Изучение математики вообще

[Sinoid]

Здравствуйте! Тут возникла такая проблема. Ну читаю я книгу, вникаю в доказательства, а в голове остается только процентов 30 доказательств и теорем. Не будешь же над каждой теоремой сидеть по два дня! Хотя случается с каким-нибудь доказательством просидишь и неделю, вот тогда это доказательство остается в голове. У меня и в школе так было: пока доказательство учителю не сдам, как правило, забывал, не все, конечно, процент где-то такой и был. Но зато как сдал, в голове намертво оставалось. И как быть? Ведь образцы доказательств очень полезны при решении задач.

[Otta]

Сдавать почаще.

[provincialka]

Еще хороший (но, наверное, нереальный для вас) способ -- найти слушателя. Все преподаватели знают: самый лучший способ понять материал -- рассказать его ученикам.

[Otta]

provincialka в сообщении #1074313 писал(а):

найти слушателя

Мои пробовали. Не помогает. Слушатель должен быть достаточно критичен.

Не, как вариант, можно готовиться, предполагая подготовку рассказа для критически настроенной аудитории, которая будет докапываться до любого слабого места, - я так в свое время к лекциям готовилась, - тогда можно обойтись и без слушателей вообще. Только все должно быть "взаправду".

[provincialka]

Я и говор, малореальный способ для не-преподавателя.
Хотя, что касается критичности... Ну, мои-то студенты не критичны... Но сама подготовка к занятию - сильно помогает. Впрочем, роль "критика", видимо, я беру на себя

[Munin]

Можете использовать те же техники, что при изучении языков, например, самотестирование вразбивку.

Доказательства можно не запоминать, если идея ясна и может быть придумана заново. Главное - запоминать доказательства с глубокими идеями.

Множество теорем лучше воспринимать не как ворох фактов, а тоже как систему: из одних теорем следуют другие. Тогда, можно запомнить, какие из них наиболее нужные. То же самое при решении задач: лучше всего запоминаются те теоремы, которые при этом активно используются.

Ещё полезно сравнить доказательство с ограничениями в условии теоремы. Часто в условии есть какое-то "странное", неочевидное ограничение, которое становится понятным, когда видно, как оно используется в доказательстве.

[мат-ламер]

Sinoid в сообщении #1074295 писал(а):

Тут возникла такая проблема. Ну читаю я книгу, вникаю в доказательства, а в голове остается только процентов 30 доказательств и теорем.

Это нормально. Если оно (изучаемое) вам не нужно, то заморачиваться с запоминанием не стоит. Всё равно всё вылетит из головы. Если оно вам нужно, то тем более не стоит заморачиваться с запоминанием. Всё постепенно само запомнится и станет на свои места.

[Otta]

Да стóит, стóит. Особенно, если нужно. Иначе все вылетит из головы, не задержавшись.

[мат-ламер]

У нас в школе учительница в младших классах любила повторять: "Повторение - мать ученья".

[Sinoid]

Otta в сообщении #1074322 писал(а):

Не, как вариант, можно готовиться, предполагая подготовку рассказа для критически настроенной аудитории, которая будет докапываться до любого слабого места, - я так в свое время к лекциям готовилась, - тогда можно обойтись и без слушателей вообще. Только все должно быть "взаправду".

Munin в сообщении #1074337 писал(а):

Ещё полезно сравнить доказательство с ограничениями в условии теоремы. Часто в условии есть какое-то "странное", неочевидное ограничение, которое становится понятным, когда видно, как оно используется в доказательстве.

Я так и делаю: когда изучаю материал, стараюсь вникнуть во все щели, поэтому и продвигаюсь медленно

Otta в сообщении #1074377 писал(а):

Да стóит, стóит. Особенно, если нужно. Иначе все вылетит из головы, не задержавшись.

еще как стóит: например, в разных разделах математики используются похожие идеи

мат-ламер в сообщении #1074381 писал(а):

У нас в школе учительница в младших классах любила повторять: "Повторение - мать ученья".

Только при этом нужно двигаться вперед и, желательно, побыстрее, так что с повторением сложновато.

Munin в сообщении #1074337 писал(а):

Доказательства можно не запоминать, если идея ясна и может быть придумана заново. Главное - запоминать доказательства с глубокими идеями.

Я в школе вообще доказательства не заучивал, только читал, и потом при ответе даже если забывал, на ходу придумывал. Получается, дело, как и писали выше, в критичном слушателе, только где ж его взять?

[Munin]

Sinoid в сообщении #1074404 писал(а):

Я так и делаю: когда изучаю материал, стараюсь вникнуть во все щели, поэтому и продвигаюсь медленно

На самом деле, это не "медленно". На самом деле, это нормально.

Впечатление "медленно" может возникнуть по сравнению с чтением какой-нибудь художественной книги. Но:

Munin в сообщении #1011906 писал(а):

Учебник - это не детектив. Там важные сведения на каждой странице, а не только на последней. И читать его нужно с другой скоростью.

Ещё впечатление "медленно" может возникнуть, глядя на однокашников. Но не стоит обольщаться: те, кто быстро скачут по верхам, плохо усваивают материал. Тщательная проработка - лучше, и в конечном счёте (long term) оправдывается.

И наконец, "медленно" может быть по сравнению с программой изучения, с тем, с какой скоростью вам подают материал, и требуют его уже знать. Но тут уж ничего не поделаешь. Придётся изо всех сил пытаться удержаться на нужной скорости.

Sinoid в сообщении #1074404 писал(а):

еще как стóит: например, в разных разделах математики используются похожие идеи

Вот это, кстати, отдельная, глубокая, широкая и интересная тема. И очень мало подчёркиваемая в обычных курсах математики. Только в некоторых продвинутых и современных курсах ей уделяется некоторое внимание (да и то, бывает, недостаточное). Особенно там, где используется категорный язык. Он является буквально воплощённым выражением этой идеи, охватившим математику во второй половине 20 века.

[Anton_Peplov]

Конспект - наше все. Я не имею в виду, что надо полностью переписывать доказательство, но нужно записывать, из каких основных этапов оно состоит. Пример: доказать, что любая бесконечная сигма-алгебра несчетна.

Этапы доказательства:

Пусть $\Sigma$ – бесконечная сигма-алгебра. Предположим, что она счетна, и покажем, что тогда в ней можно выделить счетное множество попарно не пересекающихся непустых элементов, а это противоречит предположению о ее счетности. Тем самым будет доказано, что она несчетна.

Пусть $E$ - единица сигма-алгебры $\Sigma$. Для каждого элемента $x \in E$ определим $B_x$ как пересечение всех $A \in \Sigma$, содержащих $x$. Если $\Sigma$ счетна, то для любого $x$ $B_x \in \Sigma$ по определению сигма-алгебры. Докажем, что
1) Для любых $x, y \in E$ если $B_x$ и $B_y$ пересекаются, то $B_x = B_y$.
2) Для любых $A_1, A_2 \in \Sigma$ если $A_1 \ne A_2$, то найдется $B_y$, которое включается в одно из этих двух множеств, но не пересекается с другим. Тем самым мощность множества $\{B_x\}$ не ниже, чем $\Sigma$ (двум различным элементам $\Sigma$ отвечают как минимум два различных элемента $\{B_x\}$).

Таким образом будет установлено, что в $\Sigma$ можно выделить счетное множество $\{B_x\} \subset \Sigma$ попарно не пересекающихся непустых элементов. Тогда множество $\Gamma$ всевозможных объединений элементов $\{B_x\}$ будет равномощно системе всех подмножеств $\{B_x\}$ и тем самым континуально, а оно является подмножеством $\Sigma$ по определению сигма-алгебры. Тем самым, предположив счетность некоторой бесконечной сигма-алгебры, мы доказали, что у нее должно быть континуальное подмножество, т.е. предположение о счетности оказалось ложным.

Всё. Все те моменты доказательства, до которых (по крайней мере, лично мне) было бы трудно самому додуматься, отражены. Осталось доказать пункты 1) и 2), а это уже тривиально.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1074443 писал(а):

Конспект - наше все.

+1.

+2: Очень хорошо в конспекте расписывать выкладки, которые в учебнике приведены как "очевидные". А не просто тупо скользить взглядом и соглашаться. Каждый шаг вычислений должен быть понятен. (Впрочем, это скорее относится к физике.)

+3: Неплохо бывает отложить книгу, и воспроизвести с нуля из ума прочитанное. Или попытаться доказать теорему, которую только сформулировали. Ну и разумеется, решить упражнение, которое в книге приведено.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1074458 писал(а):

Очень хорошо в конспекте расписывать выкладки, которые в учебнике приведены как "очевидные".

Ага:) Я вот однажды четыре дня пытался доказать такое "очевидно, что", да так и не доказал:) Так что не все, что очевидно Колмогорову и Фомину, очевидно среднему студенту.

Munin в сообщении #1074458 писал(а):

Или попытаться доказать теорему, которую только сформулировали.

И это тоже. Особенно это хорошо в начале изучения любой области, когда теоремы очень простые. Кстати, теорема, которую доказал сам, и запоминается гораздо лучше.

[Sinoid]

Munin в сообщении #1074458 писал(а):

Или попытаться доказать теорему, которую только сформулировали.

Иногда это получается

Anton_Peplov в сообщении #1074540 писал(а):

Кстати, теорема, которую доказал сам, и запоминается гораздо лучше.

Я об этом и писал:

Sinoid в сообщении #1074295 писал(а):

Хотя случается с каким-нибудь доказательством просидишь и неделю, вот тогда это доказательство остается в голове.

Munin в сообщении #1074440 писал(а):

вам подают материал

К сожалению, мне никто ничего не подает, кроме как на этом сайте. Более того, я еще и не студент : очное образование мне не светит, а заочное - это то же самое, что я сейчас делаю, только с гораздо большей нервотрепкой: вынь да положь решение к четвергу! Я сначала хочу изучить базовые теории, а потом уж куда-то поступить, иначе меня с моей скоростью просто-напросто исключат и будут правы!

Munin в сообщении #1074458 писал(а):

Очень хорошо в конспекте расписывать выкладки, которые в учебнике приведены как "очевидные".

я это делаю: у меня на компе есть файл LyX "Трудные места учебников" и вот когда что-то уж совсем не ясно, я сначала на бумаге допру, а потом еще и туда запишу.

Munin в сообщении #1074440 писал(а):

Но не стоит обольщаться: те, кто быстро скачут по верхам, плохо усваивают материал.

я с этим сталкивался: у меня соседка раньше была студентка, ее родители: "У, у нас дочки студентки, туды-сюды". А студентка-математик: "От сессии до сессии живут студенты весело" да "Я слыхала, все математики странные люди". Короче, дурковала. А как сессия, так ко мне. Короче, делал я ей энту математику. Правда, она тогда заканчивала только первый курс. Два раза я ей решал. Она до того обнаглела аж информатику мне хотела подсунуть: "Да что ты, это же та же математика, ты решишь..." А я тогда комп только по телику видел. Да если бы и умел, нипочем бы не стал! Потом мы поругались. Слышу: перевелась Асема на физику. Все, закончила наша Асема физический факультет или как там это называется Северо-Казахстанского государственного университета. Сейчас мы Учитель физики, а я со своей честностью до сих никто и нигде. Да я не жалуюсь, просто справедливости хочется!