2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Теория Галуа
Сообщение28.08.2015, 22:43 


19/01/13
23
Начал читать книги по теории Галуа Алексеева "Теорема Абеля" и Постникова "Теория Галуа". Там идут группы,группы... Но идея как это связано с решением уравнений не проясняется.

Возможно прояснить основную идею теории Галуа? Как эти самые группы связаны с решением уравнений? Так сказать, на пальцах?

Заранее благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение29.08.2015, 12:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Попробую объяснить.

Если у нас есть какой-то набор чисел, то они могут удовлетворять разным алгебраическим соотношениям с рациональными коэффициентами. Например, если взять числа $x_1 = 2 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{2}$, то верны соотношения $x_1 + x_2 = 4$, $x_1x_2 = 2$, $x_1^2 - 4x_1 + 2 = 0$, $x_2^2 - 4x_2 + 2 = 0$, $x_1^2 + x_2^2 = 12$ и т.п.

Иногда, если числа в наборе переставлять, этот набор соотношений меняется, а иногда нет. Например, наборы $x_1 = 2 - \sqrt2$ и $x_2 = 2 + \sqrt 2$ и $x_1 = 2 + \sqrt 2$, $x_2 = 2 - \sqrt 2$ удовлетворяют одним и тем же соотношениям, а наборы $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ и $x_1 = 2$, $x_2 = 1$, очевидно, нет (в первом выполняется $x_1 = 1$, а во втором нет).

Неформально говоря, мы можем переставлять числа в нашем наборе, если мы не можем заметить разницы с помощью только рациональных чисел и арифметических операций. Все такие перестановки образут группу.

Оказывается, для чисел, которые полчаются с помощью арифметических операций и радикалов, эта группа должна удовлетворять некоторым условиям, о которых Вы в указанных книгах прочитаете (группа должна быть разрешимой). А если взять набор из всех корней типичного уравнения пятого порядка, то для них группа может этим условиям не удовлетворять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение29.08.2015, 13:48 


19/01/13
23
Xaositect в сообщении #1049004 писал(а):
Попробую объяснить.

Если у нас есть какой-то набор чисел, то они могут удовлетворять разным алгебраическим соотношениям с рациональными коэффициентами. Например, если взять числа $x_1 = 2 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{2}$, то верны соотношения $x_1 + x_2 = 4$, $x_1x_2 = 2$, $x_1^2 - 4x_1 + 2 = 0$, $x_2^2 - 4x_2 + 2 = 0$, $x_1^2 + x_2^2 = 12$ и т.п.

Иногда, если числа в наборе переставлять, этот набор соотношений меняется, а иногда нет. Например, наборы $x_1 = 2 - \sqrt2$ и $x_2 = 2 + \sqrt 2$ и $x_1 = 2 + \sqrt 2$, $x_2 = 2 - \sqrt 2$ удовлетворяют одним и тем же соотношениям, а наборы $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ и $x_1 = 2$, $x_2 = 1$, очевидно, нет (в первом выполняется $x_1 = 1$, а во втором нет).

Неформально говоря, мы можем переставлять числа в нашем наборе, если мы не можем заметить разницы с помощью только рациональных чисел и арифметических операций. Все такие перестановки образут группу.

Оказывается, для чисел, которые полчаются с помощью арифметических операций и радикалов, эта группа должна удовлетворять некоторым условиям, о которых Вы в указанных книгах прочитаете (группа должна быть разрешимой). А если взять набор из всех корней типичного уравнения пятого порядка, то для них группа может этим условиям не удовлетворять.




Берем набор чисел $x_1,...,x_n$. Он удовлетворяет некоторым алгебраическим соотношениям с рациональными коэффициентами(АСРК). На какие АСРК мы обращаем внимание? На все-все или только на некоторые?
Производим перестановку в наборе чисел. Все АСРК остаются в силе? Или только некоторые из них?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение29.08.2015, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
На все. И рассматриваем те перестановки, при которых все они сохраняются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение29.08.2015, 14:07 


19/01/13
23
Xaositect в сообщении #1049028 писал(а):
На все. И рассматриваем те перестановки, при которых все они сохраняются.



как-то не выходит с $x_1=2+\sqrt{2}$ и $x_2=2-\sqrt{2}$ для всех АСРК.

$x_1+2,x_2=6+\sqrt{2}$ если $x_2=2+\sqrt{2}, x_1=2-\sqrt{2}$
$x_1+2,x_2=6-\sqrt{2}$ если $x_1=2-\sqrt{2},x_2=2+\sqrt{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение29.08.2015, 14:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
$6 + \sqrt 2$ это не рациональное число

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение29.08.2015, 18:36 


19/01/13
23
У набора чисел $x_1=1,x_2=2$ нет другой перестановки, которая сохраняет все алгебраические соотношения с рациональными коэффициентами, но это не мешаем ему быть корнями уравнения второй степени.

Мы можем составить уравнение любой степени с заданными корнями $x_1,...,x_n$. И для такого набора корней могут быть, а могут и не быть перестановки, которые сохраняют все АСРК. Если других перестановок нет, то этот набор один.
Нам это как-то мешает искать формулы выражения этих корней через коэффициенты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение29.08.2015, 18:42 
Заслуженный участник


30/01/09
5056
Valen007 в сообщении #1048878 писал(а):
Начал читать книги по теории Галуа Алексеева "Теорема Абеля" и Постникова "Теория Галуа". Там идут группы,группы...

А группы и сами по себе интересный объект и заслуживают внимания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение29.08.2015, 19:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Valen007 в сообщении #1049135 писал(а):
У набора чисел $x_1=1,$x_2=2 нет другой перестановки, которая сохраняет все алгебраические соотношения с рациональными коэффициентами, но это не мешаем ему быть корнями уравнения второй степени.

Мы можем составить уравнение любой степени с заданными корнями $x_1,...,$x_n. И для такого набора корней могут быть, а могут и не быть перестановки, которые сохраняют все АСРК. Если других перестановок нет, то этот набор один.
Нам это как-то мешает искать формулы выражения этих корней через коэффициенты?
Если группа перестановок плохая, то числа не могут выражаться через радикалы. Тривиальная группа (когда нужных перестановок вообще нет) хорошая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение29.08.2015, 20:33 


19/01/13
23
Xaositect в сообщении #1049144 писал(а):
Valen007 в сообщении #1049135 писал(а):
У набора чисел $x_1=1,$x_2=2 нет другой перестановки, которая сохраняет все алгебраические соотношения с рациональными коэффициентами, но это не мешаем ему быть корнями уравнения второй степени.

Мы можем составить уравнение любой степени с заданными корнями $x_1,...,$x_n. И для такого набора корней могут быть, а могут и не быть перестановки, которые сохраняют все АСРК. Если других перестановок нет, то этот набор один.
Нам это как-то мешает искать формулы выражения этих корней через коэффициенты?
Если группа перестановок плохая, то числа не могут выражаться через радикалы. Тривиальная группа (когда нужных перестановок вообще нет) хорошая.


Хорошая в смысле разрешимая? И элементы элемента хорошей группы могут быть выражены через алгебраические соотношения с рациональными коэффициентами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение29.08.2015, 21:01 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Valen007 в сообщении #1049151 писал(а):
Хорошая в смысле разрешимая?
Да. Тривиальная группа состоит из одной только тождественной перестановки $e\colon x_1\mapsto x_1,x_2\mapsto x_2$, по вполне понятной причине совпадает со своим коммутантом (единственный коммутатор $eee^{-1}e^{-1} = e$) и потому разрешима.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение29.08.2015, 21:48 
Модератор


20/03/14
11513
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Valen007

Исправьте формулы по всей теме пожалуйста: каждая должна начинаться с доллара, заканчиваться им и не содержать долларов в середине.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение29.08.2015, 23:02 
Модератор


20/03/14
11513
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 16:50 


19/01/13
23
Например, возьмем уравнение с корнями -1,-2,-3, 1, 2: $ (x+1)(x+2)(x+3)(x-1)(x-2)$.
Как можно узнать, если группа образованная этими корнями разрешима и какие перестановки есть в этой группе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение01.09.2015, 17:14 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
Группы перестановок берутся не от балды. Эти группы - группы автоморфизмов полей вида $P(\alpha)$ над полем $P$. Слова "над полем $P$" означают, автоморфизм должен оставлять все элементы поля $P$ на месте. Обычно в контекстах $P$ называется основным полем, $P(\alpha)$ - расширением.
Автоморфизм - это преобразование $\sigma$, аддитивное и линейное над $P$, т.е.:
1) для любых $x,y\in P(\alpha)$ $\sigma(x+y)=\sigma(x)+\sigma(y)$
2) для любых $x\in P(\alpha), a\in P$ $\sigma(ax)=a\sigma(x)$

Пусть $f(x)$ - многочлен, его коэффициенты взяты из поля $P$ (например, $P=\mathbb{R}$) $\alpha_1,...,\alpha_n$ - его корни. Добавляя в $P$ разные наборы корней $\alpha_j$ мы будем получать разные расширения $P$, самое большое - это, конечно $P(\alpha_1,...,\alpha_n)$. Вот выбирая любую пару полей, таких, что одно является расширением другого, мы можем рассматривать его группу перестановок - группу Галуа. Правда, вариантов полей там сильно меньше, чем $2^n$ формально, но они есть.
Чаще всего рассматривается случай расширения $P(\alpha)$ над $P$. Любой элемент $x$ расширения - это многочлен от $\alpha$ с коэффициентами из $P$. Потому действие автоморфизма $\sigma$ на $x$ определяется только коэффициентами этого многочлена и значением $\sigma(\alpha)$. И я вот блин забыл почему, но $\sigma(\alpha)$ - это тоже корень многочлена.

Valen007 в сообщении #1049735 писал(а):
Например, возьмем уравнение с корнями -1,-2,-3, 1, 2: $ (x+1)(x+2)(x+3)(x-1)(x-2)$.
Как можно узнать, если группа образованная этими корнями разрешима и какие перестановки есть в этой группе?
Уравнения чаще всего задаются над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$. В Вашем случае - это $\mathbb{R}$. Поле, в котором это уравнение разлагается на линейный множители - это $\mathbb{R}(1,2,3,-1,-2)=\mathbb{R}$, т.е. расширение поля совпадает с основным полем, значит его группа Галуа = $\{e\}$ - тривиальна.

Примеры поинтереснее получаются, если рассматривать уравнения типа $x^n-a=0$, где $a$ не является $n$-й степенью в $P$.

Вообще, я теорию знаю плохо, потому у меня тут сумбурно. Скачайте Постникова и Кострикина и читайте у них про теорию Галуа, потом задавайте вопросы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group