2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Изучение математики вообще
Сообщение17.11.2015, 15:40 


03/06/12
2067
Здравствуйте! Тут возникла такая проблема. Ну читаю я книгу, вникаю в доказательства, а в голове остается только процентов 30 доказательств и теорем. Не будешь же над каждой теоремой сидеть по два дня! Хотя случается с каким-нибудь доказательством просидишь и неделю, вот тогда это доказательство остается в голове. У меня и в школе так было: пока доказательство учителю не сдам, как правило, забывал, не все, конечно, процент где-то такой и был. Но зато как сдал, в голове намертво оставалось. И как быть? Ведь образцы доказательств очень полезны при решении задач.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики вообще
Сообщение17.11.2015, 15:51 
Заслуженный участник


09/05/13
8507
Сдавать почаще. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики вообще
Сообщение17.11.2015, 17:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Еще хороший (но, наверное, нереальный для вас) способ -- найти слушателя. Все преподаватели знают: самый лучший способ понять материал -- рассказать его ученикам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики вообще
Сообщение17.11.2015, 17:29 
Заслуженный участник


09/05/13
8507
provincialka в сообщении #1074313 писал(а):
найти слушателя

Мои пробовали. Не помогает. Слушатель должен быть достаточно критичен.

Не, как вариант, можно готовиться, предполагая подготовку рассказа для критически настроенной аудитории, которая будет докапываться до любого слабого места, - я так в свое время к лекциям готовилась, - тогда можно обойтись и без слушателей вообще. Только все должно быть "взаправду".

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики вообще
Сообщение17.11.2015, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Я и говор, малореальный способ для не-преподавателя.
Хотя, что касается критичности... Ну, мои-то студенты не критичны... Но сама подготовка к занятию - сильно помогает. Впрочем, роль "критика", видимо, я беру на себя :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики вообще
Сообщение17.11.2015, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Можете использовать те же техники, что при изучении языков, например, самотестирование вразбивку.

Доказательства можно не запоминать, если идея ясна и может быть придумана заново. Главное - запоминать доказательства с глубокими идеями.

Множество теорем лучше воспринимать не как ворох фактов, а тоже как систему: из одних теорем следуют другие. Тогда, можно запомнить, какие из них наиболее нужные. То же самое при решении задач: лучше всего запоминаются те теоремы, которые при этом активно используются.

Ещё полезно сравнить доказательство с ограничениями в условии теоремы. Часто в условии есть какое-то "странное", неочевидное ограничение, которое становится понятным, когда видно, как оно используется в доказательстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики вообще
Сообщение17.11.2015, 20:00 
Заслуженный участник


30/01/09
5056
Sinoid в сообщении #1074295 писал(а):
Тут возникла такая проблема. Ну читаю я книгу, вникаю в доказательства, а в голове остается только процентов 30 доказательств и теорем.

Это нормально. Если оно (изучаемое) вам не нужно, то заморачиваться с запоминанием не стоит. Всё равно всё вылетит из головы. Если оно вам нужно, то тем более не стоит заморачиваться с запоминанием. Всё постепенно само запомнится и станет на свои места.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики вообще
Сообщение17.11.2015, 20:02 
Заслуженный участник


09/05/13
8507
Да стóит, стóит. Особенно, если нужно. Иначе все вылетит из головы, не задержавшись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики вообще
Сообщение17.11.2015, 20:16 
Заслуженный участник


30/01/09
5056
У нас в школе учительница в младших классах любила повторять: "Повторение - мать ученья".

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики вообще
Сообщение17.11.2015, 21:28 


03/06/12
2067
Otta в сообщении #1074322 писал(а):
Не, как вариант, можно готовиться, предполагая подготовку рассказа для критически настроенной аудитории, которая будет докапываться до любого слабого места, - я так в свое время к лекциям готовилась, - тогда можно обойтись и без слушателей вообще. Только все должно быть "взаправду".

Munin в сообщении #1074337 писал(а):
Ещё полезно сравнить доказательство с ограничениями в условии теоремы. Часто в условии есть какое-то "странное", неочевидное ограничение, которое становится понятным, когда видно, как оно используется в доказательстве.

Я так и делаю: когда изучаю материал, стараюсь вникнуть во все щели, поэтому и продвигаюсь медленно
Otta в сообщении #1074377 писал(а):
Да стóит, стóит. Особенно, если нужно. Иначе все вылетит из головы, не задержавшись.

еще как стóит: например, в разных разделах математики используются похожие идеи
мат-ламер в сообщении #1074381 писал(а):
У нас в школе учительница в младших классах любила повторять: "Повторение - мать ученья".

Только при этом нужно двигаться вперед и, желательно, побыстрее, так что с повторением сложновато.
Munin в сообщении #1074337 писал(а):
Доказательства можно не запоминать, если идея ясна и может быть придумана заново. Главное - запоминать доказательства с глубокими идеями.

Я в школе вообще доказательства не заучивал, только читал, и потом при ответе даже если забывал, на ходу придумывал. Получается, дело, как и писали выше, в критичном слушателе, только где ж его взять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики вообще
Сообщение18.11.2015, 00:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Sinoid в сообщении #1074404 писал(а):
Я так и делаю: когда изучаю материал, стараюсь вникнуть во все щели, поэтому и продвигаюсь медленно

На самом деле, это не "медленно". На самом деле, это нормально.

Впечатление "медленно" может возникнуть по сравнению с чтением какой-нибудь художественной книги. Но:
    Munin в сообщении #1011906 писал(а):
    Учебник - это не детектив. Там важные сведения на каждой странице, а не только на последней. И читать его нужно с другой скоростью.

Ещё впечатление "медленно" может возникнуть, глядя на однокашников. Но не стоит обольщаться: те, кто быстро скачут по верхам, плохо усваивают материал. Тщательная проработка - лучше, и в конечном счёте (long term) оправдывается.

И наконец, "медленно" может быть по сравнению с программой изучения, с тем, с какой скоростью вам подают материал, и требуют его уже знать. Но тут уж ничего не поделаешь. Придётся изо всех сил пытаться удержаться на нужной скорости.

Sinoid в сообщении #1074404 писал(а):
еще как стóит: например, в разных разделах математики используются похожие идеи

Вот это, кстати, отдельная, глубокая, широкая и интересная тема. И очень мало подчёркиваемая в обычных курсах математики. Только в некоторых продвинутых и современных курсах ей уделяется некоторое внимание (да и то, бывает, недостаточное). Особенно там, где используется категорный язык. Он является буквально воплощённым выражением этой идеи, охватившим математику во второй половине 20 века.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики вообще
Сообщение18.11.2015, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6916
Конспект - наше все. Я не имею в виду, что надо полностью переписывать доказательство, но нужно записывать, из каких основных этапов оно состоит. Пример: доказать, что любая бесконечная сигма-алгебра несчетна.

Этапы доказательства:

Пусть $\Sigma$ – бесконечная сигма-алгебра. Предположим, что она счетна, и покажем, что тогда в ней можно выделить счетное множество попарно не пересекающихся непустых элементов, а это противоречит предположению о ее счетности. Тем самым будет доказано, что она несчетна.

Пусть $E$ - единица сигма-алгебры $\Sigma$. Для каждого элемента $x \in E$ определим $B_x$ как пересечение всех $A \in \Sigma$, содержащих $x$. Если $\Sigma$ счетна, то для любого $x$ $B_x \in \Sigma$ по определению сигма-алгебры. Докажем, что
1) Для любых $x, y \in E$ если $B_x$ и $B_y$ пересекаются, то $B_x = B_y$.
2) Для любых $A_1, A_2 \in \Sigma$ если $A_1 \ne A_2$, то найдется $B_y$, которое включается в одно из этих двух множеств, но не пересекается с другим. Тем самым мощность множества $\{B_x\}$ не ниже, чем $\Sigma$ (двум различным элементам $\Sigma$ отвечают как минимум два различных элемента $\{B_x\}$).

Таким образом будет установлено, что в $\Sigma$ можно выделить счетное множество $\{B_x\} \subset \Sigma$ попарно не пересекающихся непустых элементов. Тогда множество $\Gamma$ всевозможных объединений элементов $\{B_x\}$ будет равномощно системе всех подмножеств $\{B_x\}$ и тем самым континуально, а оно является подмножеством $\Sigma$ по определению сигма-алгебры. Тем самым, предположив счетность некоторой бесконечной сигма-алгебры, мы доказали, что у нее должно быть континуальное подмножество, т.е. предположение о счетности оказалось ложным.

Всё. Все те моменты доказательства, до которых (по крайней мере, лично мне) было бы трудно самому додуматься, отражены. Осталось доказать пункты 1) и 2), а это уже тривиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики вообще
Сообщение18.11.2015, 01:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Anton_Peplov в сообщении #1074443 писал(а):
Конспект - наше все.

+1.

+2: Очень хорошо в конспекте расписывать выкладки, которые в учебнике приведены как "очевидные". А не просто тупо скользить взглядом и соглашаться. Каждый шаг вычислений должен быть понятен. (Впрочем, это скорее относится к физике.)

+3: Неплохо бывает отложить книгу, и воспроизвести с нуля из ума прочитанное. Или попытаться доказать теорему, которую только сформулировали. Ну и разумеется, решить упражнение, которое в книге приведено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики вообще
Сообщение18.11.2015, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6916
Munin в сообщении #1074458 писал(а):
Очень хорошо в конспекте расписывать выкладки, которые в учебнике приведены как "очевидные".


Ага:) Я вот однажды четыре дня пытался доказать такое "очевидно, что", да так и не доказал:) Так что не все, что очевидно Колмогорову и Фомину, очевидно среднему студенту.

Munin в сообщении #1074458 писал(а):
Или попытаться доказать теорему, которую только сформулировали.
И это тоже. Особенно это хорошо в начале изучения любой области, когда теоремы очень простые. Кстати, теорема, которую доказал сам, и запоминается гораздо лучше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики вообще
Сообщение18.11.2015, 15:05 


03/06/12
2067
Munin в сообщении #1074458 писал(а):
Или попытаться доказать теорему, которую только сформулировали.

Иногда это получается
Anton_Peplov в сообщении #1074540 писал(а):
Кстати, теорема, которую доказал сам, и запоминается гораздо лучше.

Я об этом и писал:
Sinoid в сообщении #1074295 писал(а):
Хотя случается с каким-нибудь доказательством просидишь и неделю, вот тогда это доказательство остается в голове.

Munin в сообщении #1074440 писал(а):
вам подают материал

К сожалению, мне никто ничего не подает, кроме как на этом сайте. Более того, я еще и не студент :oops: : очное образование мне не светит, а заочное - это то же самое, что я сейчас делаю, только с гораздо большей нервотрепкой: вынь да положь решение к четвергу! Я сначала хочу изучить базовые теории, а потом уж куда-то поступить, иначе меня с моей скоростью просто-напросто исключат и будут правы!
Munin в сообщении #1074458 писал(а):
Очень хорошо в конспекте расписывать выкладки, которые в учебнике приведены как "очевидные".

я это делаю: у меня на компе есть файл LyX "Трудные места учебников" и вот когда что-то уж совсем не ясно, я сначала на бумаге допру, а потом еще и туда запишу.
Munin в сообщении #1074440 писал(а):
Но не стоит обольщаться: те, кто быстро скачут по верхам, плохо усваивают материал.

я с этим сталкивался: у меня соседка раньше была студентка, ее родители: "У, у нас дочки студентки, туды-сюды". А студентка-математик: "От сессии до сессии живут студенты весело" да "Я слыхала, все математики странные люди". Короче, дурковала. А как сессия, так ко мне. Короче, делал я ей энту математику. Правда, она тогда заканчивала только первый курс. Два раза я ей решал. Она до того обнаглела аж информатику мне хотела подсунуть: "Да что ты, это же та же математика, ты решишь..." А я тогда комп только по телику видел. Да если бы и умел, нипочем бы не стал! Потом мы поругались. Слышу: перевелась Асема на физику. Все, закончила наша Асема физический факультет или как там это называется Северо-Казахстанского государственного университета. Сейчас мы Учитель физики, а я со своей честностью до сих никто и нигде. Да я не жалуюсь, просто справедливости хочется!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group