наплюём на разность потенциалов между ними, будем искать потенциал заряженного тела. Он равен интегралу от заряда до бесконечности вдоль силовой линии. Сблизим тела от большого расстояния до близкого, но не вплотную. На большом расстоянии, незаряженное тело не влияло на интеграл. На малом: незаряженное тело поляризовалось, и часть силовых линий из бесконечности стала заканчиваться на незаряженном теле. В итоге, плотность поля непосредственно вблизи заряженного тела уменьшилась. Эффективно, как будто его размер увеличился, примерно до размера пары тел. А ёмкость пропорциональна размеру. Так что, и потенциал заряженного тела должен снизиться.

Это нестрого, но исключения, если я их и упустил, наверное, экзотичны.

[amon]

Munin в сообщении #1083458 писал(а):

Буквой $V$ у вас изобретательно обозначена ёмкость?

$V$ - это матрица, обратная $C$ ($Q=CU,\; U=VQ$), обозначения из Сивухина - ТС научил.

-- 19.12.2015, 12:35 --

Munin в сообщении #1083458 писал(а):

часть силовых линий из бесконечности стала заканчиваться на незаряженном теле

Не-а. Из бесконечности (с расстояния большего, чем расстояние между телами) система всегда выглядит как точечный заряд $Q$, поэтому "количество силовых линий на бесконечности" всегда одно и тоже. А на меньших расстояниях от системы это превращается в заряд плюс диполь, и вблизи "количество силовых линий" увеличивается. Как на этом языке уловить знак эффекта - я не знаю, но мне кажется, что рассуждение, приведенное мной выше, чистое.

[peripatetik]

amon в сообщении #1083456 писал(а):

Munin в сообщении #1083293 писал(а):

Всё равно, не получается у меня общего увеличения потенциала.

Кроме того, разность потенциалов $\varphi_1-\varphi_2$ уменьшается, поскольку тела притягиваются, и работа по их сближению отрицательна.

Вообще, то это не совсем так. Энергия системы равна $1/2(Q_1\varphi_1+Q_2\varphi_2)$, но из-за нейтральности второго проводника следует, что уменьшается не разница потенциалов, а $\varphi_1$.

-- 19.12.2015, 16:48 --

PS. Вроде бы разобрался с Ле-Шателье -Брауном. Будем считать системой только заряженный проводник. При сближении с незаряженным проводником вклад в потенциал заряженного проводника от незаряженного отрицательный, значит система (заряженный проводник) должна реагировать так чтобы увеличить свой потенциал. Казалось бы, это значит что $C_{11}$ должен увеличиться, но это не так - $C_{11}$ определятся двумя проводниками, а не одним.

[Munin]

amon в сообщении #1083460 писал(а):

Не-а. Из бесконечности (с расстояния большего, чем расстояние между телами) система всегда выглядит как точечный заряд $Q$, поэтому "количество силовых линий на бесконечности" всегда одно и тоже. А на меньших расстояниях от системы это превращается в заряд плюс диполь, и вблизи "количество силовых линий" увеличивается.

Я с этим не спорю, и рассматриваю именно "заряд плюс диполь".

peripatetik в сообщении #1083496 писал(а):

При сближении с незаряженным проводником вклад в потенциал заряженного проводника от незаряженного отрицательный, значит система (заряженный проводник) должна реагировать так чтобы увеличить свой потенциал.

Хм?

В общем, "Ле Шателье" всегда был не строгим математическим принципом, а размахиванием руками.

[peripatetik]

Цитата:

peripatetik в сообщении #1083496 писал(а):

При сближении с незаряженным проводником вклад в потенциал заряженного проводника от незаряженного отрицательный, значит система (заряженный проводник) должна реагировать так чтобы увеличить свой потенциал.

Хм?

В общем, "Ле Шателье" всегда был не строгим математическим принципом, а размахиванием руками.

Не спорю, но что-то в нем есть, согласитесь.

[Munin]

amon в сообщении #1083456 писал(а):

Тогда $\varphi_2=V_{12}Q$ увеличится из-за увеличения $V_{12}$, а значит увеличится и $\varphi_1$, поскольку $\varphi_1-\varphi_2$ должно уменьшится.

Если $\varphi_2$ здесь - потенциал незаряженного тела, то $\varphi_1$ увеличиваться не обязан. Они могут просто сближаться навстречу друг другу. В пределе точечного незаряженного тела, $\varphi_1$ вообще не изменится, а по мере увеличения его размера (вообразите, например, проводящий отрезок, сравнимый по длине с расстоянием между телами), $\varphi_1$ будет испытывать уменьшение - не такое сильное, как уменьшение $\varphi_1-\varphi_2.$

[amon]

Munin в сообщении #1083666 писал(а):

amon в сообщении #1083456
писал(а):
Тогда $\varphi_2=V_{12}Q$ увеличится из-за увеличения $V_{12}$, а значит увеличится и $\varphi_1$, поскольку $\varphi_1-\varphi_2$ должно уменьшится.

Это я, действительно, какой-то бред несу. Надо спокойно с бумажкой разобраться, а то в уме, за отсутствием последнего, как-то хреново получается.

[amon]

Ну, вот что пока получается. Пусть характерный размер тел много меньше расстояния между ними: $a\ll R.$ Тогда в нулевом порядке по $a/R$ наведенный потенциал и дипольный момент незаряженного тела будут ($\varphi_1$ - потенциал заряженного тела, $\varphi_2$ - потенциал не заряженного).

$$ \begin{align} \mathbf{d}&=\chi\mathbf{E}(R)\quad\chi\sim a\\ \mathbf{E}(R)&=\frac{Q\mathbf{R}}{R^3}\\ \varphi_1&=Qf_1(a)-\frac{\chi Q}{R^4}\quad\text{последним членом можно и нужно пренебречь}\\ \varphi_2&=\frac{Q f_2(a)}{R^2}+\frac{Q}{R}\quad\text{а здесь первым членом пренебрегать нельзя}\\ \varphi_1-\varphi_2&=Qf_1(a)-\frac{Q f_2(a)}{R^2}-\frac{Q}{R} \end{align} $$

Таким образом, получается, что с уменьшением $R$ величина $\varphi_2$ растет, $\Delta\varphi$ уменьшается, а про $\varphi_1$ в этом приближении ничего сказать нельзя, но с хорошей точностью это константа. Пока как-то так. Да, $f_1(a)$ и $f_2(a)$ - это символические операторы, связывающие форму тела и его потенциал. Они содержат обратные степени $a.$

[peripatetik]

amon в сообщении #1083962 писал(а):

Да, $f_1(a)$ и $f_2(a)$ - это символические операторы, связывающие форму тела и его потенциал. Они содержат обратные степени $a.$

$f_1$ зависит еще и от $R$, поэтому там будет разложение по $a/R$ (проводники берем одного размера). Заряды на заряженном проводнике перераспределятся так, чтобы скомпенсировать поле от незаряженного проводника, поэтому изменится $f_1$ вместе с $\varphi_1$ и причиной изменения как раз и будет второе слагаемое, поэтому им вряд ли можно пренебрегать.

[Munin]

amon
Спасибо!

Я уверен, что поправки к $\varphi_1$ полезут в первом порядке по $a/R.$

[peripatetik]

Вряд ли. Если взять шарики, то поле вблизи незаряженного проводника будет порядка $Q/R^2$, тогда дипольный момент незаряженного проводника берем из Сивухина, он будет $~a^3 Q/R^2$, наведенное им поле около заряженного провника $~a^3 Q/R^5$.

[amon]

peripatetik в сообщении #1084042 писал(а):

$f_1$ зависит еще и от $R$, поэтому там будет разложение по $a/R$

Поскольку вопрос возник, придется пояснять. Я тут отошел от классиков (Сивухина), и использовал вычислительно более удобную схему. Возьмем первое тело, и посадим на него заряд $Q.$ Его потенциал будет (в моих обозначениях) $Qf_1(a).$ Таким образом, $f_1$ не зависит от $R$ по определению. Теперь поднесем второе тело, и будем искать поправку к потенциалу: $\varphi_1=Qf_1(a)+\Delta\varphi_1\,\varphi_2=\Delta\varphi_2.$ Эти дельты разложим по мультиполям, и зафиксируем порядок по обратным $R.$ Величина $-\frac{\chi Q}{R^4}$ это явное превышение точности. Член такого же порядка появится от наведенного дипольного момента на заряженном теле, и кто кого переборет мне лень считать. Величина $\frac{Q f_2(a)}{R^2}$ соответствует потенциалу второго тела с заданным распределением заряда и по этой причине вся зависимость от расстояния сидит в $1/R^2.$ Эта вещь может быть и не мала, т.к. разлагая по мультиполям, получаем первый неисчезающий член $f_2\sim 1/a^2.$ Так что в условиях $a\ll R$ Сивухин оказался прав для $\varphi_2$ и $\Delta\varphi.$ Для $\varphi_1$ надо разбираться, но мне пока лень.

[peripatetik]

amon в сообщении #1084200 писал(а):

peripatetik в сообщении #1084042 писал(а):

$f_1$ зависит еще и от $R$, поэтому там будет разложение по $a/R$

Величина $-\frac{\chi Q}{R^4}$ это явное превышение точности. Член такого же порядка появится от наведенного дипольного момента на заряженном теле, и кто кого переборет мне лень считать.

Да, соглашусь, хотя, находясь на уровне Сивухина, я немного не понимаю почему имеет смысл говорить отдельно о наведенном дипольном моменте на заряженном теле - ведь расстояние которое нам интересно порядка длины самого "диполя"?
Если Вам нетрудно, не могли бы Вы высказаться по поводу моего решения в старт-посте? Первый случай - проводники бесконечно удалены друг от друга. Начнем переносить заряды из бесконечности на первый проводник. Затраченная работа будет равна потенциальной энергии $U=1/2Q\varphi_1$ Теперь сблизим проводники на расстояние $R$, новая потенциальная энергия будет $U'=1/2Q\varphi_1^{\prime}$. Но во второе конечное состояние можно придти и из первого конечного, квазистатически (чтобы не возиться с токами и кинетической энергией) сближая проводники. Тогда внешняя работа будет отрицательна (проводники притягиваются), отсюда $U'<U$ и $\varphi_1^{\prime} < \varphi_1^$.

[amon]

peripatetik в сообщении #1084218 писал(а):

Да, соглашусь, хотя, находясь на уровне Сивухина, я немного не понимаю почему имеет смысл говорить о наведенном дипольном моменте на заряженном теле - ведь расстояние которое нам интересно порядка длины самого "диполя"?

Метод изображений знаете? Тогда вот Вам иллюстрация. Пусть наши тела - сферы. Тогда без второго тела заряженная сфера эквивалентна точечному заряду в центре. Поднесли вторую сферу. Точечный заряд изобразился в ней преобразованием инверсии, плюс к этому в центр сферы надо добавить такой же заряд другого знака,что бы полный заряд был ноль. Значит наша система эквивалентна в первом приближении точечному заряду и диполю, что у меня и написано. В следующем приближении надо учесть поле диполя на поверхности заряженной сферы (выкинутый мной член), но плюс к тому надо еще учесть, что диполь, эквивалентный незаряженной сфере, отобразится в заряженной (вклад, который я считать поленился). Эти вклады имеют порядок малости $1/R^2$ и противоположные дипольные моменты, поэтому кто там победит непонятно, а расчет, даже для сферы, громоздкий. В этом приближении, видимо, и получится знак изменения потенциала заряженной сферы.

Касательно Вашего рассуждения

peripatetik в сообщении #1084218 писал(а):

Начнем переносить заряды из бесконечности на первый проводник...

Тут такое дело. В электростатике хорошо определенной величиной будет разность потенциалов. Она равна работе по перенесению пробного заряда. При этом считается, что заряды, создающие поле, неподвижны, и пробный заряд на них не влияет (мелкий он, сирый и убогий). Когда Вы рассматриваете сдвиг тела, создающего поле, то надо учитывать не только работу по переносу заряда, но и работу по изменению всего поля.

Простейший пример. Есть у Вас точечный заряд над бесконечной металлической плоскостью. Поле этой системы такое же, как поле двух точечных зарядов, и пробный заряд (сирый и убогий) таким это поле и увидит. Однако, если мы подумаем, что можем сосчитать работу по подъему заряда как разность потенциалов от изображения, то мы провремся в два раза. Поэтому знак работы по переносу заряженных тел оценит лишь знак разности их потенциалов, даже не величину.

[peripatetik]

amon в сообщении #1084224 писал(а):

peripatetik в сообщении #1084218 писал(а):

Да, соглашусь, хотя, находясь на уровне Сивухина, я немного не понимаю почему имеет смысл говорить о наведенном дипольном моменте на заряженном теле - ведь расстояние которое нам интересно порядка длины самого "диполя"?

Метод изображений знаете?

"Кто ж не знает старика Крупского?" Правда, как выяснилось, понимание у меня было поверхностное. Чтобы понять знак эффекта считать ничего не нужно (да это было бы и неспортивно в такой задаче). Самое простое это вспомнить что потенциал от заряда и изображения не меняют потенциал на сфере, в которой заряд отражается. Тогда знак изменения потенциала заряженной сферы определится знаком компенсирующего заряда, который нужно поместить в ее центр. Легко сообразить, что знак компенсирующего заряда в заряженной сфере будет противположен знаку начального заряда, значит потенциал $\varphi_1$, как и ожидалось, в случае двух сфер уменьшится.

-- 22.12.2015, 17:21 --

amon в сообщении #1084224 писал(а):

Касательно Вашего рассуждения

peripatetik в сообщении #1084218 писал(а):

Начнем переносить заряды из бесконечности на первый проводник...

Тут такое дело. В электростатике хорошо определенной величиной будет разность потенциалов. Она равна работе по перенесению пробного заряда. При этом считается, что заряды, создающие поле, неподвижны, и пробный заряд на них не влияет (мелкий он, сирый и убогий). Когда Вы рассматриваете сдвиг тела, создающего поле, то надо учитывать не только работу по переносу заряда, но и работу по изменению всего поля.

Простейший пример. Есть у Вас точечный заряд над бесконечной металлической плоскостью. Поле этой системы такое же, как поле двух точечных зарядов, и пробный заряд (сирый и убогий) таким это поле и увидит. Однако, если мы подумаем, что можем сосчитать работу по подъему заряда как разность потенциалов от изображения, то мы провремся в два раза. Поэтому знак работы по переносу заряженных тел оценит лишь знак разности их потенциалов, даже не величину.

А вот тут не соглашусь. У Сивухина показано, что $1/2\int \varphi dq$ можно рассматривать также как энергию поля в электростатике $1/8\pi\int DE$, поэтому по ЗСЭ работа по квазистатическому перемещению заряженного тела будет равна изменению энергии зарядов (или поля, в другой трактовке). Никаких проблем не возникает когда мы перемещаем пластины конденсатора - изменение свободной энергии системы равно работе над системой.
Проблему в Вашем примере я не понял. Энергия поля $1/2\int \varphi dq$ (за вычетом энергиии на создание точечных зарядов) будет равна половине от $Q^2/2x$ ( $x$ -расстояние до плоскости), отсюда сила притяжения $Q^2/4x^2$, что и должно быть.

PS. Спасибо за обсуждение, приятно поговорить с умным человеком.