2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение11.12.2015, 09:34 
Sonic86 в сообщении #1081306 писал(а):
При этом выводе используются ложные утверждения типа

Мне все же представляется, что ложно Ваше утверждение о данном утверждении В. Босса. Соответственно все остальное самоуверенная чепуха

p.s. Мне это место у В. Босса представляется весьма тонким и нетривиальным, правильная оценка легко получается благодаря существенному огрублению ситуации (не случайно параграф называется "Грубые причины")

 
 
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение11.12.2015, 10:54 
Аватара пользователя
druggist
Вам уже специалисты сказали, что это рассуждение на пальцах, позволяющее сделать правдоподобное предположение, но не доказать его. Не пытайтесь из этого слепить доказательство, это невозможно.

 
 
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение11.12.2015, 11:08 

(Оффтоп)

druggist в сообщении #1081317 писал(а):
Sonic86 в сообщении #1081306 писал(а):
При этом выводе используются ложные утверждения типа

Мне все же представляется, что ложно Ваше утверждение о данном утверждении В. Босса. Соответственно все остальное самоуверенная чепуха

p.s. Мне это место у В. Босса представляется весьма тонким и нетривиальным, правильная оценка легко получается благодаря существенному огрублению ситуации (не случайно параграф называется "Грубые причины")
Ну оставайтесь со своим наивным мнением. Мне по барабану.
В игнор.

 
 
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение12.12.2015, 17:38 
ex-math в сообщении #1081329 писал(а):
Вам уже специалисты сказали, что это рассуждение на пальцах, позволяющее сделать правдоподобное предположение, но не доказать его. Не пытайтесь из этого слепить доказательство, это невозможно.

Я пытаюсь "слепить", если можно так выразиться, собственное понимание. Если основываться только на единственном допущении о существовании производной у функции $\pi(x)$ (истинной, т.е., "экспериментальной" сглаженной функции распределения пч, не путать с аппроксимацией $x/\ln(x)$), то есть, $\pi'(x)=\rho(x)$, вполне удовлетворительных доказательств можно сделать сколько угодно. Для этого надо взять уже готовое тождество, использующее фундаментальную теорему арифметики (а они все выведены из нее), например, упоминавшееся уже здесь равенство:
$$e^{-\gamma}=\lim\limits_{x\to\infty}^{} \ln(x) \prod\limits_{p\leqslant x}^{}(1-\frac{1}{p})$$
Для больших $x$ , взяв логарифм от обеих частей, положив $\ln(1-\frac{1}{p})\approx-\frac{1}{p}$ и заменив суммирование интегрированием, будем иметь:
$$-\gamma\sim \ln\ln(x)-\int\limits_{2}^{x}\frac{\rho(t)}{t}dt,$$
где $\rho(t)$ - искомая функция плотности пч. Продифференцировав по $x$, найдем $$\rho(x)\sim\frac{1}{\ln(x)}$$
но пользы для понимания этот вывод практически не несет.

 
 
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение12.12.2015, 19:11 
druggist
А что Вы понять то хотите?

 
 
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение12.12.2015, 19:23 
DiMath в сообщении #1081639 писал(а):
А что Вы понять то хотите?

Принцип получения асимптотики

 
 
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение12.12.2015, 21:37 
Аватара пользователя
$\pi (x) $ почти всюду имеет производную, равную нулю. Сгладить можно по-разному, получая почти любую производную. Кроме того, асимптотические формулы нельзя дифференцировать.

На самом деле, азрпч довольно глубоко зашит в свойствах дзета-функции, как функции комплексного переменного. Существуют и элементарные доказательства, не использующие ТФКП, но они гораздо менее прозрачны.

 
 
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение13.12.2015, 00:13 
ex-math в сообщении #1081676 писал(а):
Кроме того, асимптотические формулы нельзя дифференцировать.

Так у Куранта, он подробно объясняет возможность существования плотности, то есть, производной, я давал ссылку ("Доказательство теоремы о простых числах
на основе статистического метода").

ex-math в сообщении #1081676 писал(а):
а самом деле, азрпч довольно глубоко зашит в свойствах дзета-функции, как функции комплексного переменного.

Мне пока не удается уловить эту связь, но хотелось бы.

 
 
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение13.12.2015, 00:33 
Аватара пользователя
druggist в сообщении #1081709 писал(а):
Мне пока не удается уловить эту связь, но хотелось бы.

Скачайте книгу Галочкин, Нестеренко, Шидловский Введение в теорию чисел (де-факто она является учебником по обязательному курсу теории чисел на 5-м курсе мех-мата ), в ней на стр. 45-54 строго доказан асимптотический закон распределения простых как раз с помощью свойств дзета-функции.

 
 
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение13.12.2015, 16:44 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Brukvalub
Вроде на 4-м курсе теорию чисел читали.

 
 
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение13.12.2015, 23:20 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

ex-mathВы правы. Мне казалось, что после перехода на специалитет ТЧ перенесли на 5-й курс, но, похоже, не перенесли...

 
 
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение14.12.2015, 13:03 
Brukvalub в сообщении #1081715 писал(а):
Скачайте книгу Галочкин, Нестеренко, Шидловский Введение в теорию чисел

Спасибо за ссылку, в данный момент до нулей не дошел, застрял на функциях Чебышева :-)

Пока что в продолжение статистических штудий вопрос к специалистам и не только: Трпч интересуется количеством пч $\leqslant$ некоторого натурального $N$, а как быть с остальными натуральными числами $\leqslant N$?. Я имею в виду, какова доля или количество "полупростых" (являющихся произведением двух простых сомножителей) чисел $\leqslant N$, на треть простых, и т.д., прочих составных? То есть, мы отсортировываем все числа в порядке убывания суммы степеней пч в факторизации чисел (единственной по основной теореме арифметики), так сказать, в порядке уменьшения "степени составности числа". Ясно, что в таком Парето-распределении на первом месте (ранг $r=1$) будет число $2^{k_m}$, а по оси ординат отложено $k_m$ - максимально возможная для данного $N$ сумма степеней пч. Также ясно, что в правом конце будут все простые числа, для которых $k=1$. А как будет выглядеть сама кривая $K(r,N)$ ? Также интересно было бы построить связанную с распределением Парето плотность n(k), которая в частном случае при $k=1$ $\sim$ $N/\operatorname{Ln}(N)$. Скорее всего это есть в интернете, но при беглом просмотре не обнаружил.

 
 
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение14.12.2015, 18:03 
$\displaystyle\pi_{k}(x)\sim \left(\frac{x}{\log x}\right)\frac{(\log\log x)^{k-1}}{(k-1)!}$
$k$ - количество простых делителей с учетом кратности.

 
 
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение14.12.2015, 19:35 
DiMath в сообщении #1082122 писал(а):
$\displaystyle\pi_{k}(x)\sim \left(\frac{x}{\log x}\right)\frac{(\log\log x)^{k-1}}{(k-1)!}$
$k$ - количество простых делителей с учетом кратности.

Да, Пуассон, проверил для для $N=128$ и $N=1000$. Более менее похоже

 
 
 
 Re: Тождество Эйлера и азрпч.
Сообщение14.12.2015, 19:39 
Аватара пользователя
DiMath
Но это для фиксированного $k $.

 
 
 [ Сообщений: 50 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group